劉 寶，董明剛，敬 超

(1.桂林理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 桂林 541004； 2.廣西嵌入式技術(shù)與智能系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，廣西 桂林541004)(*通信作者電子郵箱d2015mg@qq.com)

0 引言

現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的問題擁有兩個(gè)或者更多的目標(biāo)需要同時(shí)優(yōu)化，這些目標(biāo)之間相互聯(lián)系，彼此制約，此類問題均可以描述為多目標(biāo)優(yōu)化問題。多目標(biāo)差分進(jìn)化算法采用實(shí)數(shù)編碼，操作簡單，具有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力，已被廣泛應(yīng)用于聯(lián)盟運(yùn)輸調(diào)度[1]、電力系統(tǒng)[2]和生物醫(yī)學(xué)[3]等多目標(biāo)優(yōu)化問題領(lǐng)域。

近年來，在多目標(biāo)差分進(jìn)化算法方面，Li等[4]將差分進(jìn)化算法與基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multiobjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，MOEA/D)[5]中的分解思想相結(jié)合，提出了一種基于分解的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(Multiobjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition with Differential Evolution，MOEA/D-DE)，用以解決具有復(fù)雜Pareto集合的多目標(biāo)優(yōu)化問題。許玉龍等[6]通過結(jié)合一種快速非支配解排序策略和均勻擁擠距離計(jì)算方法，提出了一種基于非支配解排序的快速多目標(biāo)微分進(jìn)化算法，用以解決基于Pareto非支配解排序的多目標(biāo)進(jìn)化算法高時(shí)間復(fù)雜度問題。魏文紅等[7]采用基于泛化反向?qū)W習(xí)的機(jī)制，提出了一種基于泛化反向?qū)W習(xí)的多目標(biāo)約束差分進(jìn)化算法，用以解決多目標(biāo)約束優(yōu)化問題。Ali等[8]提出了一種高效的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法，依據(jù)最優(yōu)基向量變異策略和一種新的選擇方法，有效地提高了算法的收斂性能。Leung等[9]提出了一種反向參數(shù)控制多目標(biāo)差分進(jìn)化算法，在算法運(yùn)行的不同階段通過調(diào)整參數(shù)值來提高算法的收斂速度。Zhao等[10]采用一種改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式和非支配排序方法，有效地提高了多目標(biāo)差分進(jìn)化算法所求結(jié)果的多樣性。Chen等[11]在保持多目標(biāo)差分進(jìn)化算法框架簡潔性的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)[12]中排序變異的思想，提出了一種基于排序變異的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(Multi-Objective Differential Evolution with Ranking-based Mutation Operator，MODE-RMO)。該算法將種群中的較優(yōu)個(gè)體賦予更大的概率作為變異公式中的參與向量，較為有效地提高了算法的尋優(yōu)性能。

總體而言，盡管近幾年在多目標(biāo)差分進(jìn)化算法方面取得了很多重要進(jìn)展，但是仍存在著收斂速度較慢和均勻性欠佳等問題。本文在MODE-RMO的基礎(chǔ)上，通過將上述文獻(xiàn)[8]中的最優(yōu)基向量變異策略與排序變異算子相結(jié)合，有效地提高了算法的收斂速度；并采用文獻(xiàn)[9]中反向參數(shù)控制方法和文獻(xiàn)[10]中的改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式，提出了一種改進(jìn)的排序變異多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(Multi-Objective Differential Evolution algorithm with Improved Ranking-based Mutation，MODE-IRM)。將MODE-IRM與其他四種算法在七個(gè)函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，結(jié)果表明該算法在收斂性和均勻性上均優(yōu)于其他對比算法，從而驗(yàn)證了本文所提算法適合于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題和MODE-RMO

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

不失一般性，一個(gè)包含n個(gè)決策變量和m個(gè)目標(biāo)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題[13]可以描述為：

miny=F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T

(1)

s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,q

hj(x)=0,j=1,2,…,p

其中:F(x)包含了m個(gè)子目標(biāo)函數(shù)，它們共同構(gòu)成了優(yōu)化目標(biāo)向量;x=(x1,x2,…,xn)∈Rn為n維決策變量;gi(x)≤0和hj(x)=0為約束條件，分別包含了q個(gè)不等式和p個(gè)等式，所有滿足約束條件的x構(gòu)成了可行解集合。多目標(biāo)優(yōu)化問題就是從可行解集合中求出優(yōu)化目標(biāo)向量值最佳的解集合。

