單而芳, 梁莉敏, 張 廣

(上海大學(xué)管理學(xué)院, 上海 200444)

1 引言

易腐品，尤其是生鮮農(nóng)產(chǎn)品的新鮮度對其銷售價(jià)格有極大的影響。因此，保證易腐品的新鮮度對保證零售商的利潤具有重要的意義。易腐品的新鮮度通常會(huì)隨著時(shí)間的流逝而下降，在其整個(gè)生命周期中, 效用呈現(xiàn)遞減趨勢[1]。張琳和龐燕[2]指出，我國蔬果在運(yùn)輸過程中的損失率高達(dá)30%～40%。

目前易腐品運(yùn)輸問題的研究主要有兩個(gè)方面。第一方面是主要研究在新鮮度或易腐品最終質(zhì)量與運(yùn)輸過程中各種影響因素(運(yùn)輸設(shè)施、運(yùn)輸時(shí)間、保鮮技術(shù)等)之間的關(guān)系。van Arsdel和Guadagni[3]研究了冷凍食品的最終質(zhì)量與流通階段的溫度、流通時(shí)間等的關(guān)系，并得到“溫度越低(一定限度內(nèi))，冷凍食品的質(zhì)量下降越慢，保質(zhì)期也相應(yīng)延長”的基本結(jié)論。因此在易腐品存儲(chǔ)與運(yùn)輸過程中，冷藏或冷凍技術(shù)的使用在為易腐品提供安全保障的同時(shí)， 也可以有效地延緩易腐品新鮮度降低的速度，進(jìn)而保證了易腐品零售商的銷售利潤。Sider[4]指出在競爭性市場環(huán)境下，易腐品的零售商可能會(huì)以較高的運(yùn)輸成本來減少運(yùn)輸時(shí)間，從而通過保持易腐品的新鮮度來獲得較高的市場價(jià)格，進(jìn)而得到更高的銷售利潤。張玉潔[5]研究易腐品分類以及特點(diǎn)，并指出易腐品運(yùn)輸組織應(yīng)注意的問題、原則、鮮活貨物運(yùn)輸?shù)奶攸c(diǎn)及組織方法。

第二方面主要研究易腐性產(chǎn)品的運(yùn)輸協(xié)調(diào)問題。Hsu等[6]研究了易腐性產(chǎn)品的運(yùn)輸路徑選擇問題，旨在運(yùn)輸過程中，通過協(xié)調(diào)行駛時(shí)間和溫度，進(jìn)而保證易腐品的新鮮度。朱麗君[7]綜合考慮了在供應(yīng)商管理庫存的模式下，供應(yīng)商向需求商配送兩種可以相互替代產(chǎn)品，同時(shí)考慮需求商的時(shí)間窗要求，以運(yùn)輸成本和貨損成本最小為目標(biāo)函數(shù)，建立易腐農(nóng)產(chǎn)品調(diào)度問題模型，利用粒子群算法求解，仿真結(jié)果驗(yàn)證了模型和算法的有效性。張奕和傅少川[8]研究了一個(gè)易腐品供應(yīng)商使用多個(gè)運(yùn)輸設(shè)施進(jìn)行配送的庫存路徑問題，通過建立隨機(jī)需求的多周期易腐品庫存路徑問題模型，將庫存控制和路徑選擇整合優(yōu)化。林峰、賈濤和李然[9]同樣研究了一個(gè)易腐品供應(yīng)商給多個(gè)客戶進(jìn)行配送的庫存路徑問題，創(chuàng)新性的考慮了在運(yùn)輸過程和銷售過程中產(chǎn)品具有不同的腐敗速率，以包括生產(chǎn)、配送、腐敗、庫存成本在內(nèi)的供應(yīng)鏈總成本為目標(biāo)函數(shù)，建立了總成本最小化的模型。從文獻(xiàn)綜述看來，易腐性產(chǎn)品庫存路徑問題是研究的熱點(diǎn)，但鮮有論文研究運(yùn)輸設(shè)施選擇問題，且大部分為定性分析，缺乏定量分析。李軍和蔡小強(qiáng)[10-11]討論了易腐品的運(yùn)輸設(shè)施選擇問題，并通過構(gòu)建線性價(jià)值和負(fù)指數(shù)價(jià)值損失函數(shù)來衡量因易腐品新鮮度下降而造成的損失，他們沒有考慮運(yùn)輸設(shè)施所采用的冷藏或冷凍技術(shù)有減緩易腐品新鮮度下降速度的作用。

