張承宗

（空軍軍事代表局，北京100071）

0 引言

隨著復合材料制造技術與工藝的提高，復合材料結構已經(jīng)開始作為主承力件在先進運載器結構中使用，如美國研制的輕型攻擊直升機RAH－66機身龍骨大梁復合材料鋪層最多已達1000層。可以預計，未來航空航天復合材料結構鋪層可能更多、更厚。復合材料厚板具有較低的橫向剪切剛度，在載荷作用下橫向剪切變形比較明顯，在很多情況下，采用剪切變形理論計算復合材料結構力學響應是必要的。考慮到復合材料結構還有各向異性等諸多問題［1］，考慮橫向剪切效應的復合材料結構板殼力學研究在理論和工程領域日益凸顯其重要性。實際工程中大多采用有限元程序進行結構力學計算，然后根據(jù)力學強度試驗或者用力學解析解校核，再針對不同情況進行分析計算。顯然，力學解析解校核有限元法計算精度是一種經(jīng)濟的做法，解析解還可以在力學機理研究中有著獨特的作用。盡管復合材料結構數(shù)值解法蓬勃發(fā)展，解析解研究依然是復合材料力學的重要研究內容。隨著力學模型日趨復雜，力學解析解的建立變得困難起來，相應地新的力學解析解法和理論也不斷地發(fā)展。

對于各向同性和正交鋪設、反對稱鋪設層合板 殼 ， 傳統(tǒng) Levy級 數(shù) 方 法［2－3］、 雙 重 級 數(shù) 方 法［4］在有些情況下依然可用。鐘萬勰［5］從哈密頓體系角度提出了求解偏微分方程和力學方程的新思路，取得一些解析解，姚偉岸等［6］開啟了辛彈性力學思路。胡文鋒等［7］采用狀態(tài)空間法獲得了正交異性厚矩形板多種邊界條件下的解析解，卿光輝等［8］得到了基于狀態(tài)方程的矩形層合板多種邊界條件下的解析解；張承宗等［9］研究了一種求解直角坐標系下4階常系數(shù)線性偏微分方程定解問題的新方法：復級數(shù)展開法 （復數(shù)分離變量法），并用于求解各向異性板橫向彎曲問題。這種復級數(shù)展開法推廣用于基于經(jīng)典理論和一階剪切理論的復合材料圓形板、矩形板、斜形板等相關力學問 題 ， 取 得 一 些 解 析 解 和 結 果［10－12，15－16］， 黃 炎等［13］、 楊 端 生 等［14，17］應 用 復 級 數(shù) 展 開 法 思 想 獲得了各向異性矩形板振動、屈曲問題解析解。從目前研究來看，復級數(shù)方法 （復數(shù)分離變量法）或可以看作數(shù)學物理的一個基本方法［18－19］，可以用來求解常系數(shù)的線性偏微分方程 （組），而復合材料板殼結構力學控制方程大多屬于此類偏微分方程 （組）。對于復合材料結構板殼理論，先后提出了經(jīng)典理論和一階剪切理論、高階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論等。相比一階剪切理論，Reddy［20－21］簡化高階剪切理論復雜程度提高不多，特別是不需要對剪切剛度進行修正，這種剪切理論有其自身優(yōu)勢，賀丹等［22］應用這種簡化高階剪切理論取得有益的結果。受到先前數(shù)學解析手段局限，基于Reddy簡化高階剪切理論的復合材料中厚板殼結構力學問題解析研究相對有限，結合各向異性、剪切變形綜合解析研究的工作還沒實質進行。本文運用復級數(shù)方法，采用Reddy簡化高階剪切理論針對復合材料對稱角鋪設 （各向異性）矩形層合板橫向彎曲進行解析研究，首次獲得了基于Reddy簡化高階剪切理論的復合材料對稱角鋪設 （各向異性）矩形層合板橫向彎曲一般解析解，進行了計算驗證，并與經(jīng)典理論、一階剪切理論解析解進行對比計算。文中給出的解析計算結果，可用于校核有限元等工程計算軟件。