1.2 MODE-RMO

MODE-RMO與一般的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法總體框架相同，不同之處在于增加了排序變異操作。其具體方法可以大致分為如下五步：

步驟1 確定規(guī)模因子F和交叉概率CR的值，初始化一個(gè)規(guī)模為Np的種群，并計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

步驟2 對于種群中的所有個(gè)體，執(zhí)行排序變異操作。針對每一個(gè)體，利用排序方法，從種群中依次選擇出變異公式(2)中的xr1、xr2和xr3。

vi=xr1+F·(xr2-xr3)

(2)

首先利用NSGA-Ⅱ(Nondominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ)[14]中的非支配排序算法和擁擠距離計(jì)算公式將所有個(gè)體進(jìn)行排序,此時(shí)適應(yīng)度值較好的個(gè)體獲得了較小的序列值i;然后利用式(3)將排序后的個(gè)體賦予一個(gè)序號(hào)Ri。

Ri=Np-i;i=1,2,…,Np

(3)

此時(shí)種群中適應(yīng)度值較好的個(gè)體獲得了較大的序號(hào)值Ri。接下來根據(jù)式(4)計(jì)算出每個(gè)個(gè)體的選擇概率pi。

pi=Ri/Np;i=1,2,…,Np

(4)

這樣種群中的所有個(gè)體都完成了選擇概率的排序，適應(yīng)度值較好的個(gè)體獲得了較大的選擇概率。接下來對種群中的所有個(gè)體進(jìn)行變異操作。

對于變異公式(2)中xr1的選擇，首先從種群中隨機(jī)選出一個(gè)不同于xi的個(gè)體，然后從(0,1)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，如果所選個(gè)體的概率值pr1不小于隨機(jī)數(shù)值，則選擇成功，否則重新進(jìn)行選擇；xr2的選擇與xr1相同，且保證xr2和xr1互不相同；xr3只需要從種群中隨機(jī)選擇一個(gè)不同于xr1和xr2的個(gè)體即可。

步驟3 將父代個(gè)體xi和變異向量vi按照式(5)進(jìn)行交叉。其中，randj∈(0,1),sn為{1,2,…,D}中隨機(jī)選擇的一個(gè)數(shù)。

(5)

步驟4 根據(jù)父代個(gè)體xi和實(shí)驗(yàn)向量ui之間的支配關(guān)系，進(jìn)行初步選擇。若ui支配xi,則用ui替代xi;若xi支配ui,則丟棄ui;若ui和xi互不支配，則ui將加入到當(dāng)前種群中。

步驟5 此時(shí)種群規(guī)模為Np到2Np之間，再次利用NSGA-Ⅱ中的非支配排序算法和擁擠距離計(jì)算公式將所有個(gè)體進(jìn)行排序，取前Np個(gè)較好個(gè)體進(jìn)入下一代繼續(xù)優(yōu)化，直到找到滿足終止條件的解為止。

2 改進(jìn)的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法

2.1 最優(yōu)基向量排序變異策略

在MODE-RMO的變異過程中，通過排序變異操作，使得較好的個(gè)體擁有較大的概率被選擇作為變異公式(2)中的xr1和xr2參與變異操作，較為有效地提高了算法的收斂性。但是，與xr2和xr3相比，xr1作為基向量在變異過程中發(fā)揮著更為關(guān)鍵的作用。在MODE-RMO中，xr1、xr2和xr3的選擇仍然具有一定的隨機(jī)性，沒有對它們之間的優(yōu)劣關(guān)系進(jìn)行比較。

文獻(xiàn)[8]在多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的變異操作中，在隨機(jī)選擇xr1、xr2和xr3的基礎(chǔ)上，通過比較三個(gè)個(gè)體之間的支配關(guān)系，進(jìn)行再次分配。如果xr1、xr2和xr3中存在一個(gè)個(gè)體支配其他兩個(gè)個(gè)體，便將其作為xr1;若不存在，xr1則從三個(gè)個(gè)體中隨機(jī)選擇。該方法的主要目是從參與變異的三個(gè)個(gè)體中選取較好的一個(gè)作為基向量xr1,從而提高算法的收斂速度。但是僅僅依靠支配關(guān)系進(jìn)行比較，對于同一Pareto前沿上個(gè)體的選擇，只能隨機(jī)進(jìn)行。