在零售商需求量不大的情況下不同的零售商通常會(huì)考慮聯(lián)合運(yùn)輸，即選用同一個(gè)運(yùn)輸設(shè)施來滿足他們的需求，最后再共同承擔(dān)運(yùn)輸?shù)母黜?xiàng)費(fèi)用。此類問題通常稱作易腐品聯(lián)合運(yùn)的費(fèi)用分?jǐn)倖栴}。該問題的關(guān)鍵在于費(fèi)用分?jǐn)偡桨傅脑O(shè)計(jì)。若費(fèi)用分?jǐn)偡绞讲缓侠?，就?huì)導(dǎo)致某些參與聯(lián)合運(yùn)輸?shù)牧闶凵桃蜇?fù)擔(dān)了相對較多的費(fèi)用而拒絕合作，最終導(dǎo)致聯(lián)合運(yùn)輸聯(lián)盟的破裂。因此， 制定一個(gè)公平合理的成本分?jǐn)傄?guī)則是合作能夠持續(xù)進(jìn)行、提高運(yùn)輸效率的關(guān)鍵。

許多學(xué)者從不同的角度研究了收益及費(fèi)用的分配方法。Yong[12]研究了成本分?jǐn)倖栴}的基本方法、原則及相關(guān)應(yīng)用。在各類政治、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)中，合作共贏是人們關(guān)注的焦點(diǎn)問題， 由于合作博弈能夠給出公平合理的利潤分配方案或成本分?jǐn)傄?guī)則，因此它被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。Drechsel[13]研究了物流運(yùn)輸中的利潤分配和成本分?jǐn)倖栴}。對河流沿線城市水資源分配問題，Ambec和Sprumont[14]進(jìn)行了深入研究。 Gilles[15]對具有等級劃分的組織的利潤分配問題進(jìn)行了討論，而Guan Xin等[16]則利用合作博弈解決通訊網(wǎng)絡(luò)搭建及選址問題。關(guān)于運(yùn)輸費(fèi)用分?jǐn)倖栴}，曾銀蓮等[17]和曾銀蓮[18]研究了兩種合并運(yùn)輸策略下的成本分?jǐn)偛┺哪Ｐ?，并設(shè)計(jì)了具有穩(wěn)定性的分配方案，即支付向量是核中的元素。Su Luan和Hu Dawei[19]利用合作博弈為旅游景點(diǎn)的公共運(yùn)營車輛與私人營運(yùn)車輛的合作提供合理的利潤分配方案，使公共運(yùn)營車輛與私人營運(yùn)車輛的合作聯(lián)盟更穩(wěn)定，從而增加旅游景點(diǎn)的整體社會(huì)效益。馮海榮、李軍和曾銀蓮[20]研究了在各零售商獨(dú)立采購時(shí)基于兩級信用支付的庫存模型。并應(yīng)用合作博弈理論，將聯(lián)合采購下的費(fèi)用分配問題構(gòu)造成基于兩級信用支付的易腐品聯(lián)合采購博弈。研究表明，與各零售商獨(dú)立采購相比，聯(lián)合采購降低了各零售商的總費(fèi)用，提高了產(chǎn)品的補(bǔ)貨頻率，減少了由產(chǎn)品變質(zhì)帶來的損失。