1 基本理論

根據(jù)文獻［20－21］，基于Reddy簡化高階剪切理論的復合材料對稱角鋪設 （各向異性）層合板在彎曲變形分析時的位移分量為

式中，w（x，y）為撓度，фx（x，y）和фy（x，y）分別為板廣義位移參量。

定義下列廣義剛度

引入以下無量綱量：

其中a、b、h為矩形板的長、寬、厚，q為橫向載荷。

該復合材料對稱角鋪設 （各向異性）層合板橫向彎曲問題的力學平衡方程可寫如下形式：

其中

基于Reddy簡化高階剪切理論的各向異性（復合材料對稱角鋪設）橫向彎曲問題求解在數(shù)學上可歸結為求解偏微分方程組 （3）在橫向彎曲矩形板邊界條件下邊值問題。

2 一般解析解的建立

本文采用位移法［12］求解基于Reddy簡化高階剪切理論的各向異性板 （復合材料對稱角鋪設）橫向彎曲問題。

2．1 通解的推導

設

式 （4）中i為虛數(shù)單位，m 為整數(shù) （m ≠0），r為特征根。E、F、G為復數(shù)常數(shù)。

將式 （4）代入式 （3），當m 不為0時，可推得有關r的8次特征代數(shù)方程

式 （8）中，S8，…，S0為復數(shù)常數(shù)，可以采用MATHCAD軟件推導獲得，形式復雜 （略）。對于各向異性材料矩形板，式 （5）有4對共軛復根ak±bki（k＝1，2，3，4）。

按照［12］類似步驟，可以推得實數(shù)形式級數(shù)通解фx、фy、w

將式 （6）代入式 （3）任兩式，從基本解sinh（mπbkη）sinmπ（akη＋ξ）、sinh（mπbkη）cosmπ（akη＋ξ）、cosh（mπbkη）sinmπ（akη＋ξ）和cosh（mπbkη）cosmπ（akη＋ξ）的獨立性出發(fā)，可得到Ejkm、Fjkm、Gjkm（j，k＝1，2，3，4）之間的關系矩陣

式 （7）中Zmnk、Rmnk（m，n＝1，2，3，4）為實數(shù)常數(shù)。

當m為0時，設

其中，фxy、фyy，wy為待定實數(shù)常數(shù)。將式 （8）代入式 （3）可得另一個關于r的4次代數(shù)特征方程和4個特征根：±a0，1、±a0，2。根據(jù)常微分方程理論，可求得另一組關于η的雙曲正弦函數(shù)形式和多項式形式補充解。

考慮一般性，又設

式 （9）中i為虛數(shù)單位，n為整數(shù)（n≠0），s為特征根，O、P、Q為復數(shù)常數(shù)。

類似地，可得有關s的特征方程 （10）及其4對不等共軛虛根ck±dki （k＝1，2，3，4）和關系矩陣：

其中，式 （10）中T8，…，T0為復數(shù)常數(shù)，形式略。式 （11）中Tmnk，Smnk（m，n＝1，2，3，4）為實數(shù)常數(shù)。同樣可得對應的實數(shù)形式級數(shù)通解

同樣，當n為0時，設

其中，фxx、фyx、wx為待定實數(shù)常數(shù)。將上式代入式 （3）可得另一個關于s的4次代數(shù)特征方程及特征根：±c0，1、±c0，2。 根據(jù)常微分方程理論，可求得另一組關于ξ的雙曲正弦函數(shù)形式和多項式形式補充解。

從線性偏微分方程解的可迭加性出發(fā)，在式（6）和式 （12）基礎上補充兩個坐標方向的梁函數(shù)形式解、關于ξ和η的交叉多項式及特解，可得如下一般解析解：