在自然條件下，由于滑坡滑體中土體結(jié)構(gòu)松散，透水性較好，在降雨條件下，隨著雨水入滲，自重加大，基巖頂面處的強(qiáng)風(fēng)化泥灰?guī)r遇水易軟化變形，抗剪強(qiáng)度降低，在暴雨時(shí)期，易形成貫通性滑帶，從而誘發(fā)上部滑體向下滑移，導(dǎo)致滑坡的整體失穩(wěn)。經(jīng)近期多次觀察，滑坡地貌變化大，滑坡有向后緣、西側(cè)繼續(xù)發(fā)展明顯跡象，變形速度呈加劇的趨勢。結(jié)合滑坡穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果，該滑坡在暴雨工況下，處于不穩(wěn)定狀態(tài)，危險(xiǎn)性大，應(yīng)盡快進(jìn)行治理。

本文在排序變異和單純依靠支配關(guān)系選取基向量的基礎(chǔ)上，將兩種方法的優(yōu)勢進(jìn)行互補(bǔ)，提出了一種最優(yōu)基向量排序變異策略。該變異策略主要包括以下兩方面：

1)依據(jù)1.2節(jié)中MODE-RMO的排序操作，通過非支配排序和擁擠距離計(jì)算，使得種群中的所有個(gè)體按其適應(yīng)度值有序排列。再按照式(3)和(4)對所有個(gè)體依次進(jìn)行計(jì)算，得到每一個(gè)體被選中作為變異操作中的參與個(gè)體的概率值，使得適應(yīng)度值較好的個(gè)體獲得了較大的選中概率。

2)對初始種群中的所有個(gè)體依次進(jìn)行變異操作。針對每一個(gè)體，依據(jù)MODE-RMO中將隨機(jī)個(gè)體選中概率值與隨機(jī)數(shù)進(jìn)行比較的方法，對變異公式(2)中的xr1,xr2和xr3三個(gè)個(gè)體，依次從種群中進(jìn)行初步選擇。

在已經(jīng)選擇好xr1,xr2和xr3的基礎(chǔ)上，再將xr1和xr2依據(jù)式(6)進(jìn)行比較，選擇出較好的一個(gè)作為xr1。

(6)

其中:xr1xr2表示xr1支配xr2,xr1/xr2表示xr1不支配xr2,Dxr1和Dxr2分別表示xr1和xr2在整個(gè)種群中的擁擠距離。擁擠距離是一項(xiàng)重要的判斷依據(jù)，但原始的擁擠距離計(jì)算公式存在著不足，因此在本文算法中采用了一種改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式，具體內(nèi)容參見2.3節(jié)。

依據(jù)同樣道理，將選擇后的xr1和xr3進(jìn)行對比，選擇較好的一個(gè)作為xr1。此時(shí)完成了變異公式(2)中的xr1、xr2和xr3的選擇，從支配關(guān)系和擁擠程度兩個(gè)方面來說，xr1為三個(gè)個(gè)體中的最優(yōu)。根據(jù)該種方法，將種群中的所有個(gè)體依次按照式(2)進(jìn)行變異操作。

由于在第一部分已經(jīng)將種群中的所有個(gè)體依據(jù)支配關(guān)系和擁擠距離進(jìn)行了排序，所以在第二部分比較xr1、xr2和xr3的優(yōu)劣關(guān)系時(shí)，只需要將它們的序列值i進(jìn)行比較，選擇其中具有最小i值的個(gè)體作為基向量xr1即可，從而保證了基向量xr1為參與變異操作三個(gè)個(gè)體中的最優(yōu)。

2.2 反向參數(shù)控制方法

在差分進(jìn)化算法中，規(guī)模因子F和交叉概率CR發(fā)揮著重要的作用。在優(yōu)化算法的整個(gè)搜索過程中，對于不同的優(yōu)化階段，適合當(dāng)前尋優(yōu)的參數(shù)值并不相同[9]。然而MODE-RMO在整個(gè)算法的運(yùn)行過程中，F(xiàn)和CR的值始終保持不變。參數(shù)自適應(yīng)策略已經(jīng)被證明能夠有效地提高多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的尋優(yōu)性能[15-16]，因此本文所提出的算法在MODE-RMO的基礎(chǔ)上融入了參數(shù)自適應(yīng)策略。

(7)

