任正義，周元偉，黃同，祝傳鈺，劉子晗

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電磁軸承支承下軸系轉(zhuǎn)子模態(tài)及振動響應分析

任正義1，周元偉2，黃同2，祝傳鈺2，劉子晗2

（1.哈爾濱工程大學 工程訓練國家級實驗教學示范中心，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

為得到電磁軸承支撐下軸系轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率分布位置及不平衡振動響應規(guī)律，以600 Wh飛輪儲能系統(tǒng)為研究對象，采用控制變量法分析磁軸承剛度與阻尼隨控制參數(shù)的變化規(guī)律，進而確定電磁軸承支承的邊界條件。以此建立軸系轉(zhuǎn)子的有限元模型，利用ANSYS軟件縮減阻尼法求取軸系固有頻率點及振型；而后以轉(zhuǎn)子不平衡量為體載荷，通過諧響應分析方法得到軸系的穩(wěn)態(tài)不平衡響應曲線，分析其規(guī)律。最后進行系統(tǒng)充電實驗。研究表明：軸系的固有頻率分布在工作轉(zhuǎn)速區(qū)域之外；在質(zhì)量不平衡作用下軸系的位移響應隨激振頻了升高而降低；實驗結(jié)果與前述分析基本一致，說明研究方法有效可行。

軸系轉(zhuǎn)子；模態(tài)分析；諧響應分析；充電實驗

人類社會的高速發(fā)展帶來了全球性的能源緊張問題，儲能飛輪系統(tǒng)因其儲能性能良好、能量轉(zhuǎn)換率高以及對環(huán)境友好無污染等眾多優(yōu)勢逐漸成為國內(nèi)外工程學術(shù)界的研究熱點，其已逐步應用于改善太陽能、風能的存儲，航空航天器材的能量供應，區(qū)域電力質(zhì)量的優(yōu)化與電網(wǎng)峰谷調(diào)節(jié)，新能源油電混動汽車，不間斷電源（UPS）等多個能源有效利用方面[1]。

飛輪儲能系統(tǒng)是一種采用繞定軸旋轉(zhuǎn)的飛輪裝置把輸入的外網(wǎng)電能轉(zhuǎn)變成機械能形式儲存并能再次還原成電能用以輸出的裝置[2]。其中有關軸系固有頻率分布及振動響應問題是開展研究的基礎同時也是問題的核心。飛輪轉(zhuǎn)子為適應儲能量的要求通常體積較大、轉(zhuǎn)速較高，若不能對其運行狀態(tài)下的力學特性做全面的掌握則通常會帶來一系列安全隱患。

歐美等發(fā)達國家于二十世紀五十年代附近開始有關飛輪儲能領域的研究，而國內(nèi)方面則是在二十世紀末開始相關探索。在本文所討論的軸系固有頻率求解以及相關振動響應方面，學術(shù)界普遍采用傳遞矩陣、有限元等經(jīng)典算法，同時應用其相關改進算法。其中利用ANSYS進行軸系轉(zhuǎn)子的模態(tài)以及諧響應分析是一種能夠在充分考慮復雜轉(zhuǎn)子模型的同時又具有較高計算精度的方法。

王永亮等提出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相似準則，并利用ANSYS分別對單盤、多盤轉(zhuǎn)子進行有關臨界轉(zhuǎn)速的相似性論證[3]。李松生分析了主動磁軸承線性支撐剛度；并依據(jù)有限元法進行了有關電動機軸系固有頻率分布的求解[4]?？娂t燕等利用有限元方法依托Jeffcott轉(zhuǎn)子模型進行不平衡響應相關研究[5]。李聰?shù)葘傂噪x心機轉(zhuǎn)子進行響應分析，得出動平衡依據(jù)[6]。甕雷考慮陀螺效應對經(jīng)典轉(zhuǎn)子模型進行模態(tài)及響應求解，得到不平衡力大小的影響關系[7]。

