丁圓圓，張 振，賴華偉，王永剛

(寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,浙江 寧波 315211)

沖擊載荷下結(jié)構(gòu)或材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)研究通常會(huì)歸結(jié)為對(duì)實(shí)測(cè)各種波傳播信息的解讀分析[1-2]。應(yīng)力波傳播和演變特性本質(zhì)上依賴于材料的本構(gòu)行為，因此可利用一系列應(yīng)力波傳播信息來反推材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。20世紀(jì)70年代，F(xiàn)owles[3]、Grady[4]和Seaman[5]提出了Lagrange反分析(簡(jiǎn)稱拉氏反分析)方法，該方法事先不需要對(duì)材料作任何的本構(gòu)關(guān)系假定，實(shí)測(cè)波傳播過程中的某些力學(xué)信息，基于普適的守恒方程計(jì)算得到其他的未知力學(xué)量。唐志平[6]和陳葉青等[7]在20世紀(jì)90年代曾對(duì)拉氏反分析方法的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀進(jìn)行過綜述。近年來，仍然有許有學(xué)者對(duì)拉氏反分析方法進(jìn)行改進(jìn)和完善。陶為俊等[8-9]提出沿時(shí)間逐步求解應(yīng)力和基于最小二乘法的拉氏反分析新方法，獲得了混凝土材料應(yīng)變率相關(guān)的彈塑性本構(gòu)關(guān)系。林英睿等[10]對(duì)爆炸球面波實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行拉氏反分析，得到了花崗巖材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。Wang等[11-12]把Hopkinson實(shí)驗(yàn)技術(shù)與拉氏反分析法相結(jié)合，提出了基于路徑線法的“單點(diǎn)應(yīng)力和速度復(fù)合測(cè)量+多點(diǎn)速度測(cè)量或多點(diǎn)應(yīng)變測(cè)量”的拉氏反分析新方法。近年來，丁圓圓等[13]、Ding等[14]又發(fā)展了基于路徑線法和零初始條件的改進(jìn)型拉氏反分析方法。

雖然拉氏反方法在理論和數(shù)值求解方面都逐漸趨于完善，但極少用于實(shí)驗(yàn)研究中，主要是因?yàn)槿狈Σ▊鞑バ畔⒌母邥r(shí)空分辨動(dòng)態(tài)測(cè)試技術(shù)。傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)測(cè)試手段主要是應(yīng)力計(jì)[15](錳銅應(yīng)力計(jì)或者PVDF(polyvinylidene fluoride)應(yīng)力計(jì))和應(yīng)變片[16]。應(yīng)力計(jì)需要埋入試件內(nèi)部來監(jiān)測(cè)材料內(nèi)部的應(yīng)力流場(chǎng)，由此將在材料內(nèi)部不可避免地留下人為界面，該界面會(huì)對(duì)應(yīng)力波的傳播特性帶來一定的影響，從而影響拉氏反分析的準(zhǔn)確度。試件表面的不同位置粘貼應(yīng)變片可以比較方便地監(jiān)測(cè)應(yīng)變波傳播信息，但是由應(yīng)變波剖面積分求解速度信息和應(yīng)力信息時(shí)，必須有應(yīng)變邊界條件和應(yīng)力邊界條件，這給數(shù)據(jù)處理帶來了雙重困難，會(huì)引入較大誤差。事實(shí)上，在爆炸或沖擊加載下，除了應(yīng)力、應(yīng)變信息外，粒子速度也是一個(gè)重要的物理量，可以比較方便地實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。早期采用磁電式粒子速度計(jì)來監(jiān)測(cè)粒子速度時(shí)程，該技術(shù)是基于電磁感應(yīng)原理[17]。近年來，基于激光多普勒頻移原理的激光干涉粒子速度測(cè)試技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于測(cè)量材料表面的粒子速度時(shí)程[18-21]，該測(cè)試技術(shù)是基于歐拉坐標(biāo)系，測(cè)定的粒子速度時(shí)程不可直接應(yīng)用于拉氏反分析，迄今未見激光干涉粒子速度測(cè)試技術(shù)應(yīng)用于拉氏反分析相關(guān)的實(shí)驗(yàn)工作報(bào)道。數(shù)字圖像相關(guān)性(digital image correlation, DIC)分析也是近年來發(fā)展迅猛的一種材料表面變形的光學(xué)非接觸測(cè)試技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)試件表面位移場(chǎng)、速度場(chǎng)以及應(yīng)變場(chǎng)的實(shí)時(shí)測(cè)量，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于材料靜態(tài)力學(xué)性能測(cè)試領(lǐng)域[22-23]。隨著超高速相機(jī)的發(fā)展，DIC分析也逐漸應(yīng)用于材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能測(cè)試領(lǐng)域[24-25]。