本文中規(guī)定，參數(shù)具有成功和失敗兩種狀態(tài)。當(dāng)ui支配xi,或者ui和xi互不支配時(shí)，參數(shù)處于成功狀態(tài)；反之，當(dāng)xi支配ui時(shí)，參數(shù)處于失敗狀態(tài)。

若當(dāng)前參數(shù)處于成功狀態(tài)，則對參數(shù)進(jìn)行保持操作，意味著此時(shí)該參數(shù)適合于當(dāng)前階段的種群優(yōu)化；反之，當(dāng)參數(shù)處于失敗狀態(tài)時(shí)，則說明該參數(shù)此時(shí)已不再適合當(dāng)前階段的種群優(yōu)化，進(jìn)而對當(dāng)前的參數(shù)值進(jìn)行調(diào)整。若當(dāng)前參數(shù)值已經(jīng)取反，則對其進(jìn)行重置操作；若當(dāng)前參數(shù)值未取反，則對其進(jìn)行取反操作。具體步驟如圖1所示。

2.3 改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式

MODE-RMO采用NSGA-Ⅱ中的非支配排序算法和擁擠距離計(jì)算公式對種群中的個(gè)體進(jìn)行排序，用來進(jìn)行變異和算法最后的選擇操作，在整個(gè)算法運(yùn)行中起著非常關(guān)鍵的作用。然而其中的擁擠距離計(jì)算公式有時(shí)候并不能精確反映出個(gè)體的擁擠程度。當(dāng)個(gè)體B和E擁有相同的兩個(gè)鄰居A和C,且E更接近于鄰居的中間位置時(shí)，通過計(jì)算得出相同的擁擠距離。但是通過圖2(a)和圖2(b)可以明顯地看出，個(gè)體E的擁擠程度要好于B。

圖1 反向參數(shù)控制方法

圖2 改進(jìn)前的擁擠距離計(jì)算

本文采用文獻(xiàn)[10]中改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式，具體描述如下：

min(|fi(A)-fi(B)|,|fi(B)-fi(C)|))

(8)

其中：個(gè)體B的擁擠距離包括兩個(gè)部分，其中一部分為兩個(gè)鄰居個(gè)體A和C在每個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的差值求和，其從總體上反映出個(gè)體B的擁擠程度；另外一部分為個(gè)體A和C的中點(diǎn)O與個(gè)體B在每個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的差值求和，其更為細(xì)致地反映出個(gè)體A、B和C之間的分布比例。同樣當(dāng)個(gè)體B和E擁有相同的兩個(gè)鄰居，且E更接近于鄰居的中間位置時(shí)，通過該公式的計(jì)算，可以正確地求解出個(gè)體E的擁擠距離要大于B。如圖3(a)和圖3(b)所示，改進(jìn)后的擁擠距離計(jì)算公式能夠更好地反映出個(gè)體B和E的擁擠程度。

圖3 改進(jìn)后的擁擠距離計(jì)算

2.4 MODE-IRM總框架

本文算法步驟如下：

步驟1 輸入具有m個(gè)目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題和相關(guān)參數(shù)，如種群規(guī)模Np,規(guī)模因子F的最大值Fmax和最小值Fmin,交叉概率CR的最大值CRmax和最小值CRmin,以及算法終止條件(最大函數(shù)評估次數(shù)或最大進(jìn)化代數(shù))。

步驟2 初始化一個(gè)規(guī)模為Np的種群，為種群中每個(gè)個(gè)體分配一個(gè)Fi和CRi的隨機(jī)值，且Fi∈(Fmin,Fmax),CRi∈(CRmin,CRmax)。同時(shí)為每個(gè)個(gè)體設(shè)置一個(gè)參數(shù)狀態(tài)標(biāo)記Si,用0和1分別表示未取反和已取反，初始時(shí)Si=0。并計(jì)算每個(gè)個(gè)體xi的適應(yīng)度值。

步驟3 對種群中的所有個(gè)體，根據(jù)2.1節(jié)的最優(yōu)基向量排序變異策略進(jìn)行變異操作，得到vi。再根據(jù)式(5)對所有個(gè)體進(jìn)行交叉操作，求得ui。檢查ui是否超出決策變量的取值范圍，若不超出則繼續(xù)；若超出，則在取值范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)向量取代ui。

