彭子衿，徐維軍,2

(1. 華南理工大學工商管理學院，廣東 廣州 510641; 2. 廣州市金融服務創(chuàng)新與風險管理研究基地，廣東 廣州 510641)

1 引言

投資組合選擇問題，是指投資者在不確定環(huán)境下對金融資產進行合理配置與選擇的決策問題。基于有效前沿理論[1]的傳統(tǒng)投資組合研究方法在過去的60多年里得到了廣泛的應用和發(fā)展，近幾年仍不斷有成果涌現(xiàn)，如：Zhang Weiguo等[2-3]和Liu Yongjun等[4]提出了多階段模糊投資組合模型，并分別運用遺傳算法、混合智能算法和差分進化算法進行求解；姚海祥和李仲飛[5]利用組合收益率密度函數(shù)的非參數(shù)核估計方法，建立了期望效用最大化投資組合模型，并運用擬牛頓法進行求解；張鵬等[6]考慮交易成本和借款約束，提出了具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合模型，并運用前向動態(tài)規(guī)劃方法進行求解；郭文英[7]運用貝葉斯學習過程研究了投資者的最優(yōu)動態(tài)投資策略。然而，傳統(tǒng)投資組合研究方法往往有兩個基本假設：一是假設證券收益率服從某個特定的分布；二是假設投資者已經充分了解市場信息、能夠精確地估計證券收益率的統(tǒng)計特征。由于現(xiàn)實中的價格瞬息萬變，難以用一個精確的概率分布來刻畫，而上述兩個假設的統(tǒng)計性過強，因此基于該假設的傳統(tǒng)投資組合策略在實際應用中往往效果不佳。

針對傳統(tǒng)投資組合模型統(tǒng)計性假設過強的不足，本文在對證券價格不做任何統(tǒng)計假設的在線投資組合選擇框架下研究投資組合選擇問題。在線投資組合的雛形由Kelly[8]首先提出，最終由Cover[9]形成完整的研究框架。通過引入競爭分析理論，Cover[9]定義了泛證券投資組合性質，提出了具有該性質的UP (Universal Portfolio)策略和在線策略的競爭分析框架，從而使投資者能夠從理論上評價在線策略的性能。簡單來說，具有泛證券投資組合性質的在線策略能夠獲得趨近于離線基準策略的累計收益，這在理論上保證了在線策略的有效性。Cover和Ordentlich[10]考慮部分市場內部信息已知的情形，證明了含有邊信息的UP策略同樣具有泛證券投資組合性質。Blum等[11]研究了考慮交易費用的在線投資組合選擇問題，并證明了即使存在交易費用，UP策略仍然具有泛證券投資組合性質。

評價在線策略的性能優(yōu)劣不僅需要考慮該策略是否具有泛證券投資組合性質，還需要考慮該策略在更新資產權重時所需的計算時間，即策略對應算法的時間復雜度。時間復雜度越小，說明策略越能適應更大范圍的應用。Helmbold等[12]證明在進行n個階段m支股票的組合投資時，UP策略的時間復雜度為O(nm)。這說明，當交易時間n變長、證券數(shù)量m增大時，UP策略所需的計算時間將以指數(shù)形式增長，這使得UP策略在實際應用中效果不佳。為改進這一不足，Helmbold[13]考慮在每個交易階段利用單期價格信息估計價格趨勢，從而提出了時間復雜度僅為O(nm)的EG(Exponential Gradient)策略，并證明了EG策略具有泛證券投資組合性質。

然而僅利用單期價格信息估計價格趨勢的做法會導致很多有效的歷史信息被忽略。為了更有效地利用歷史信息，Li Bin等[14]利用簡單的線性加權平均方法估計價格趨勢，結合機器學習領域的被動-主動分類算法，提出了具有較小時間復雜度的OLMAR(On-Line Moving Average Reversion)策略。實證結果表明OLMAR策略具有非常優(yōu)異的收益表現(xiàn)，但遺憾地是該策略不具有泛證券投資組合性質。為降低數(shù)據(jù)異常值對策略性能的影響，Huang Dingjiang等[15]利用具有魯棒性的L1-中位數(shù)估計改進了OLMAR策略，提出了具有魯棒性的RMR (Robust Mean Reversion)策略。雖然RMR策略在實證中同樣表現(xiàn)優(yōu)異，但也不具有泛證券投資組合性質。因此，這兩個策略的性能在一定程度上缺乏理論保證。