本文以分離式Hopkinson壓桿作為加載手段，借助高時(shí)空分辨率的超高速相機(jī)來實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)PMMA長(zhǎng)桿試件的表面變形散斑圖像，結(jié)合DIC分析技術(shù)，獲得試件表面的粒子速度場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，再提取長(zhǎng)桿試件上不同拉格朗日位置處的質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)程和應(yīng)變時(shí)程，利用零初始條件,結(jié)合路徑線法，構(gòu)建脆性材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)的拉氏反分析實(shí)驗(yàn)技術(shù)，并實(shí)現(xiàn)應(yīng)變時(shí)程的自洽性檢驗(yàn)，以PMMA(polymethyl methacrylate)材料為例，考察該實(shí)驗(yàn)新技術(shù)的適用性。

1 基于零初始條件的拉氏反分析方法

在拉格朗日坐標(biāo)下，一維應(yīng)力波的質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程[2]分別為：

(1)

(2)

式中:v、σ、ε和ρ分別為粒子速度、應(yīng)力、應(yīng)變和密度，X和t分別為拉格朗日坐標(biāo)位置和時(shí)間。

從式(1)和(2)中可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量守恒方程將應(yīng)變?chǔ)排c質(zhì)點(diǎn)速度v聯(lián)系起來，而動(dòng)量守恒方程建立了應(yīng)力σ和質(zhì)點(diǎn)速度v之間的關(guān)系，那么就可以通過測(cè)量中間變量質(zhì)點(diǎn)速度v將應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)诺年P(guān)系建立起來，從而獲取材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。由于v、ε、σ物理量之間是通過一階偏導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系的, 在分析過程中必然涉及微積分處理。在微積分處理前，根據(jù)Grady等[4]提出的路徑線法，需要對(duì)得到的粒子速度場(chǎng)按照加載、卸載和曲線上的特征拐點(diǎn)進(jìn)行分區(qū)，在確定每個(gè)區(qū)域不同X處的粒子速度波形v(Xi,t)后，首先求其對(duì)拉格朗日位置X的一階偏導(dǎo)數(shù)(?v/?X)t，由此可通過方程(1)求得?ε/?t，再利用零時(shí)刻初始條件(t=0時(shí)ε(Xi,0)=0)，對(duì)時(shí)間t的積分求得應(yīng)變波形ε(Xi,t)。但是，在由方程(2)求得應(yīng)力σ(Xi,t)時(shí)則必須有應(yīng)力邊界條件才可以進(jìn)行積分求得。事實(shí)上，對(duì)于σ(Xi,t)同樣也有零時(shí)刻初始條件，為此需要把守恒方程中?σ/?X轉(zhuǎn)換為?σ/?t，從而發(fā)展了零初始條件的拉氏方法。根據(jù)Grady等[4]提出的路徑線法，容易得到應(yīng)力沿路徑線的全微分關(guān)系：

(3)

改寫為：

(4)

利用首條路徑線上滿足零時(shí)刻初始條件：t=0時(shí),σ=(dσ/dX)|p1=0，從而確定零時(shí)刻的路徑線上的?σ/?t，再由數(shù)值積分可確定下一條路徑線上的應(yīng)力σ，由此按式(4)逐次類推，可得到試件不同拉格朗日位置上的應(yīng)力時(shí)程。最后，消去應(yīng)變時(shí)程和應(yīng)力時(shí)程中的時(shí)間參量，即可得到材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

2 實(shí) 驗(yàn)