然而以上這些研究大多停留在對經(jīng)典模型的理論分析上面，其研究對象大多為Jeffcott經(jīng)典轉(zhuǎn)子或是長軸轉(zhuǎn)子實驗平臺，缺乏對真實的具有復雜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子的特性分析；對于轉(zhuǎn)子的振動響應分析也大多集中在研究不同激勵大小時系統(tǒng)響應的變化規(guī)律上面，并沒有探究激勵力的來源及其具體真實的影響?？v觀整個發(fā)展過程，國內(nèi)研究仍相對落后，研究模型相對簡單而理論研究也缺乏數(shù)據(jù)支撐?；诖?，以600Wh飛輪儲能系統(tǒng)樣機為研究對象，考慮實際轉(zhuǎn)子的復雜結(jié)構(gòu)及裝配條進行實體有限元建模，對軸系轉(zhuǎn)子進行模態(tài)求解以及諧響應分析，并通過樣機實驗現(xiàn)象對分析結(jié)果作出驗證。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成

課題組自行研制的600Wh飛輪儲能裝置的典型結(jié)構(gòu)包含軸系飛輪轉(zhuǎn)子、磁懸浮支承系統(tǒng)、電動/發(fā)電一體機設備、控制回路系統(tǒng)、基座支撐部分等幾大模塊[8]。二維剖面如圖1所示。

圖1 儲能飛輪整體結(jié)構(gòu)布局圖

工作時，系統(tǒng)通過電機驅(qū)動器與電網(wǎng)相連，電發(fā)一體機帶動軸系轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)升速，降速時則被其帶動，以此實現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)化過程。整個軸系轉(zhuǎn)子在主動電磁軸承支撐條件下實現(xiàn)無接觸懸浮。采用電磁軸承形式是系統(tǒng)實現(xiàn)高轉(zhuǎn)速、主動控制以及減小能量耗損的關鍵。磁軸承支承參數(shù)對轉(zhuǎn)子的動力學特性有至關重要的影響，因此為建立軸系轉(zhuǎn)子的有限元模型，必須要明確其支承特性條件，這是求解轉(zhuǎn)子固有頻率分布及振動響應問題的前提基礎。

2 系統(tǒng)動力學模型及相關分析理論

2.1 電磁軸承支撐邊界條件明確及模型建立

樣機電磁軸承本體結(jié)構(gòu)形式如圖2所示。采用八磁極形式，兩個相互構(gòu)成一對。軸承工作時可在被控轉(zhuǎn)子、氣隙以及軸承定子之間形成閉合磁路，繼而產(chǎn)生電磁力控制轉(zhuǎn)子行為。

考慮控制回路參數(shù)與系統(tǒng)振動方程，可得電磁軸承系統(tǒng)等效剛度與阻尼的表達式為：

式中：k＝-1.44×106N/mm，為位移剛度系數(shù)；k＝174 N/A，為電流剛度系數(shù)；K＝0.01 A/V，為功放增益；K＝2.2 V/mm，為渦流傳感器增益；K＝0.001，為積分系數(shù)；K＝0.002，為微分系數(shù)；K＝0.006，為比例系數(shù)；T＝10-4s，為控制器之后時間常數(shù)。

依據(jù)式（1）關系，圖3給出采用控制變量法得到的磁軸承等效剛度與阻尼隨控制參數(shù)變化的規(guī)律曲線。

在最大工作轉(zhuǎn)速一定的條件下，樣機電磁軸承支承特性與控制參數(shù)有關并在一定范圍內(nèi)可實現(xiàn)主動調(diào)節(jié)，具體邊界區(qū)間為剛度0～1.7×107N/m、阻尼0～2.2×104Ns/m，如圖3。

圖2 磁軸承本體設計

圖3 不同控制參數(shù)引起的剛度和阻尼特性變化曲線

分析圖3還可得到控制參數(shù)對等效剛度和阻尼影響規(guī)律：等效剛度隨K、K的增大而增大；等效阻尼隨K增大而減小、隨K的增大而增大；而K對剛度和阻尼的影響并不明顯[9]。