核心是合作博弈中重要的解概念，作為合作博弈的一個(gè)穩(wěn)定解，核對應(yīng)的分配方案是一個(gè)公平的分配方案。不過，對于許多合作博弈，確定其核分配是NP-難問題。人們在研究運(yùn)輸博弈時(shí)[21]，考慮到運(yùn)輸博弈屬于線性規(guī)劃博弈，因此常把研究的關(guān)注點(diǎn)放在核非空與線性規(guī)劃松弛的對偶最優(yōu)解之間的關(guān)系上。Goemans和Skutella[22]證明了無約束運(yùn)輸設(shè)施選址問題其核非空當(dāng)且僅當(dāng)其線性規(guī)劃松弛無整數(shù)間隙(Integrality gap)。但同時(shí)也證明了判定線性規(guī)劃松弛是否無整數(shù)間隙是NP-完全問題。人們注意到凹博弈的核一定非空，因此具有凹性的博弈模型被廣泛研究。李軍和蔡小強(qiáng)[10-11]建立了具有固定運(yùn)輸費(fèi)用的易腐性產(chǎn)品聯(lián)合運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用分?jǐn)偛┺哪Ｐ?，證明該博弈為凹博弈，并得到在易腐品線性價(jià)值以及負(fù)指數(shù)價(jià)值損失的情況下，核分配非空的結(jié)論。他們也討論了當(dāng)每個(gè)運(yùn)輸設(shè)施只能執(zhí)行兩項(xiàng)任務(wù)時(shí)的運(yùn)輸設(shè)施選擇問題，并得到結(jié)論：當(dāng)該問題的線性規(guī)劃松弛問題無整數(shù)解時(shí)該博弈的核不存在；最后他們指出有約束的運(yùn)輸設(shè)施選擇博弈的核有可能為空。

在經(jīng)典的合作博弈中，通常假定所有的合作聯(lián)盟都可以形成，并且這些聯(lián)盟會(huì)影響到各參與者最終的支付[23]。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，由于受到某些因素(例如，地域、文化背景、社會(huì)地位等)的影響，并非所有的聯(lián)盟都能形成。這促使了具有限制結(jié)構(gòu)的合作博弈(簡稱為限制博弈)的產(chǎn)生。其中，Aumann和Dreze[24]研究了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的限制博弈。Myerson[25]則研究了具有圖結(jié)構(gòu)的限制博弈。通常，限制博弈可以被定義為一個(gè)三元組(N，c，Ω)，其中N為有限的參與者集合，c為特征函數(shù)，Ω為可行聯(lián)盟(即可以形成的聯(lián)盟)的集合，并且φ，N∈Ω，即空集和大聯(lián)盟均是可行聯(lián)盟[26]。Faigle[27]研究了大聯(lián)盟不是可行聯(lián)盟的情況(即N?Ω)，進(jìn)而定義了一個(gè)四元組(N，c，Ω，c0)，其中c(N)=c0?？尚新?lián)盟集Ω通常有多種表現(xiàn)形式，例如，Owen[28]定義的優(yōu)先聯(lián)盟(即在博弈開始之前參與者約定結(jié)盟并統(tǒng)一行動(dòng))，Myerson[25]通過圖結(jié)構(gòu)假定只有連通的參與者才能形成聯(lián)盟， 而Gilles和Owen[29]則通過準(zhǔn)許結(jié)構(gòu)假設(shè)參與者要獲得其上級的同意才可以形成聯(lián)盟等。此外，Bilbao[30]給出了凸幾何結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。

2 問題的模型描述及相關(guān)符號

我們考慮某一區(qū)域的易腐品零售商在某個(gè)時(shí)間段T需要一定量的同種易腐品，且市場上有一些具有不同運(yùn)輸時(shí)間、保鮮技術(shù)和運(yùn)輸費(fèi)用的運(yùn)輸設(shè)施可以選擇。

