邱 冬 王光明

(天津師范大學教師教育學院 300387)

章建躍先生在已經(jīng)發(fā)表的文章中有為數(shù)不少的關于中小學數(shù)學教學研究，均引有較大的反響[1～4].其范圍涉及中小學代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計、函數(shù)等領域的教學研究，其中關于平面幾何教學的研究有這么兩篇，《中學數(shù)學課程教材改革的鐘擺——以平面幾何為例》指明了平面幾何從清末到目前的學習要求，表明平面幾何教學的必要性[5]，《新中國中學數(shù)學教材內(nèi)容變革舉要》中指出了平面幾何與時俱進的教育價值——培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力[6].在天津師范大學承辦的“國培”計劃——教育部示范性項目培訓團隊研修項目班上，章先生以“三角形”研究為例，針對目前平面幾何教學思維培養(yǎng)的缺失，提出了幾何教學之道.

1 問題提出

數(shù)學是關于思維的科學，數(shù)學的獨特育人功能主要在培養(yǎng)學生的思維，而平面幾何在培養(yǎng)學生的思維能力上是不能替代的.傅種孫先生指出“平面幾何的教學不在知其然，而在知其所以然，不在知其所以然而在何由以知其所以然.幾何的教學在于啟發(fā)學生，示以思維之道爾”表明平面幾何教學的關鍵在于思維的可視.目前關于平面幾何的教學文獻成果不少，如，游安軍指出平面幾何教學要考慮到幾何學科的特點、學生思維特征、注意幾何教學難點[7]；鄧安邦等人指出解決平面幾何問題的發(fā)現(xiàn)法教學存在費時效果不盡如人意的觀點[8]；鄒楚林從以幾何直觀為基礎、用變化的觀點來探索圖形的度量性質(zhì)和位置關系、注重探索與證明的有機結合、強調(diào)模型思想的滲透、重視空間觀念培養(yǎng)五個方面討論了平面幾何教學的重要性及作用[9].以上這些文獻都談論到或者強調(diào)了平面幾何教學對于數(shù)學思維培養(yǎng)的重要性，其角度是從更為宏觀的角度指導平面幾何教學的意義，卻鮮有聚焦平面幾何教學是如何體現(xiàn)數(shù)學思維培養(yǎng)過程的研究.宏觀指導幾何教學培養(yǎng)數(shù)學邏輯思維是必要的，但是可操作性不強，聚焦一個具體的平面幾何思維的可視過程，將更有助于教師的教學工作.

2 “示以思維”及其作用

數(shù)學教育應當致力于促進學生更積極地去進行思考，數(shù)學思維顯然就屬于“長時間的思考”[10]，不靜止孤立地研究一個問題，而是站在數(shù)學系統(tǒng)的角度有序思考，這既是數(shù)學學科本身的要求，也是學生思維發(fā)展的需要[11]，就是說思維是有序的，并且是站在數(shù)學系統(tǒng)角度可以適用的，而目前的平面幾何教學情況如章建躍先生指出：“目前有的學生在學習完三角形后，要研究四邊形和圓時卻完全沒有思路，”因此將“示以思維”定義為：在研究數(shù)學平面幾何問題時，將邏輯性思考地過程建立成體系，并將此思維過程可視化.“示以思維”的方式能幫助學生構建起學習某一類型知識的體系，這也就要求教師在進行教學時要進行“示以思維”地教學，為學生建立起思維方法奠定基礎，“幾何教材呈現(xiàn)的方式是有一定邏輯順序的(見圖1)，使學生明白數(shù)學思維之道的關鍵點在于，首先了解研究對象的歷史，然后明確研究目標，接著明確要達到目標的思路概要，最終能使思維之道發(fā)揮一般觀念的引領作用”.結合章建躍先生對“三角形研究”的思維過程分析和“示以思維之道”的四個關鍵點，對平面幾何教學進行說明.

圖1 幾何研究順序

3 “示以思維”的平面三角形研究

三角形作為最簡單的封閉圖形，是研究幾何的重要基礎.在我國《義務教育課程標準(2011)》中，關于三角形的研究貫穿整個義務教育階段，并且每個學段有不同的側(cè)重(見表1)[12].

