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        淺論高等數(shù)學中的極限思想

        2018-10-15 07:09:07黃銀海
        大東方 2018年11期
        關(guān)鍵詞:概念思想數(shù)學

        摘 要:高數(shù)中許多重要的概念如導數(shù)、微分、積分等均建立在極限基礎(chǔ)之上,而極限思想蘊涵著豐富的哲學理論,深刻領(lǐng)悟這些哲學理論對掌握高等數(shù)學的學習有著極其重要的意義。

        關(guān)鍵詞:高等數(shù)學極限思想哲學理論

        高等數(shù)學極限思想里蘊涵著豐富的哲學理論。在教學中,教師如果能充分挖掘高等數(shù)學中的哲學理論,用哲學的觀點和思維方法來指導高等數(shù)學教學,不僅可以培養(yǎng)學生的辯證思維,提高學生的哲學素養(yǎng),還可以使學生從新的角度來認識數(shù)學、理解數(shù)學,感受數(shù)學的思想精髓。

        極限思想是一種研究變量變化趨勢的數(shù)學思想,體現(xiàn)了辯證法思想。理解極限概念及其思想中所蘊涵的哲學理論,對掌握高等數(shù)學有著極其重要的意義。

        一、極限思想里體現(xiàn)著對立統(tǒng)一律,極限思想是從有限到無限的工具和橋梁,無論是概念的引入還是概念本身,都體現(xiàn)了變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確的對立統(tǒng)一。例

        如,對于數(shù)列{an}來說,若,當n→∞,其極限為2;在n的逐漸變大的過程中,數(shù)列中的{an}每一項的值隨著n在不斷變化,這個過程是動態(tài)的,項數(shù)也是有限的;但是,當項數(shù)n無限增大時,即n→∞時,an的值無限趨近于一個確定的常數(shù)2,這個無限運動變化的結(jié)果是一個數(shù)值,因此在極限思想中無限是有限的發(fā)展,有限是無限的結(jié)果,它們既相互對立又相互統(tǒng)一。

        二、極限思想里體現(xiàn)著量變引起質(zhì)變的規(guī)律,當量的變化達到一定程度會引起質(zhì)的變化。質(zhì)變不僅可以完成量變,而且為新

        的量變又開啟了航程。如,當n為有

        限項時,sn是無窮小量,但當n→∞時,量變卻引起sn“質(zhì)”的變

        化,,此時sn卻不再是無窮小量了。

        在高等數(shù)學導數(shù)概念的引入例子中,為求曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率,首先在曲線上另取一點Q,先得割線PQ的斜率;然后讓點Q沿曲線y=f(x)無限地趨近點P,割線的極限位置就是曲線在點P處的切線,而割線PQ斜率的極限值就是曲線y=f(x)在點P處切線的斜率。在點Q沿曲線無限接近點P的變化過程中,割線PQ的斜率在不斷地發(fā)生變化,無限接近切線斜率,但這只是一個量變的過程,它表示的終究是相應(yīng)割線的斜率,而不是切線的斜率,直到點Q到達極限位置即點Q與點P重合時,割線PQ的斜率才發(fā)生質(zhì)變,成為曲線y=f(x)在點P處切線的斜率。

        以上兩類極限思想里體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的哲學理論。

        三、極限思想里面蘊含哲學理論否定之否定律,任何事物的內(nèi)在都包含著肯定和否定兩個方面,當由肯定達到對自身的否定,并再由否定達到新的肯定,謂之為否定之否定律。高等數(shù)學中的極限概念的形成和發(fā)展恰符合否定之否定律。在概念形成之初,概念得到肯定,但隨著研究的深入,概念就會不完善,從而被否定,進一步研究完善得到新的肯定。就極限之概念,最早引入變量極限概念的是16世紀英國數(shù)學家瓦里斯,他定義:“變量的極限是變量所能最大程度逼近的一個常數(shù),使得它們的差能夠小于任何給定的量?!边@是極限概念的雛形;接著17世紀法國數(shù)學家柯西較完整地闡述了極限概念:“當一個變量逐次所取得的值無限趨近一個定值,最終使變量的值和該定值之差要有多小就有多小,這個定值就叫做所有其他值的極限值”,柯西的極限概念仍然是不嚴謹?shù)模瑳]有達到徹底嚴密化的程度;18世紀維爾斯特拉斯為了去除極限概念中的直觀痕跡,他提出了極限的精確定義:即ε-N定義,給微積分提供了嚴謹?shù)睦碚摶A(chǔ)。從極限概念日臻完善的過程反映了哲學中否定之否定律,經(jīng)過一個周期的運動回到了起點,在運動中不斷否定完善又肯定,最終又高于起點。

        由此可見,高等數(shù)學的極限思想蘊含著許多哲學理論,數(shù)學與哲學關(guān)系緊密,因此在高等數(shù)學的教學中,不能忽視哲學理論的滲透,這樣才能更好地發(fā)展數(shù)學,保持數(shù)學之樹常青。當然,引導學生領(lǐng)悟數(shù)學思維中的哲學理論和在哲學理論的指導下進行數(shù)學思維培養(yǎng),是提升學生數(shù)學素養(yǎng)和提高學生分析問題、解決問題能力的重要方法和手段,作為教育工作者應(yīng)該重視在教學過程中滲透哲學理論,讓學生從新的角度來認識數(shù)學、理解數(shù)學,感受數(shù)學的思想精髓。

        作者簡介:

        黃銀海,重慶三峽職業(yè)學院,副教授,數(shù)學教學。

        (作者單位:重慶三峽職業(yè)學院)

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