步驟4 根據(jù)xi和ui之間的支配關(guān)系，進(jìn)行初步選擇。若ui支配xi,則用ui替代xi;若xi支配ui,則丟棄ui;若ui和xi互不支配，則ui將加入到當(dāng)前種群中。同時(shí)根據(jù)2.2節(jié)中的反向參數(shù)控制方法更新Fi,CRi和Si的值。

步驟5 此時(shí)種群規(guī)模為Np到2Np之間，需要進(jìn)行裁剪操作。利用NSGA-Ⅱ中的非支配排序算法和2.3節(jié)中改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式對種群中所有個(gè)體進(jìn)行排序，選取前Np個(gè)較好的個(gè)體。

步驟6 終止條件判斷。若不滿足終止條件，返回至步驟3；否則，輸出所求問題的近似Pareto最優(yōu)解集并結(jié)束運(yùn)行。

整個(gè)MODE-IRM的運(yùn)行過程如圖4所示。

圖4 MODE-IRM流程

3 算法復(fù)雜度分析

相比MODE-RMO，MODE-IRM雖然采用了一些改進(jìn)方法，但卻只是在原算法框架的基礎(chǔ)上增加了少量的操作，因此MODE-IRM仍保持了多目標(biāo)差分進(jìn)化算法框架的簡潔性。由于采用了最優(yōu)基向量排序變異策略，MODE-IRM在第一次迭代之前需要對種群進(jìn)行一次額外的排序操作。但是從第二次迭代開始，由于前一代在算法末尾部分(步驟7)，已經(jīng)把種群進(jìn)行了排序，所以可以直接用于變異操作中父代個(gè)體的選擇，不需要額外的排序操作。對于反向參數(shù)控制方法和改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式，也只是增加了少量的計(jì)算量，所以MODE-IRM的時(shí)間復(fù)雜度并沒有增加，與MODE-RMO和NSGA-Ⅱ這兩種算法相同,也就是O(Tmax·m·Np2)。其中：Tmax是最大進(jìn)化代數(shù)，m是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)，Np是種群規(guī)模。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證MODE-IRM求解多目標(biāo)問題的性能，本文選取標(biāo)準(zhǔn)雙目標(biāo)優(yōu)化問題ZDT中的ZDT1～ZDT4和ZDT6以及標(biāo)準(zhǔn)三目標(biāo)優(yōu)化問題DTLZ中的DTLZ6和DTLZ7共七個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，各函數(shù)的具體形式可參見文獻(xiàn)[14]和[18]，并選取MODE-RMO和PlatEMO(Matlab Platform for Evolutionary Multi-objective Optimization)[19]平臺(tái)上的MOEA/D-DE、RM-MEDA(Regularity Model-based Multi-objective Estimation of Distribution Algorithm)、IM-MOEA(Inverse Modeling Multi-objective Evolutionary Algorithm)作為對比算法。

為了公平比較，所有參與比較算法的初始種群規(guī)模Np均設(shè)置為100。對于最大函數(shù)評估次數(shù)，ZDT系列函數(shù)均設(shè)置為25 000，DTLZ6設(shè)置為50 000，DTLZ7設(shè)置為20 000。關(guān)于算法自身參數(shù)的設(shè)置，針對本文算法，F(xiàn)max=1,Fmin=0,CRmax=0.4,CRmin=0。四種對比算法則均按照原文獻(xiàn)和系統(tǒng)默認(rèn)值設(shè)定。

4.2 算法性能度量指標(biāo)

為了量化對比實(shí)驗(yàn)中算法的性能，本文采用世代距離(Generational Distance， GD)、反向世代距離(Inverted Generational Distance， IGD)[19]和間隔指標(biāo)(Spacing， SP)[20]作為度量指標(biāo)。GD主要反映算法的收斂性，SP主要反映算法所求解的均勻性，IGD則能同時(shí)反映收斂性和均勻性兩個(gè)方面。

GD如式(9)所定義：

(9)

其中：P是算法求得的一組非支配解的目標(biāo)函數(shù)值，P*是真實(shí)Pareto前沿上的一組采樣點(diǎn)，|P|代表P的個(gè)數(shù)，dis(x,z)代表x和z之間的歐幾里得距離。

IGD定義類似于GD，如式(10)所示，通過計(jì)算，IGD求得P*中的每個(gè)點(diǎn)到P中離它最近點(diǎn)的距離的平均值。

(10)

SP的定義如式(11)所示：

(11)