表1 三角形在義務教育階段的課程內(nèi)容

3.1 了解研究對象——背景

數(shù)學具有的抽象性會讓人覺得“學而無用”，學習數(shù)學知識的作用是學生容易問而老師們最容易忽視的問題.對待這樣一個問題章先生指出：教材與實際相聯(lián)系.與實際相聯(lián)系一般從與生活相聯(lián)系和與數(shù)學相聯(lián)系兩個方面解釋學習新知的必要性.從數(shù)學史的角度來看，如果用歷史回顧和歷史軼事點綴枯燥的問題求解和幾何證明，學生的學習興趣就會大大增加[13].三角形的發(fā)展要從三角學說起，三角學與天文學是密不可分的，它是對天文觀察結果進行推算的方法，1450年作為球面三角與平面三角的時間分界點，在此后為了間接測量、測繪平面三角形從球面三角形中獨立出來[14]；而從數(shù)學背景來看，三角形是最基本的封閉圖形，四邊形僅僅只增加了一條邊，但可組成許多形狀不同的四邊形，所以平面圖形的性質(zhì)研究往往要從三角形開始.

3.2 認識研究對象——定義

做研究，研究對象、研究內(nèi)容、所有的關鍵詞都要有明確的定義[15].首先，數(shù)學上的研究對象是現(xiàn)實生活中不存在的，研究對象是指源于現(xiàn)實而抽象出來的.當抽象出一個數(shù)學研究對象并且能用數(shù)學的方式表示時即為對該研究對象下定義.在數(shù)學上，對抽象出一個的數(shù)學對象表示有多種形式，有語言、符號和圖形，抽象出三角形這個研究對象，那就是給三角形進行了定義.

其次，對幾何圖形進行研究，是指對一個數(shù)學對象進行研究，那么幾何圖形就是研究對象.而研究對象與研究內(nèi)容二者并不相同.研究對象是幾何圖形，研究內(nèi)容則是該幾何圖形的相關內(nèi)容.對三角形的研究，三角形就作為研究對象，而對三角形展開研究則是屬于研究內(nèi)容.

如何了解是否認識研究對象呢？在數(shù)學上，對象定義之后，緊接著會給出三角形的符號表示，這個符號也稱為研究對象的表示，但符號表示有所不同，可能是符號，也可能是圖形.當學生面對一個具體問題時，如果能把它翻譯成為語言、符號、圖形，就表示學生對該問題的理解到位了，即當學生能使用語言、符號和圖形等形式表示出三角形那就表示學生已經(jīng)認識了三角形這個研究對象，并且可以開始進行下一步的學習.

3.3 理解研究對象——分類與性質(zhì)

認識一個研究對象之后，就是得到了該研究對象的定義，獲得定義就知道這個幾何圖形的一些基本特征和內(nèi)涵.例如：三角形是由三條線段首尾連接而成的平面圖形.這是明確三角形有三條邊，首位順次連接的封閉圖形則表示圖形有角.章建躍先生指出：“得知圖形有邊有角，自然而然的就會想到，它們之間有沒有什么關系.這就是性質(zhì)研究.”幾何最重要的就是性質(zhì)的研究，但是“‘性質(zhì)就是一類事物共有的特性’這樣的說法過于宏觀，在具體思考中沒有可操作性”，所以針對“性質(zhì)是什么，需要根據(jù)具體內(nèi)容進行歸納.”有關于幾何性質(zhì)是指要素和要素之間確定的關系，研究幾何圖形性質(zhì)的基本方法也就是研究幾何圖形的構成要素之間的相互關系(包括位置關系、大小關系等).

要素有不同，并且要素與要素之間的關系有所差別.要素分為組成要素和相關要素，正如章先生所說“數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關系與規(guī)律”.組成要素是指組成幾何圖形必不可少的要素，而相關要素則是指不是幾何圖形的必需要素但是又與幾何圖形有關的要素.