建立空間五自由度軸系轉(zhuǎn)子動力學模型如圖4所示，軸系轉(zhuǎn)子的幾何中心點也是坐標原點。

式中：為質(zhì)心，m；F、F為徑向電磁力，N，其中1x、1x代表上軸承，2x、2x表示下軸承；M、M為平面、平面上的力矩，N·m；1、2為上、下軸承與的距離，m；1、2為上、下軸承等效剛度，N·m；1、2為上、下軸承等效阻尼，N·s/m；J為極轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；J為赤道轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2。

圖4 剛性轉(zhuǎn)子的模型

2.2 模態(tài)求解及諧響應分析理論

模態(tài)分析是一種可在研究對象自由振動條件下分析其線性振動特性的技術(shù)，其分析結(jié)果包括結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)特有的振動頻率以及相應振型[10]。系統(tǒng)振動模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有特性，采用模態(tài)分析方法計算軸系轉(zhuǎn)子固有頻率分布情況即是對其進行模態(tài)提取過程。其分析原理是對無阻尼系統(tǒng)進行特征值求解，結(jié)構(gòu)自由振動方程為：

可得：

式中：為固有頻率，其平方項是式(4)的特征值，特征向量為其所對應的振型。

諧響應分析是一種針對于可線性化結(jié)構(gòu)在承受隨時間變量呈簡諧規(guī)律變化的體載荷時的振動響應研究的分析方法。通過計算研究對象在多重頻率下的響應值來繪制頻率－響應曲線，以此預估系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的持續(xù)動力性能?？沈炞C系統(tǒng)結(jié)構(gòu)疲勞、共振及相關振動情況。諧響應分析以簡諧載荷為輸入，其形式包含力、位移及加速度多種，輸出響應位移及其相關值。諧響應計算分析忽略結(jié)構(gòu)中的非線性部分以及施加載荷瞬間的響應[11]。其本質(zhì)是對結(jié)構(gòu)受迫振動方程的求解。物體受迫振動方程為：

式中：為阻尼矩陣；()為力矢量陣；0為力載荷幅值。

3 軸系模態(tài)分析

應用ANSYS WorkBench對軸系轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)求解過程，可分為模型建立、分析類型與參數(shù)設立、施加載荷與邊界條件并求解及結(jié)果評價分析四個過程。首先在SolidWorks中完成軸系轉(zhuǎn)子三維實體模型建立（圖5），并對各部件按相互關系完成裝配，利用WorkBench聯(lián)合仿真接口導入完成模型建立工作。

圖5 軸系轉(zhuǎn)子三維模型

完成軸系各部件的物理參數(shù)設置，進行軸系轉(zhuǎn)子網(wǎng)格劃分，如圖6所示。并添加邊界條件，以Body-Ground選項卡中Spring彈簧單元模擬電磁軸承支承條件。根據(jù)控制系統(tǒng)參數(shù)設定彈簧單元的剛度為1 MN/m、阻尼系數(shù)為1 kNs/m。求取模態(tài)數(shù)目為10，在轉(zhuǎn)子動力學控制選項中打開科里奧利效應，設置8階速度節(jié)點，繪制系統(tǒng)的Campbell圖，如圖7所示。

圖6 轉(zhuǎn)子模型網(wǎng)格劃分

圖7 軸系轉(zhuǎn)子Campbell圖

圖7中曲線為轉(zhuǎn)子渦動頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，過原點且斜率為1直線與其他曲線交點為臨界轉(zhuǎn)速點，即容易發(fā)生共振的不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速。

運行求解程序得到軸系轉(zhuǎn)子的前四階固有頻率為：29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz。系統(tǒng)設計工作轉(zhuǎn)速區(qū)間為5000～15000 r/min，處于軸系轉(zhuǎn)子二、三階固有頻率之間且距兩端均有一定距離，滿足設計要求，能有效規(guī)避共振風險。各階振型云圖及坎貝爾圖形如圖8所示。