波傳播反分析實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，該實(shí)驗(yàn)裝置是在分離式Hopkinson壓桿系統(tǒng)上搭建的，通過高壓氣槍發(fā)射鋁合金短桿子彈，子彈撞擊鋁合金入射桿后，在入射桿中產(chǎn)生應(yīng)力脈沖，應(yīng)力脈沖從入射桿傳入PMMA長(zhǎng)桿試件中，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)PMMA試件的動(dòng)態(tài)加載。鋁合金子彈的直徑為14.5 mm，長(zhǎng)度為100 mm。PMMA長(zhǎng)桿試件的直徑也為14.5 mm, 長(zhǎng)度為1 000 mm。這里采用短桿子彈和長(zhǎng)桿試件避免了應(yīng)力波在測(cè)量區(qū)發(fā)生疊加。實(shí)驗(yàn)中，在入射桿前端增加了波形整形器(環(huán)形無氧銅墊片)來調(diào)整應(yīng)力脈沖的波形，以便于實(shí)現(xiàn)恒定應(yīng)變率加載條件。采用基于超高速相機(jī)的DIC技術(shù)來監(jiān)測(cè)長(zhǎng)桿試件中波傳播信息。DIC技術(shù)是一種迅速發(fā)展的材料表面變形場(chǎng)測(cè)量技術(shù)，其基本原理：首先獲取試樣表面散斑圖像，散斑圖像上的所有特征點(diǎn)以像素點(diǎn)為坐標(biāo)，以像素灰度作為信息載體；然后，在試樣表面上劃分出若干個(gè)圖像子區(qū)，類似于有限元計(jì)算中劃分網(wǎng)格，在圖像移動(dòng)或變形過程中，基于圖像子區(qū)灰度值不變的假定，追蹤每個(gè)圖像子區(qū)在變形后圖像的位置，即可獲得所有的圖像子區(qū)中心點(diǎn)處的位移矢量，從而獲得物體表面的位移場(chǎng)信息。有關(guān)DIC方法的詳細(xì)闡述請(qǐng)參見文獻(xiàn)[22]。實(shí)驗(yàn)中，在長(zhǎng)桿試件靠近入射桿的一端人工制作了長(zhǎng)約80 mm的黑白散斑區(qū)。通過超高速相機(jī)實(shí)時(shí)記錄試件散斑區(qū)的表面變形照片。對(duì)散斑照片進(jìn)行DIC分析，即可獲取試件全場(chǎng)位移、速度和應(yīng)變等信息。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，雖然DIC方法已廣泛應(yīng)用于材料準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能測(cè)試，但在材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能測(cè)試方面的應(yīng)用一直受制于超高速相機(jī)的時(shí)空分辨率。近年來，英國(guó)Specialised-imaging 公司成功開發(fā)了一款高時(shí)空分辨率的Kirana相機(jī)，該相機(jī)拍攝速度范圍為1 000～5 000 000 s-1，在所有的拍攝速度下保持圖像分辨率(924×768像素)不變，一次觸發(fā)可連續(xù)拍攝180張照片。在本實(shí)驗(yàn)中，加載應(yīng)力脈沖的脈寬約100 μs，這里采用的拍攝速度為1 000 000 s-1，時(shí)間分辨率為1 μs，總拍攝時(shí)長(zhǎng)為180 μs，因此可以完整記錄應(yīng)力脈沖在試件中的傳播過程。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

采用商業(yè)DIC分析軟件(美國(guó)Correlated Solutions 公司開發(fā)的VIC-2D)對(duì)超高速相機(jī)拍攝到的長(zhǎng)桿試件的散斑圖像進(jìn)行分析。圖2給出幾個(gè)不同時(shí)刻的DIC分析得到的位移場(chǎng)云圖分布，圖中可清楚顯示出應(yīng)力波傳播到散斑區(qū)時(shí)所引起的位移場(chǎng)的變化。30 μs之前應(yīng)力波沒有到達(dá)散斑區(qū)域，位移為零；在約40 μs時(shí)應(yīng)力波抵達(dá)散斑區(qū)域，從而引起了位移場(chǎng)的變化；在50 和60 μs時(shí)可以觀察到應(yīng)力波在桿中傳播。圖3給出了一個(gè)代表性特征點(diǎn)的位移時(shí)程曲線和粒子速度時(shí)程曲線，其中粒子速度時(shí)程曲線是通過對(duì)位移時(shí)程曲線進(jìn)行求導(dǎo)而獲取的。按照此方法，可以沿著長(zhǎng)桿試件在不同的拉格朗日位置點(diǎn)提取出若干條粒子速度時(shí)程曲線。圖4給出了接近撞擊端附近的間距為2.5 mm的4個(gè)典型測(cè)量點(diǎn)的粒子速度時(shí)程曲線，圖中顯示了粒子速度的峰值隨著傳播距離有明顯的衰減，這是因?yàn)樵嚰牧螾MMA是典型的黏彈性材料，這種衰減行為恰是反映了應(yīng)力波在黏彈性材料中傳播時(shí)典型的黏性耗散和彌散特性。

基于不同拉格朗日位置處的粒子速度時(shí)程曲線,根據(jù)式(1),再結(jié)合零初始條件，數(shù)值求解得到不同拉格朗日位置處的應(yīng)變時(shí)程曲線，如圖5所示。為了檢驗(yàn)拉氏反分析得到的應(yīng)變數(shù)據(jù)的可靠性，以一個(gè)典型測(cè)點(diǎn)為例，圖6分別給出了拉氏反分析得到的應(yīng)變時(shí)程與DIC分析得到的結(jié)果，結(jié)果顯示2種方法所得的應(yīng)變時(shí)程具有非常好的一致性，實(shí)現(xiàn)了應(yīng)變自洽性驗(yàn)證。從圖5可以看到，加載段的應(yīng)變時(shí)程的斜率基本保持不變，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法線性擬合，即可得到4個(gè)測(cè)點(diǎn)試件的加載應(yīng)變率在585～636 s-1，隨著波傳播距離的增大，應(yīng)變率稍有減小。實(shí)驗(yàn)中，采用波形整形器技術(shù)產(chǎn)生三角形加載波，這基本保持了加載應(yīng)變率恒定；通過調(diào)整子彈撞擊速度來改變?cè)嚰?yīng)變率和應(yīng)變的大小。