關系研究，就有必要分類，組成元素、相關元素內(nèi)部會存在關系，此外組成元素與相關元素之間也會存在關系.基于抽象結構，一個數(shù)學結構的具體例子不勝枚舉，但按照某種條件對它們進行分類，可以確定一種研究這個結構的邏輯順序，從數(shù)學上來說就是各個擊破，將復雜的圖形分解成最基本的圖形，從最簡單的圖形開始“擊破”，然后再形成一個新的方法來證明關于這個結構的結果，這就是研究幾何性質(zhì)的基本方法.三角形的性質(zhì)研究順序如下：

在一個或者一類三角形的研究中，首先關注的是組成要素內(nèi)部的關系，通過對邊和角的大小研究，學生可以清晰地知道類似“兩邊之和大于第三邊”、“三角形內(nèi)角和等于180°”等這些性質(zhì)；然后再關注相關要素內(nèi)部的關系，通過對相關要素“高線”、“中線”、“外角”、“角平分線”等進行研究，可以得到類似“三線合一”等三角形的性質(zhì)，當然對于一些三角形還要關注組成要素和相關要素之間的關系.接下來就要進行在兩個或者兩類三角形中的研究.這類型的研究關注的是兩個或者兩類三角形的大小關系、形狀差異.形狀有相等，即全等關系，也存在形狀不等中的相似關系(見表2).以上都是從三角形定性研究的角度出發(fā)，然后就可以過渡到定量的研究中.定量化的研究問題就有很多了，而三角形的研究也是從小學開始一直研究到高中，甚至是大學的數(shù)學專業(yè)之中.

表2 義務教育教科書 數(shù)學[16]

這樣的思維模式具有一定的邏輯順序，并且可以形成一個研究幾何問題的模式：組成要素與相關要素間的分類——研究組成要素——研究相關要素——一個、一類或者多個、多類幾何圖形之間的比較，當形成一定的模式之后可以進行遷移，由于思維模式是按照一定的邏輯順序進行所以其遷移性很強，在三角形學習中使用這一套模式，在后期學習四邊形和圓等平面圖形時就有路可循.

3.4 應用研究對象——幾何圖形間的聯(lián)系

如章建躍先生所說：“數(shù)學獨特的育人功能，首先是思維，特別是邏輯思維.要使學生學會思考，特別是學會有邏輯的思考、創(chuàng)造性的思考.”研究數(shù)學問題是要重視邏輯順序并按邏輯展開，因為知識總是有一定邏輯體系的，對一個數(shù)學對象進行完整的研究，然后將這個研究過程按照一定的邏輯進行模式化，有利于學生學習遷移的發(fā)生.幾何研究在教材中是按照一定的邏輯順序呈現(xiàn)的(見圖1)，依據(jù)我們?nèi)缟纤懻摰沫h(huán)節(jié)，學生在研究一個完整的幾何圖形時往往也會有相似的邏輯順序，采用已經(jīng)形成的思維模式遷移到后期的幾何圖形學習，能使學生順利進行平行四邊形和圓等圖形的學習.

平面幾何的教學在于啟發(fā)學生，示以思維之道爾.這是為了幫助學生奠定一個研究數(shù)學問題的思維方法.在“示以思維”的平面幾何教學中，揭示了對研究對象的背景、研究對象的定義、對研究對象的分類為前提的性質(zhì)研究，最終形成一個研究數(shù)學問題的思維體系，體現(xiàn)了“思維之道”.期望教師在教學之前，對研究數(shù)學問題，研究平面幾何問題有一個整體的思維過程，明確研究幾何問題是一個連續(xù)的思維過程，是幫助學生形成研究幾何問題的邏輯思維體系.在進行教學之時，首先是了解研究對象的背景，認識研究對象的定義，明確對象的定義包含對象的表示方式；其次依據(jù)幾何圖形的組成要素和相關要素分類，再研究性質(zhì)的問題；然后整理教學和學生學習的邏輯思維順序，真正做到“示以思維之道”幫助學生建立起思維體系，為發(fā)生學習遷移奠定基礎.