分析振型云圖可知系統(tǒng)一階振型表現(xiàn)為圓盤轉(zhuǎn)子處的振動幅值高，其振幅沿主軸方向隨距離中心飛輪的距離增加而減小。即總體表現(xiàn)為軸系中部飛輪處的振動幅值大而兩端幅值小，這稱為轉(zhuǎn)子的一階平動振型。

轉(zhuǎn)子二階固有頻率振型表現(xiàn)為兩端的振動幅值較大而飛輪處的振動幅值較小，且飛輪轉(zhuǎn)子各部位變形差距較大，此時對應系統(tǒng)的二階錐動振型。對于本立式結(jié)構(gòu)軸系轉(zhuǎn)子，此時轉(zhuǎn)子形態(tài)表現(xiàn)為主軸傾斜、質(zhì)心位置發(fā)生偏移。由于轉(zhuǎn)速更高，不平衡產(chǎn)生的離心力也更大，轉(zhuǎn)子的擺動更加強烈。因此升速過程中，轉(zhuǎn)子能否安全穩(wěn)定地越過系統(tǒng)第二階固有頻率區(qū)域是軸系結(jié)構(gòu)以及控制系統(tǒng)設計的關鍵考量。

圖8 軸系轉(zhuǎn)子的前四階振型云圖

軸系前兩階振型圖中轉(zhuǎn)子并未出現(xiàn)大規(guī)模彎曲，仍能近似保持剛性轉(zhuǎn)子的特性，而系統(tǒng)的第三、第四階振型表明系統(tǒng)會因剛性不足發(fā)生彎曲，此時的振型為彎曲振型，軸系結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，無法完成既定工作。通過前述計算分析可知系統(tǒng)三階固有頻率為456.81 Hz，已遠遠超出了系統(tǒng)的設計工作轉(zhuǎn)速范圍，故三、四階固有頻率對軸系的影響可忽略，此處不做研究。

4 軸系諧響應分析

4.1 軸系不平衡量計算

以ANSYS諧響應分析來計算軸系轉(zhuǎn)子的不平衡響應，首先必須明確載荷的具體形式，即不平衡量的大小及分布。然而真實的軸系轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)較為復雜、存在多種工藝誤差，這就造成其質(zhì)量分布規(guī)律未知且難以測量。因此為研究開展，此處在軸系有限元模型上添加偏心質(zhì)量模擬軸系不平衡，以動平衡精度為依據(jù)計算不平衡量的許用值及偏心距。并以此為載荷進行諧響應分析。

根據(jù)動平衡精度理論，有：

式中：為軸系總質(zhì)量；m為允許不平衡量；為動平衡精度；為軸系校正半徑；為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

代入600 Wh儲能飛輪軸系轉(zhuǎn)子設計參數(shù)：動平衡精度2.5、設計最高工作轉(zhuǎn)速15000 r/min、軸系轉(zhuǎn)子總質(zhì)量為54 kg、校正半徑180 mm，可得轉(zhuǎn)子的最大剩余不平衡質(zhì)量為0.24 g，偏心距為1.59 μm。

軸系轉(zhuǎn)子因質(zhì)量偏心所產(chǎn)生的力為：

式中：為不平衡質(zhì)量；為偏心距。

離心力在轉(zhuǎn)子軸截面兩相互垂直的方向、上的投影分別為：

式（8）表明軸系轉(zhuǎn)子因質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的激振干擾力可近似為作用在其某一軸截面上兩垂直方向的簡諧力F和F的合成，二者幅值相等，相位相差90°。因此可利用諧響應分析方法來計算分析軸系轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡響應，以兩個呈簡諧規(guī)律變化的分載荷來表示不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的離心力。以此得到軸系振幅－頻率響應曲線。考慮最大工作轉(zhuǎn)速15000 r/min，于是載荷幅值為0.001 N可依此施加載荷F、F求得軸系轉(zhuǎn)子的諧響應。