2．2 特解的建立

對于橫向彎曲問題，本文引入勢函數(shù)Φ，引進微分算子Χ0，它是以式 （3）中算子Lij組成得3×3行列式值。依照線性代數(shù)理論，基本微分方程 （3）可以寫成

其中，方程系數(shù)可采用MATHCAD軟件推導獲得，具體形式略。

令Χkl（k，l＝1，2，3）表示給該行列式的代數(shù)余子式。使

對于均布載荷q，本文選取

其中，SS40、SS22、SS04分別為算子Χ0中關于的系數(shù)。式 （15） 中特解

2．3 求解模式

將式 （13）～式 （15）的多項式部分 （對應

結合式 （16）和式 （18），可以推出式 （13）～于tk（k＝1，2，…，35）的各項）代入式 （3）的三式可得23個獨立方程，這樣多項式形式補充解只有12個未知數(shù)是獨立的；將式 （13）～式 （15）中的雙曲正弦函數(shù)形式解代入式 （3）中任兩式，根據(jù)雙曲正弦 （余弦）函數(shù)的獨立性，可將фxy1、фxy2、фyy1、фyy2用Wy1、Wy2表示，可將фxy3、фxy4、фyy3、фyy4用 Wy3、Wy4表 示， 將 фxx1、фxx2、фyx1、фyx2用 Wx1、Wx2表示， 將фxx3、фxx4、фyx3、фyx4用Wx3、Wx4表示，這樣雙曲正弦函數(shù)形式解只有8個獨立未知數(shù)（Wx1、Wx2、Wx3、Wx4、Wy1、Wy2、Wy3、Wy4）。在實際計算中，m、n不可能取無窮大，設m、n最大取M，這樣一般解析解式 （13）～式 （15）共有16 M＋20個未知數(shù)。對于采用Reddy簡化高階剪切理論的矩形板，每邊有4個邊界條件，共有16個邊界條件。將一般解析解代入16個邊界條件中，形成16個方程，將所得每個方程展成M 項正弦級數(shù)。根據(jù)正弦級數(shù)的正交性，可以得到16 M 個線性代數(shù)方程。矩形板每個角點處可有位移 （如撓度、轉角）或內力 （如彎矩、剪力）等5個角點條件，共有20個角點條件，這樣共建立16 M＋20個方程，可以求解16 M＋20個未知數(shù)，該橫向彎曲問題得解。

3 數(shù)值算例驗證

下面計算對稱角鋪設四邊固支矩形板在均布載荷q作用下的橫向彎曲，以驗證解析解。板結構參數(shù)為a＝b＝1m，載荷參數(shù)為q＝104N／m2，材料力學參數(shù)為：E1＝276GPa，E2＝31．05GPa，G12＝G13＝10．35GPa，G23＝12．42GPa，ν12＝ν13＝0．25，ν23＝0．28。

四邊固支矩形板 （CCCC）邊界條件為：

該彎曲問題中撓度中心對稱；фx、фy反中心對稱，據(jù)此可降低計算量。

3．1 穩(wěn)定性驗證

對于級數(shù)解來說，其穩(wěn)定性驗證是必需的。為了考查本文解的收斂性和穩(wěn)定性，針對11層［30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°］四邊固支正方形板 （h＝0．1m），對在均布載荷作用下的橫向彎曲進行計算，改變M 比較相應板中心撓度。撓度單位為m，彎矩單位為N·m。

表1 M 對板中心撓度、彎矩計算值影響Tab．1 The effect of Mon the numerical results ofω （0．5，0．5）and Mx （0．5，0．5）

表1表明當M 增大時，解數(shù)值保持穩(wěn)定；計算中發(fā)現(xiàn)，對于不同的材料、邊界條件及鋪層方式 ，所需計算項數(shù)可逐漸增大M 試算以確定具體數(shù)值。