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

所有實(shí)驗(yàn)的測試均在硬件配置為Pentium CPU 2.60 GHz和4 GB內(nèi)存的個(gè)人計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，采用Matlab 2016a編寫程序。為了減少隨機(jī)因素對算法有效性分析的影響，對于所有測試函數(shù)，本文中所比較的算法均獨(dú)立運(yùn)行20次，并對其結(jié)果取平均值。七種算法求解獲得的性能指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1～3所示。

對于本文所采用的3個(gè)度量指標(biāo)，均是數(shù)值越小表示算法性能越好。為了便于觀察，將表1～3中的最優(yōu)結(jié)果值用加粗字體表示。在表1所代表的GD性能度量指標(biāo)方面，除了MOEA/D-DE在ZDT6和DTLZ6上獲得最優(yōu)值外，MODE-IRM在其他所有測試函數(shù)上均值和標(biāo)準(zhǔn)差均取得最優(yōu)。在表2中，盡管IM-MOEA和MOEA/D-DE分別在ZDT4、ZDT6和DTLZ6上占有優(yōu)勢，但是MODE-IRM在剩余四個(gè)測試函數(shù)上IGD的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都取得了最佳值。在SP性能度量指標(biāo)方面，如表3所示，除了MOEA/D-DE和RM-MEDA分別在DTLZ6和DTLZ7上獲得最優(yōu)值外，MODE-IRM在剩余五個(gè)測試函數(shù)上的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均好于對比算法。因此，總體上來說，對于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，在最優(yōu)解集的獲得和算法的穩(wěn)定性兩個(gè)方面，MODE-IRM要好于對比算法。此外，對于三個(gè)性能度量指標(biāo)，本文所提出的MODE-IRM在所有測試函數(shù)上的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于MODE-RMO，這說明MODE-IRM中的一系列策略可以有效地改進(jìn)MODE-RMO的收斂性和均勻性。

為了更加清晰地反映MODE-IRM的有效性，將MODE-IRM和MODE-RMO分別獨(dú)立運(yùn)行20次，參數(shù)值保持不變，ZDT系列函數(shù)的最大進(jìn)化代數(shù)設(shè)為250，DTLZ6和DTLZ7的進(jìn)化代數(shù)分別為500和200。圖5(a)～(g)分別描繪了MODE-IRM和MODE-RMO算法的整個(gè)運(yùn)行過程中，分別在七個(gè)測試函數(shù)上ln(GD)和ln(IGD)的數(shù)值對比情況。從中可以觀察出，對于所有測試函數(shù)，從算法的第50代開始直到結(jié)束，對于每一次迭代的ln(GD)和ln(IGD)，MODE-IRM均要明顯小于MODE-RMO。

綜上所述，本文所提出的MODE-IRM相比其他四種對比算法，在收斂性和均勻性兩個(gè)方面均相對較優(yōu)，能夠更好地收斂到真實(shí)的Pareto前沿。

表1 GD測試結(jié)果

表2 IGD測試結(jié)果

表3 SP測試結(jié)果

5 結(jié)語

本文在MODE-RMO的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的排序變異多目標(biāo)差分進(jìn)化算法MODE-IRM，通過將排序變異算子和最優(yōu)基向量方法相結(jié)合，進(jìn)一步提高了算法逼近真實(shí)Pareto前沿的速度。在算法優(yōu)化的不同階段，根據(jù)規(guī)模因子和交叉概率的參數(shù)狀態(tài)以及前一代的取反情況，動(dòng)態(tài)調(diào)整兩個(gè)參數(shù)值，并結(jié)合改進(jìn)的擁擠距離計(jì)算公式，有效地提高了算法的尋優(yōu)性能。在收斂性和均勻性兩個(gè)重要的度量指標(biāo)方面，本文所提出的MODE-IRM在總體性能上均好于其他七種對比算法。但是本文中只討論了求解非約束條件下的多目標(biāo)優(yōu)化問題，對于帶有約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化問題以及MODE-IRM在具體實(shí)際問題中的應(yīng)用，是下一步需要研究的方向。

致謝 安徽大學(xué)BIMK團(tuán)隊(duì)開發(fā)的多目標(biāo)進(jìn)化算法PlatEMO開源平臺(tái)。對BIMK團(tuán)隊(duì)提供的幫助，在此致以衷心的感謝！

圖5 MODE-IRM和MODE-RMO實(shí)驗(yàn)比較