4.2 軸系轉(zhuǎn)子諧響應分析

利用WorkBench模態(tài)疊加法進行諧響應求解分析的主要流程為：創(chuàng)立諧響應分析模塊并建立有限元模型、獲取模態(tài)解及其振型、加載諧響應載荷、模態(tài)疊加諧響應分析求解以及查看結(jié)果與后處理[12]。設定頻率求解范圍為0～250 Hz，運算次數(shù)為“500”，即每次求解間隔0.5 Hz。在軸系飛輪轉(zhuǎn)子軸截面中的兩個垂直方向上添加簡諧激振力，其幅值為0.001 N，相位分別為0°和90°。

分別取飛輪、上、下軸承處為響應面，以位移響應的最大值為縱坐標、以激振頻率為橫坐標，得到諧響應仿真曲線如圖9所示。

分析位移響應－頻率曲線可發(fā)現(xiàn)：軸系轉(zhuǎn)子響應曲線在激振力頻率29.5 Hz和56.5 Hz處明顯出現(xiàn)兩個波峰，剛好對應系統(tǒng)前兩階固有頻率分布位置。此時系統(tǒng)發(fā)生共振，響應幅值驟增。這符合系統(tǒng)的動力學特性，證明對系統(tǒng)固有頻率計算的準確性。由于此時不平衡振動響應劇烈，系統(tǒng)面臨安全隱患，應避免工作轉(zhuǎn)速接近這一區(qū)域，而在升速充電過程中則應快速通過這一振動帶。

激振在軸系轉(zhuǎn)子三個重要位置處引起的響應基本一致，飛輪處略大，在29.5 Hz時達到峰值0.25 μm。系統(tǒng)在第一階固有頻率附近的響應幅值要大于第二階固有頻率附近，說明在激振力幅值大小相同的條件下，轉(zhuǎn)子運行于一階固有頻率區(qū)間時振動響應較大。諧響應曲線在越過前兩階固有頻率后表現(xiàn)出隨激振力頻率的提升而下降的趨勢，即由不平衡力引起的干擾振動隨頻率的提升而衰減。此時進入系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速區(qū)間，其穩(wěn)定性裕度也逐步提高。由于因質(zhì)量不平衡而引起的激振力的頻率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速成正比，所以圖9也可定性地表明系統(tǒng)在升速過程中的振動響應趨勢。

上述分析以在動平衡精度2.5條件下的算得的最大許用不平衡量處于最大工作轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的不平衡力為載荷，響應曲線表明在其作用下軸系轉(zhuǎn)子的位移響應幅值為10-7m數(shù)量級，極其微小，說明軸系的運行穩(wěn)定性良好，軸承轉(zhuǎn)子與定子之間不會發(fā)生碰撞。研究所采用的載荷為因質(zhì)量不平衡引起的峰值，實際運行過程中轉(zhuǎn)子該不平衡離心力為轉(zhuǎn)速的函數(shù)，時刻小于峰值。這確保了轉(zhuǎn)子的不平衡響應在允許范圍內(nèi)，說明所設計系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有良好的穩(wěn)定性裕度。

5 實驗分析驗證

為驗證前文得出的軸系轉(zhuǎn)子的固有頻率分布位置及振動響應規(guī)律，進行600Wh飛輪儲能系統(tǒng)充電升速實驗。通過布置在軸系轉(zhuǎn)子周圍的位移傳感器來實時監(jiān)控軸系振動的變化情況。實驗方案及實體圖如圖10、圖11所示。