對于一個(gè)易腐品零售商來說，在選擇運(yùn)輸設(shè)施時(shí)，他需要考慮運(yùn)輸成本、運(yùn)輸時(shí)間和保鮮效果。本文將易腐品新鮮度的變化量價(jià)值化，將它看作為費(fèi)用。因此零售商要承擔(dān)包括運(yùn)輸成本和易腐品新鮮度下降帶來的損失在內(nèi)的總費(fèi)用。在易腐品需求量不大的情況下，一些零售商可以考慮選擇同一個(gè)運(yùn)輸設(shè)施來實(shí)現(xiàn)聯(lián)合運(yùn)輸。這就是找到一個(gè)運(yùn)輸設(shè)施使總費(fèi)用最小的設(shè)施選擇問題。

通常，用新鮮度因子來刻畫易腐品的新鮮度。但在不同的情況下新鮮度因子的定義也不一樣。但斌等[31]通過構(gòu)建具有加速衰減特征的指數(shù)函數(shù)θt=θ0e-ηt來作為生鮮農(nóng)產(chǎn)品新鮮度因子的表達(dá)式，并建立了考慮消費(fèi)者效用與保鮮的易腐品EQO模型。李瀅棠[32]認(rèn)為果蔬品供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的某節(jié)點(diǎn)的新鮮度因子的大小取決于其上游的節(jié)點(diǎn)的果蔬品新鮮度因子的大小，并通過θi=f{θi-1}來表達(dá)果蔬品新鮮度的迭代關(guān)系， 并在此基礎(chǔ)上研究了供應(yīng)鏈協(xié)同決策的問題。

本文借鑒新鮮度因子的概念，將運(yùn)輸設(shè)施i對易腐品新鮮度的影響Δθi定義為：Δθi=eηti-ui。 其中η表示易腐品新鮮度隨著時(shí)間衰減的速度，η>0，η越大表示易腐品新鮮度衰減速度越快，η由易腐品的種類決定。ηti-ui≤0即保鮮技術(shù)僅能起到保持易腐品新鮮度的作用，無法使易腐品新鮮度提高。本文定義易腐品新鮮度對價(jià)格的影響為：Δp=aΔθ，其中a為新鮮度對價(jià)格的影響系數(shù)，a>0，易腐品的種類不同，a值也將不同。

定義1 對于i∈L，j∈N，易腐品運(yùn)輸設(shè)施選擇問題定義為：

(1)

(2)

xij≤yi?i∈L,j∈N

(3)

xij,yi=0或1

(4)

(5)

其中yi=1時(shí),表示運(yùn)輸設(shè)施i開放,可以被使用,i∈L，否則yi=0。xij=1時(shí)，表示零售商j選擇運(yùn)輸設(shè)施i，?i∈L,j∈N；否則xij=0。

目標(biāo)函數(shù)(1)表示總費(fèi)用(包括固定費(fèi)用， 變動(dòng)成本和因新鮮度下降導(dǎo)致的價(jià)值損失)最?。患s束(2)-(3)保證了每個(gè)零售商僅被一個(gè)開放的運(yùn)輸設(shè)施服務(wù)；約束(5)確保零售商的總需求不超過其所選定的運(yùn)輸設(shè)施的容量。

上述模型的目的是對考慮容量限制的運(yùn)輸設(shè)施選擇問題，找一個(gè)極小化總費(fèi)用的最佳方案?？紤]對應(yīng)于選擇的運(yùn)輸設(shè)施，是否總費(fèi)用能夠被公平地、平穩(wěn)地在所有零售商之間進(jìn)行分?jǐn)偂?/p>

即可行聯(lián)盟內(nèi)所有零售商的運(yùn)輸需求總和不能超過所有種類的運(yùn)輸設(shè)施的最小容量，Ω為所有可行聯(lián)盟的集合。對于所有的可行聯(lián)盟T∈Ω：