綜上所述，現(xiàn)有在線策略都有各自不足之處，或實際應用效果不佳，或未有效利用歷史信息，抑或性能缺乏理論保證。針對上述不足，本文將在EG策略的基礎上，結合RMR策略的優(yōu)點，提出更有效的在線策略。具體地，為了有效地利用多期價格信息，首先結合Huang Dingjiang等[15]的研究工作，基于多期價格信息，利用L1-中位數(shù)估計得到預期價格趨勢，通過期望效用最大化，提出一種新的在線策略。然后，證明該策略具有泛證券投資組合性質，同時時間復雜度較小。最后，通過國內外證券市場歷史數(shù)據(jù)的實證檢驗，證明該策略的性能優(yōu)于EG策略和UP策略。

2 相關概念及記號

(1)

(2)

因此，當n個交易日結束時，得到資產權重序列，即序貫的策略bn={b1,b2,…,bn}。同時，該在線策略所獲得的n期累計收益為：

(3)

其中S0為初始投資資產，為方便計算，一般假設初始投資額為1，即S0=1。定義上述在線策略bn的平均指數(shù)增長率為：

(4)

(5)

(6)

成立，即(6)式為泛證券投資組合性質的數(shù)學表達。

3 泛證券投資組合策略EGLM及其性能分析

本文將基于多期價格數(shù)據(jù)，利用L1-中位數(shù)估計得到預期價格趨勢，并在此基礎上通過期望效用最大化，提出一種新的在線投資組合策略，EGLM (Exponential Gradient viaL1-Median)。

3.1 L1-中位數(shù)估計

對于長度為w的價格數(shù)據(jù){pt-w+1,pt-w+2,,…,pt}而言，其L1-中位數(shù)為下列優(yōu)化問題1的解。

優(yōu)化問題1：

(7)

命題1 數(shù)值求解優(yōu)化問題1的迭代過程如下：

(8)

其中，

3.2 EGLM策略

優(yōu)化問題2：

(9)

其中，φ>0表示學習率，同時

(10)

定理1：優(yōu)化問題2的解為：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

最后，結合(14)式與(15)式可得(11)式。

[證畢]

(11)式即為EGLM策略的資產權重更新式，而利用EGLM策略進行投資組合選擇的具體過程見下文表2。

表2 EGLM交易算法框架

3.3 算法時間復雜度分析

評價在線策略的性能需要分析策略所需的計算時間，即策略對應算法的時間復雜度。時間復雜度越小，該策略越能適應更廣泛的運用。為了分析EGLM策略的時間復雜度，本文分別給出了利用命題1求解多期價格的L1-中位數(shù)的算法框架，以及利用EGLM策略進行投資組合選擇的算法框架，具體如表1和2所示。

通過表1中第2行可知，算法1僅包含一個最大循環(huán)數(shù)為M的循環(huán)運算，因此算法1的時間復雜度為O(M)。

表2中第8行表示調用算法1計算相對價格預測值，第9行表示EGLM策略更新資產權重向量的步驟，由于每次需要對m支股票都進行計算，因此該步驟每一次循環(huán)的時間復雜度為O(m)。那么，每一次循環(huán)所需的計算量為O(m)+O(M)，即利用EGLM策略進行投資組合選擇時每一期的時間復雜度。因此，在進行n期m支股票的組合投資時，算法2的時間復雜度為O(mn)+O(Mn)。

表3 時間復雜度比較

表3給出了UP策略、EG策略和EGLM策略的時間復雜度，其中UP策略和EG策略的時間復雜度由Blum和Kalai[11]給出。從表3可看出，EGLM策略的線型時間復雜度明顯小于UP策略指數(shù)形式的時間復雜度。與EG策略相比，雖然EGLM策略的時間復雜度增加了O(Mn)，但由于O(Mn)僅與交易階段數(shù)n有關，而與證券數(shù)m無關，因此該部分不會因為證券數(shù)m增大而增大時間復雜度。因此，相較于UP策略和EG策略，EGLM策略依然能夠適用于更大規(guī)模的應用。