圖9 諧響應曲線

圖10 實驗方案原理圖

圖11 實驗樣機實體圖

如圖12所示，實時觀測示波器上振動信號波形發(fā)現(xiàn)：靜態(tài)懸浮時，軸系轉(zhuǎn)子無徑向的振動位移，波形保持為一條直線。啟動加速后，波形開始顯現(xiàn)簡諧規(guī)律。當轉(zhuǎn)速在1900 r/min以及3500 r/min附近時波形急劇變化，出現(xiàn)波動紊亂、振動加劇表現(xiàn)，說明該轉(zhuǎn)速可能為軸系固有頻率分布位置。系統(tǒng)通過相關區(qū)域后波形明顯回穩(wěn)并再無加劇趨勢，轉(zhuǎn)速達到8000 r/min以上時波形已幾乎接近直線，這說明轉(zhuǎn)子達到了相對的穩(wěn)定狀態(tài)。振動波形的整體變化趨勢與振動諧響應分析相吻合，工作區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)子的運行穩(wěn)定性隨轉(zhuǎn)速提升而增加。實驗結(jié)果證明了前文模態(tài)求解及諧響應分析方法的有效性與合理性。

6 結(jié)論

本文以確定電磁軸承的支撐條件為前提，運用聯(lián)合仿真建立了600Wh飛輪儲能系統(tǒng)軸系轉(zhuǎn)子有限元模型，進而求解了軸系轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率及振型，分析其在諧載荷作用下的振動響應規(guī)律，同時進行了系統(tǒng)升速實驗。得到以下分析結(jié)論：

（1）軸系轉(zhuǎn)子的電磁軸承支承特性隨控制參數(shù)改變，等效剛度特性隨K、K的增大而增加；阻尼特性隨K的增大而減小、隨K的增大而增大；K對二者影響不明顯；且等效剛度與阻尼在固定范圍內(nèi)可實現(xiàn)主動調(diào)節(jié)，其邊界條件分別是0～107N/m、0～104Ns/m。

（2）600Wh樣機軸系轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率分別為29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz，工作轉(zhuǎn)速不在固有頻率區(qū)間內(nèi)，可有效避免系統(tǒng)發(fā)生共振。

（3）在軸系轉(zhuǎn)子不平衡量作用下，當激振頻率達到29.5 Hz及56.5 Hz時軸系會發(fā)生共振，位移響應幅值達到0.25 μm。當激振頻率超過前兩階固有頻率并處于工作轉(zhuǎn)速區(qū)間時，整體位移響應曲線將表現(xiàn)為快速衰減趨勢，此時激振頻率越高，響應幅值越小，系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性。

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Analysis of Rotor Modal and Vibration Response of Shaft System Supported by Electromagnetic Bearings

REN Zhengyi1，ZHOU Yuanwei2，HUANG Tong2，ZHU Chuanxi2，LIU Zixi2

( 1.Engineering Training Center, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2.College of Mechanical and Electrical, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China )

In order to obtain the modal frequency distribution and unbalanced vibration response of the shaft rotor supported by electromagnetic bearing, take the 600Wh flywheel energy storage system as the research object, using the control variable method to analyze the variation law of the stiffness and damping of the magnetic bearing with the control parameters. Then determine the boundary conditions of electromagnetic bearing support. In this paper, the finite element model of the shaft rotor is established, and the natural frequency point and vibration mode of the shaft are obtained by ANSYS software. The static imbalance response curve of the shaft system is obtained by the harmonic response analysis method. Finally, the system charge experimentis carried out. The research indicates that the natural frequency of shaft is located outside the working speed area. and the displacement response of the shafting system under the unbalance of mass is decreased with the increase of excitation frequency. The experimental results are consistent with the previous analysis, which shows that the research method is feasible.

rotor shaft；modal analysis；harmonic response analysis；charging experiment

TH133.3；O313.7

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.09.004

1006－0316 (2018) 09－0020－09

2018－04－12

國家高科技發(fā)展計劃（863計劃）資助項目（2013AA050802）

任正義（1962－），男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，教授、博士生導師，主要研究方向為艦船聲隱身技術(shù)和飛輪儲能技術(shù)集成研究。

通訊作者：周元偉（1989－），男，山東日照人，碩士研究生，主要研究方向為飛輪慣性儲能關鍵技術(shù)。