對于所有S?Ω，S可以劃分成有限個(gè)可行的子聯(lián)盟，且各個(gè)可行子聯(lián)盟之間互不相交，那么就記這種劃分的集合為P(S,Ω)，則：

注意到當(dāng)S∈Ω時(shí)，P(S,Ω)={S}。因?yàn)榭紤]了容量限制，所以大聯(lián)盟N?Ω，則必然存在劃分p*，使大聯(lián)盟的費(fèi)用最小，也即：

xij≤yi?i∈L,j∈R。

xij,yi=0或1。

3 易腐品聯(lián)合運(yùn)輸費(fèi)用分?jǐn)偛┺牡奶卣?/h2>

(1)對于所有S,T∈Ω，S∩T=φ且{S∪T}∈Ω，則有：

和

因?yàn)閧S∪T}∈Ω，則

和

那么，我們有：

(6)

和

(7)

若FCS>FCT，則Δθ(tS,uS)<Δθ(tT,uT)，所以(6)<0。也即：

(8)

若FCS

(9)

(2)對于所有S,T∈Ω，S∩T=φ且{S∪T}?Ω，則聯(lián)盟S∩T可以劃分為有限個(gè)可行子聯(lián)盟R，且各個(gè)子聯(lián)盟之間互不相交，這種劃分記為P(S∪T,Ω)，那么

因?yàn)閧S∪T}∈P(S∪T,Ω)，易得：

(3)對于所有的S,T?Ω，S∩T=φ，則有S∪T?Ω。不可行聯(lián)盟S的劃分為P(S,Ω)；T的劃分為P(T,Ω)；S∪T的劃分為P(S∪T,Ω)。

因?yàn)?P(T,Ω)∪P(S,Ω))?P(S∪T,Ω)，所以

(4)對于所有S∈Ω，T?Ω，且滿足S∩T=φ和S∪T?Ω。則聯(lián)盟S的劃分為P(S,Ω)，聯(lián)盟S∪T的劃分為P(S∪T,Ω)。

因?yàn)閷τ谒械膒(S,Ω)∈P(S,Ω)，都滿足(p(S,Ω)∪T)∈P(S∪T,Ω)。易得：

命題1說明不同的零售商之間合作選擇同一運(yùn)輸設(shè)施來運(yùn)輸他們需要的易腐品會(huì)更節(jié)省成本，進(jìn)而說明易腐品零售商之間的合作是有意義的。

命題2 若S?T∈Ω， 則對應(yīng)于c(S)和c(T)的新鮮度衰減程度Δθ(tS,uS)和Δθ(tT,uT)，有Δθ(tS,uS)≥Δθ(tT,uT)。

證明：因?yàn)?/p>

(10)

(11)

(12)

(13)

從而可得：

其中，不等式的左側(cè)由式(12)減去式(11)得到，而右側(cè)由式(13)減去式(10)得到。整理后可得Δθ(tS,uS)≥Δθ(tT,uT)。命題2得證。

命題2說明運(yùn)輸量越大的聯(lián)盟更愿意選擇固定成本(FC)等大,但運(yùn)輸時(shí)間更短,保鮮技術(shù)更好的運(yùn)輸設(shè)施來減少易腐品運(yùn)輸過程中因易腐品新鮮度下降造成的損耗。

證明：令

而

由于

所以

又由于

所以

綜上可得：

aΔθ(tT∪{i},uT∪{i})d{i}≤h(T,{i})≤aΔθ(tT,uT)d{i}

同理，我們有

aΔθ(tS∪{i},uS∪{i})d{i}≤h(S,{i})≤aΔθ(tS,uS)d{i}

容易得到

h(S,{i})-h(T,{i})≥ad{i}[Δθ(tS∪{i},uS∪{i})-Δθ(tT,uT)]

(14)

又因?yàn)?/p>

因此可得：

(15)

當(dāng)Δθ(tT,uT)≤Δθ(tS∪{i},uS∪{i})，由式(14)得h(S,{i})-h(T,{i})≥0；否則，由式(15)得h(S,{i})-h(T,{i})≥0。即：