3.4 策略競爭性能分析

本文將通過以下定理2、3、4證明EGLM策略具有泛證券投資組合性質，如上文所述，該性質表示在線策略在理論上具有良好的競爭性能。

(16)

(17)

(18)

(19)

又因為對任意β∈[0,1]和x∈R，不等式ln(1-β(1-ex))≤βx+x2/8成立，因此：

(20)

又由于對任意x有1-ex≤-x成立，結合(18)式和(20)式，可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

[證畢]

(25)

故當T足夠大時，(25)式表明EGLM的收益能夠接近于事后最優(yōu)策略BCRP的收益。

(26)

(27)

將該策略記為EGLM*策略，下面通過定理3和4證明EGLM*策略的性質。

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

綜合(30)、(31) 、(32)可得定理3結論(28)式。

[證畢]

根據(jù)定理3中(29)式，有：

(33)

故當T足夠大時，(33)式表明EGLM*的收益能夠接近于事后最優(yōu)策略BCRP的收益。

由于(33)式的成立還需要事先已知投資總期數(shù)T，本文采用Helmbold等[12]的分階段處理方法，證明在T未知的情形下，EGLM*策略具有泛證券投資組合性質。分階段處理的具體步驟如下：對于足夠大的T(滿足T≥2m2lnm)，將第一個含有2m2lnm期的連續(xù)階段記為階段0，階段i為含有2im2lnm期的連續(xù)階段。最后一個階段記為階段b，由于T為投資總期數(shù)，因此，有b=「log2(T/(2m2lnm))?成立。在每一個階段開始時，將權重向量重新初始化，并按照EGLM*策略更新資產權重，稱這種策略為分階段的EGLM*策略。

定理4：分階段的EGLM*策略具有泛證券投資組合性質。

令u為BCRP策略的權重向量，則下式成立：

(34)

根據(jù)泛證券投資組合性質的定義(6)式可知，分階段的EGLM*策略具有泛證券投資組合性質。

[證畢]

通過以上定理2、3、4，本文證明了EGLM策略及其變形，EGLM*策略和分階段的EGLM*策略，具有泛證券投資組合性質，即收益能夠隨著交易時間增長趨近于BCRP策略的收益，這表示本文提出的EGLM策略在理論上具有良好的競爭性能。

4 實證分析

針對本文提出的EGLM策略，利用國內外證券市場的歷史交易數(shù)據(jù)進行實證分析，與已有策略進行對比，從而進一步說明EGLM策略的競爭性能。本文采用的數(shù)據(jù)包括3個國外市場數(shù)據(jù)集[9,14,17]和3個國內市場數(shù)據(jù)集[18]，具體信息如下表4所示。這6個數(shù)據(jù)集中的價格數(shù)據(jù)均通過復權剔除了分紅、送股以及配股等因素對價格的影響。

為方便與已有策略進行對比，本文參考Helmbold等[13]和Huang Dingjiang等[15]，對EGLM策略的參數(shù)設置如下：學習率φ=0.05，最大迭代次數(shù)M=200，容忍度τ=0.01，以及歷史窗口長度為w=5。在不考慮交易費用的情形下，分別在上述6個數(shù)據(jù)集組成的資產組合中，本文對比了EGLM策略與兩個在線策略、三個基準策略的期末累計收益，具體結果詳見表5。其中，在線策略均具有泛證券投資組合性質，包括UP策略和EG策略；基準策略包括BCRP策略，將全部資金投資于全局收益最高證券的Best-Stock策略，以及對全市場組合進行平均買入持有的Market策略。

通過表5可知：首先，BCRP策略獲得了6個策略中最高的期末累計收益，這是因為BCRP策略是所有基準策略和泛證券投資組合策略的上限，它們獲得的累計收益至多無限趨近于BCRP策略；其次，Best-Stock策略的期末累計收益僅次于BCRP策略，這是因為Best-Stock策略將全部資金僅投資于全局最優(yōu)的證券，而作為一種事后離線策略，其事后性導致其收益通常會很高；最后，相較于Market策略、UP策略以及EG策略，本文提出的EGLM策略在6個數(shù)據(jù)集都獲得了更高的期末累計收益，尤其在國內數(shù)據(jù)集CH1、CH2、CH3上，EGLM策略的期末累計收益明顯高于這三個策略。這說明，EGLM策略相較于UP策略和EG策略在收益性能方面表現(xiàn)更好。