為了求解應(yīng)力時(shí)程，首先按照路徑線法原理，以質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)程曲線上的峰值為特征點(diǎn)把質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)程曲線分為加載區(qū)和卸載區(qū)；在每個(gè)區(qū)域中，對(duì)每條質(zhì)點(diǎn)速度曲線進(jìn)行等間距劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)，那么每條質(zhì)點(diǎn)速度曲線都有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，將每條質(zhì)點(diǎn)速度曲線所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)通過光滑的曲線連接在一起，從而構(gòu)造了路徑線，通過這些路徑線把整個(gè)速度場(chǎng)聯(lián)系在一起，再利用式(4)計(jì)算應(yīng)力時(shí)程。根據(jù)不同拉格朗日位置處的質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)程曲線，見圖4，拉氏反分析數(shù)值求解得到的4個(gè)測(cè)量點(diǎn)應(yīng)力時(shí)程曲線見圖7。

根據(jù)圖5和圖7分別給出的應(yīng)變時(shí)程和應(yīng)力時(shí)程，消去時(shí)間參量，即得到了PMMA材料在高應(yīng)變率(585～636 s-1)下的動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖8所示。圖8同時(shí)也給出了MTS-810萬能試驗(yàn)機(jī)和分離式Hopkinson 壓桿實(shí)驗(yàn)得到的PMMA材料在準(zhǔn)靜態(tài)(10-3s-1)和動(dòng)態(tài) (450 s-1)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，PMMA材料在小應(yīng)變下加載曲線和卸載曲線形成遲滯曲線，這恰好反映了PMMA材料具有非線性黏彈性本構(gòu)響應(yīng)的特征，而在較大應(yīng)變時(shí)則表現(xiàn)出非線性黏彈塑性本構(gòu)響應(yīng)的特征。整體來說，PMMA材料力學(xué)性能的應(yīng)變率效應(yīng)顯著。另外，圖8還顯示：雖然拉氏反分析實(shí)驗(yàn)中試件應(yīng)變率較高，但是試件總應(yīng)變卻小于分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。在分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)中，試件應(yīng)變不僅取決于子彈撞擊速度v，還取決于子彈長(zhǎng)度L(加載脈寬t=2L/C0，C0是子彈中彈性波波速)。但是，在拉氏反分析實(shí)驗(yàn)中，從式(1)可知：試件的應(yīng)變率與速度梯度相關(guān)，主要取決于子彈撞擊速度，在本實(shí)驗(yàn)方案中子彈撞擊速度受限于入射桿材料的彈性極限，這導(dǎo)致在拉氏反分析實(shí)驗(yàn)中難以在試件中產(chǎn)生較大的應(yīng)變，這是拉氏反分析實(shí)驗(yàn)技術(shù)的最大不足之處，制約了拉氏反分析方法更廣泛的應(yīng)用。因此，該方法主要較適合于研究脆性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)行為，如巖石、陶瓷、混凝土、脆性高聚物等。事實(shí)上，傳統(tǒng)的分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)技術(shù)在研究這類脆性材料時(shí)卻遇到了一定的困難，由于脆性材料的破壞應(yīng)變較小，難以滿足應(yīng)變/應(yīng)力均勻性基本假定[26]?？傮w來說，在材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能測(cè)試技術(shù)領(lǐng)域，拉氏反分析實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以作為分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)技術(shù)的有益補(bǔ)充，相輔相成。隨著高精度的波傳播信息多點(diǎn)監(jiān)測(cè)技術(shù)快速發(fā)展，拉氏反分析實(shí)驗(yàn)技術(shù)也將逐漸得到較廣泛的應(yīng)用。

4 結(jié) 論

以分離式Hopkinson壓桿系統(tǒng)作為加載手段，借助超高速數(shù)字相機(jī)和數(shù)字圖像相關(guān)性分析技術(shù)，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)了長(zhǎng)桿試件某特定選區(qū)內(nèi)的位移場(chǎng)、質(zhì)點(diǎn)速度場(chǎng)及應(yīng)變場(chǎng)信息。在不同的拉格朗日位置處提取出若干條質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)程曲線，構(gòu)建路徑線，再利用零初始條件，建立了脆性材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的拉氏反分析數(shù)值求解方法。以PMMA材料為例，成功地獲得了PMMA材料在高應(yīng)變率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，對(duì)比分析了該材料的率相關(guān)本構(gòu)響應(yīng)特征，對(duì)試件的應(yīng)變時(shí)程進(jìn)行了自洽性檢驗(yàn)，驗(yàn)證了新實(shí)驗(yàn)技術(shù)的適用性，同時(shí)討論了該技術(shù)的不足之處。