恒成立。命題3得證。

命題3說明一個(gè)易腐品零售商或可行聯(lián)盟更愿意加入規(guī)模更大的可行聯(lián)盟。下面的命題給出了限制核非空的充分條件。

Rl(T∪{i})=Rl(T)或Rl(T)?Rl(T∪{i})。

因?yàn)镽l(T),Rl(S),Rl(T∪{i}),Rl(S∪{i})∈Ω，l=(1,2,…,k)，因此由命題3易得下面的式子成立：對每個(gè)l=1,2,…,k，

c(Rl(T)∪{i})-c(Rl(T))≤c(Rl(S)∪{i})-c(Rl(S))

(16)

4 實(shí)例分析

易腐品零售商N(yùn)={1,2,3,4}，4個(gè)零售商各自的需求d={1.8,3.2,1.9,2.2}。

運(yùn)輸設(shè)施集L={A,B,C}，有固定成本FC={FCA,FCB,FCC}={0.8,3.7,6.2}，單位時(shí)間的變動(dòng)成本VC={VCA,VCB,VCC}={1.5,1.4,1.3}，運(yùn)輸時(shí)間t={tA,tB,tC}={3.5,2.4,1.7}，保險(xiǎn)技術(shù)因子u={uA,uB,uC}={1.25,1.29,1.37}，載荷量Q={QA,QB,QC}={4,5,4}。

假定所有的易腐品零售商運(yùn)輸同一種易腐品，則新鮮度對價(jià)格的影響系數(shù)a和易腐品新鮮度隨著時(shí)間衰減速度η是統(tǒng)一的，a=8,η=0.1。此時(shí)，容易得到可行聯(lián)盟集為：

Ω={{1},{2},{3},{4},{1,3},{1,4}}。

所有可行聯(lián)盟選擇各個(gè)運(yùn)輸設(shè)施所產(chǎn)生的總成本計(jì)算如表1。

表1 可行聯(lián)盟選擇各個(gè)運(yùn)輸設(shè)施所產(chǎn)生的總成本

x1+x2+x3+x4=46.30

其中x(S)=∑i∈Sxi。該限制核非空，x1={5.0582,16.02,12.23,12.9918}位于限制核里。

我們分別計(jì)算Shapley值φ(S)，τ-值和核仁η(S)(見表3)。

表2 限制博弈的特征函數(shù)值

表3 限制博弈的一些解

由表3可以知道：τ-值τ(S)和核仁η(S)和Shapley值φ(S)都不在和核心中。

5 結(jié)語

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們對易腐品的需求越來越大，而質(zhì)量要求也越來越高。因?yàn)橐赘返倪\(yùn)輸呈運(yùn)量小批量化的特點(diǎn)，所以易腐品零售商采用聯(lián)合運(yùn)輸，共同選擇性能好的運(yùn)輸設(shè)施。 本文考慮了運(yùn)輸設(shè)施的保鮮技術(shù)對易腐品新鮮度的影響，建立考慮容量限制的易腐品運(yùn)輸設(shè)施選擇問題模型，并借鑒限制博弈的可行聯(lián)盟的思想將該模型的費(fèi)用分?jǐn)倖栴}轉(zhuǎn)化為限制博弈模型，最后通過證明該限制博弈的凹性，得到了該限制核非空的充分條件。研究結(jié)果表明，在多個(gè)零售商合作選擇運(yùn)輸設(shè)施來運(yùn)輸生鮮農(nóng)產(chǎn)品時(shí)， 則傾向于選擇一個(gè)租金較昂貴的運(yùn)輸設(shè)施，此時(shí)來獲得更短的運(yùn)輸時(shí)間和更好的保鮮技術(shù)來降低總成本。本文研究的易腐品運(yùn)輸設(shè)施選擇問題只是一類情形。事實(shí)上，有時(shí)產(chǎn)品質(zhì)量等因素也有限制要求，此類約束的運(yùn)輸設(shè)施選擇博弈還待進(jìn)一步研究。

致謝： 感謝評審專家的仔細(xì)閱讀和有價(jià)值的建議。