表4 國內外數(shù)據(jù)集信息表

表5 各策略的期末累計收益比較

除了上述期末累計收益，本文實證也關注各個策略的收益隨著交易天數(shù)變動的表現(xiàn)。圖1給出了Market策略、UP策略、EG策略以及EGLM策略在6個數(shù)據(jù)集中的累計收益變動。通過觀察圖1可知，除了在SP500數(shù)據(jù)集的前一小段時間Market策略的表現(xiàn)超過了其他三個策略，在其他5個數(shù)據(jù)集的整個交易期間，EGLM策略的表現(xiàn)都優(yōu)于三個對比策略。這樣的結果進一步表明本文提出的EGLM策略相較于UP策略和EG策略有更好的競爭性能。

圖1 各個策略的累計收益變動

為了檢驗上述EGLM策略的收益表現(xiàn)是否是由隨機因素造成，還是依靠策略本身的方法實現(xiàn)，本文通過統(tǒng)計檢驗來度量隨機因素造成收益表現(xiàn)的可能，這一做法在基金行業(yè)比較常見[19]。本文將EGLM策略的超額收益對基準策略的超額收益做回歸分析，這里的基準策略一般為Market策略(因為Market策略是對所有股票進行平均的買入-持有處理，該策略的收益可以反映市場的平均收益情況)，而超額收益為策略的每日收益減去無風險資產的每日收益。具體地，本文將EGLM策略的每日收益分為兩部分：與基準相關部分和與基準無關部分，即：

st-st(F)=α+β(st(B)-st(F))+ε(t)

其中，st表示EGLM策略的每日收益，st(B)表示Market策略的每日收益，st(F)表示無風險資產的每日收益，本文參考Li Bin等[14]，統(tǒng)一采用年化收益率4%，對應每日收益為1.000156。統(tǒng)計檢驗結果如表6所示，其中MER表示平均超額收益(Mean Excess Return)。

表6 EGLM策略的統(tǒng)計檢驗

通過表6可知，以0.05為判斷標準，在6個數(shù)據(jù)集上的p值都要小于0.05，因此EGLM策略并非因為隨機因素才取得上述收益表現(xiàn)。此外，在這6數(shù)據(jù)集上，EGLM策略對于Market策略的勝率(Winning Ratio)都超過或接近50%，這進一步說明EGLM策略具有良好的競爭性能。

除了采用累計收益這一常用指標來比較不同策略的性能，本文還比較了策略的年化收益率、夏普比率、波動率、最大回撤以及Calmar比率這5個指標，以評價EGLM策略的性能，具體結果如表7所示。

表7 UP, EG和EGLM策略關于不同指標的比較

通過表7可知，在全部6個數(shù)據(jù)集上，盡管EGLM策略收益的波動率比UP策略和EG策略更高，但EGLM策略的年化收益率也更高，這與“收益越高、風險越大”的常識相符。與此同時，EGLM策略還有更高的夏普比率。此外，同樣在全部6個數(shù)據(jù)集上，EGLM策略有更低的最大回撤和更高的Calmar比率。這些結果表明，與UP策略和EG策略相比，EGLM能更好地在收益和風險中取得平衡，也再次說明EGLM策略比UP策略和EG策略的性能更好。

5 結語

為了有效地利用歷史信息，提高在線策略的競爭性能，本文基于多期價格數(shù)據(jù)，利用L1-中位數(shù)估計得到預期價格趨勢，通過期望效用最大化，提出了一種新的在線投資組合策略EGLM。本文證明了EGLM策略具有泛證券投資組合性質，從而為策略的競爭性能在理論上提供了保證。通過算法分析，比較了EGLM策略與同樣具有泛證券投資組合性質的UP策略和EG策略，結果表明EGLM策略具有較小的時間復雜度。最后，利用國內外6個證券市場的歷史數(shù)據(jù)進行了實證檢驗，結果表明EGLM策略的性能優(yōu)于UP策略和EG策略。