3．2 邊界條件符合程度驗證

為檢查本文解對邊界條件符合情況，針對單層鋪設角為30°的正方形板 （h＝0．1m）進行計算 （M＝60）。板撓度w、廣義位移фx和фy見表2～表4。

表3 ［30°］CCCC層合板фx分布Tab．3 The distribution ofфx （x，y）over the CCCC laminated plate with［30°］ply

表4 ［30°］TCCCC層合板фy 分布Tab．4 The distribution ofфy （x，y）over the CCCC laminated plate with［30°］ply

從表2～表4可發(fā)現(xiàn)本文解對邊界條件符合程度較好。

對于復合材料板結構，當其厚度很小時，板橫向剪切變形亦很小，應該可按經(jīng)典理論計算分析板結構，此時按剪切變形理論計算結果應與經(jīng)典理論結果相當。為此，固定a＝b＝1m，改變h，結合不同a／h， 針對具有CCCC邊界條件［45°／－45°／45°］層合方板 計算 中心撓度和彎矩值，并將Reddy簡化理論解與經(jīng)典理論CLT［9］、修正剪切剛度的一階剪切理論 （first－order deformation theory，F(xiàn)SDT）［12］進 行 對 比 （M 取40）。結果見表5～表6。

表5 ［45°／－45°／45°］CCCC層合板中心撓度Reddy解與CLT、FSDT解比較Tab．5 Comparisons ofω （0．5，0．5）in the CCCC laminated plate with［45°／－45°／45°］ply and different a／h using simplified high order shear deformation theory with those of CLT and firstorder deformation theory

表6 ［45°／－45°／45°］TCCCC層合板中心彎矩Mx （0．5，0．5）Reddy解與CLT、FSDT解比較Tab．6 Comparisons of Mx （0．5，0．5）in the CCCC laminated plate with［45°／－45°／45°］ply and different a／h using simplified high order shear deformation theory with those of CLT and firstorder deformation theory

從表5～表6可看出，當a／h增大到一定值時，Reddy解與CLT、FSDT解撓度值已相差不大；當a／h降低到一定值時，Reddy解與CLT解撓度值、彎矩逐漸出現(xiàn)差距，經(jīng)典理論給出偏低的撓度值和偏低的彎矩值，偏于危險結論。在目前設定的邊界條件、鋪設方式、結構尺寸下，Reddy解與FSDT解撓度值、彎矩比較接近，F(xiàn)SDT解撓度值一般要大于Reddy解撓度值，文獻［23］給出的算例表明FSDT解撓度值要大于三維狀態(tài)空間解撓度值，這表明本文Reddy解撓度值和文獻［23］結論趨勢相符，也從另一個方面驗證了本文解的正確性。

4 結論

綜合考慮復合材料結構各向異性和橫向剪切效應更符合復合材料板殼的實際力學狀態(tài)，另一方面增加了復合材料結構力學問題解析求解的難度。解析求解經(jīng)典理論各向異性板彎曲涉及求解一個撓度函數(shù)的4階偏微分程邊值問題，求解一階剪切理論的各向異性板，則涉及求解3個位移函數(shù)的6階偏微分方程組邊值問題。Reddy高階簡化理論不需要對剪切剛度進行修正，可望獲得更加準確的力學響應結果，但解析求解基于Reddy高階簡化理論的各向異性矩形板彎曲問題要求解3個位移函數(shù)的8階偏微分方程組邊值問題，數(shù)學求解更加復雜，解析求解一直也沒有實現(xiàn)。本文依據(jù)復數(shù)級數(shù)方法首次獲得了基于Reddy簡化高階剪切理論的復合材料對稱角鋪設 （各向異性）矩形層合板橫向彎曲一般解析解，數(shù)值計算驗證了所得解析解的收斂性、穩(wěn)定性。本文解析解的建立為采用Reddy簡化高階剪切理論解析研究復合材料板結構力學影響打下了基礎，后續(xù)將據(jù)此開展有關計算研究。