章文忠，李健，徐生明，陳飚，張眾華

(四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，四川成都 611130)

0 引言

中國大學(xué)生方程式汽車大賽(簡稱“中國FSC，F(xiàn)ormula Student China”)是一項(xiàng)由中國汽車工程學(xué)會(huì)組織國內(nèi)汽車相關(guān)專業(yè)在校學(xué)生參加的汽車設(shè)計(jì)與制造競賽，是培養(yǎng)中國汽車工程師的搖籃。經(jīng)過八年的賽事積累，中國大學(xué)生方程式賽車的綜合性能不斷增強(qiáng)，提升賽車動(dòng)態(tài)性能逐漸成為賽車底盤開發(fā)設(shè)計(jì)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)。傳統(tǒng)的阿克曼轉(zhuǎn)向幾何理想模型中假定輪胎為剛體，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度近似地保證了車輛在曲線行駛過程中4個(gè)車輪圍繞同一瞬心進(jìn)行純滾動(dòng)，可有效減少輪胎磨損并保證輪胎磨損的一致性，提高車輛輪胎的使用壽命[1-2]。但方程式賽車為了提高輪胎和賽道之間的黏著系數(shù)，廣泛使用較軟的光頭輪胎，其側(cè)偏剛度小于傳統(tǒng)車輛，因此在賽車阿克曼轉(zhuǎn)向幾何的設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)考慮輪胎側(cè)偏角的影響，而各參賽車隊(duì)在轉(zhuǎn)向梯形的設(shè)計(jì)和優(yōu)化中很少考慮輪胎側(cè)偏角。本文作者立足于提升賽車動(dòng)態(tài)性能和降低輪胎磨損，以賽車動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)進(jìn)行賽車轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)，分別推導(dǎo)了基于剛體輪胎和考慮輪胎側(cè)偏角的阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型，并以此為目標(biāo)函數(shù)，建立了基于遺傳算法的轉(zhuǎn)向梯形斷開點(diǎn)優(yōu)化模型，最后在ADAMS/Car中建立了賽車虛擬樣機(jī)，并對(duì)兩種優(yōu)化后的轉(zhuǎn)向梯形模型進(jìn)行了仿真與分析。

1 阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型

1.1 基于剛體輪胎的阿克曼轉(zhuǎn)向模型

傳統(tǒng)的阿克曼轉(zhuǎn)向模型假定賽車轉(zhuǎn)向時(shí)速度很慢，一般在5 km/h以下，其側(cè)向加速度很小，可忽略輪胎側(cè)偏角，因此在阿克曼轉(zhuǎn)向模型中將輪胎視為剛體。如圖1所示，在賽車轉(zhuǎn)向過程中，為了使各個(gè)車輪都處于純滾動(dòng)狀態(tài)，則要求所有輪胎都繞同一個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心作圓周運(yùn)動(dòng)，在忽略輪胎側(cè)偏角的情況下，輪胎的速度方向與輪胎平面平行，因此轉(zhuǎn)向瞬心就是賽車后軸的延長線與前軸輪胎旋轉(zhuǎn)中心線的延長線的交點(diǎn)O。結(jié)合賽車基本參數(shù)，可得賽車前軸內(nèi)、外車輪轉(zhuǎn)角與車輛軸距、輪距之間的理想關(guān)系，如式(1)所示。目前這種阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型被各參賽車隊(duì)普遍采用， 并用于優(yōu)化轉(zhuǎn)向梯形的硬點(diǎn)位置參數(shù)。

(1)

式中：L為賽車軸距；A、B分別為主銷中心線的延長線與地面的交點(diǎn)，K為A、B之間的距離。

圖1 基于剛體輪胎的阿克曼轉(zhuǎn)向幾何示意圖

1.2 考慮輪胎側(cè)偏角的阿克曼轉(zhuǎn)向模型

賽車輪胎普遍采用半熱熔的光頭胎，胎地黏著性能好，附著系數(shù)高，在專用賽道上一般可達(dá)到2.0左右，輪胎的側(cè)偏剛度比乘用車小，在相同側(cè)向加速度條件下，輪胎側(cè)偏角大于傳統(tǒng)車輛。在比賽過程中，耐久賽、高速避障賽和燃油經(jīng)濟(jì)性賽的合計(jì)總分占據(jù)比賽總成績的60%，是大學(xué)生方程式競賽的關(guān)鍵賽項(xiàng)，同時(shí)賽道具有彎道段多、直道段少以及繞樁頻繁等特點(diǎn)。為了獲得最佳的動(dòng)態(tài)成績，縮短賽車過彎時(shí)間是贏得比賽的關(guān)鍵，因此賽車常行駛在較高側(cè)向加速度下，輪胎的側(cè)偏角不可忽略。

如圖2所示，在賽車轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，各個(gè)輪胎都產(chǎn)生了側(cè)偏角，使得各個(gè)輪胎中心的瞬時(shí)速度方向都偏離了輪胎的對(duì)稱線，輪胎產(chǎn)生了速度偏角β，此時(shí)各個(gè)輪胎的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心仍然在與其速度矢量相垂直的直線上，相交于O′?？梢?，由于輪胎側(cè)偏角的影響，賽車的瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心相對(duì)后軸軸線向前偏移了一個(gè)距離ΔL。

圖2 考慮輪胎側(cè)偏角的阿克曼轉(zhuǎn)向幾何示意圖

根據(jù)車輪轉(zhuǎn)向角與輪胎速度偏角和輪胎側(cè)偏角之間的關(guān)系[3],可得式(2)。

αj=δj-βj

(2)

式中：αj(j=fl、fr、rl、rr)表示各個(gè)輪胎的側(cè)偏角，此處不考慮輪胎側(cè)偏角的正負(fù)符號(hào)。

由賽車結(jié)構(gòu)參數(shù)和阿克曼轉(zhuǎn)向幾何關(guān)系可得式(3)、式(4)，即為考慮輪胎側(cè)偏角條件下的阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型。

(3)

(4)

考慮到賽車在專用賽道中競技行駛，且彎道多直道少，輪胎側(cè)偏角在3°～6°范圍內(nèi)時(shí)側(cè)向力達(dá)到極限狀態(tài)，文中取αfl=αfr=αrl=αrr=3.5°。

1.3 前軸內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系

為了使賽車獲得良好的操控穩(wěn)定性和空間布置，廣泛采用雙橫臂獨(dú)立懸架和斷開式轉(zhuǎn)向梯形設(shè)計(jì)[5]，前軸內(nèi)、外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖3所示。

圖3 內(nèi)外側(cè)車輪轉(zhuǎn)角關(guān)系圖

其中：l1、l2分別表示轉(zhuǎn)向節(jié)臂和橫拉桿的長度；γ為梯形底角；h為齒條中心至前軸距離；B、C為橫拉桿斷開點(diǎn)；E為斷開點(diǎn)之間的距離。圖3所示為賽車向左轉(zhuǎn)彎行駛，齒條向右側(cè)移動(dòng)以推動(dòng)左、右車輪偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向梯形OABCDP即決定了左右車輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系。

當(dāng)齒條向右移動(dòng)距離為d時(shí)，通過轉(zhuǎn)向橫拉桿拉動(dòng)左梯形臂，左側(cè)車輪轉(zhuǎn)角為θi，轉(zhuǎn)向節(jié)臂和橫拉桿由實(shí)線位置將運(yùn)動(dòng)至虛線位置，運(yùn)用平面運(yùn)動(dòng)分析法可得轉(zhuǎn)角θi與齒條位移d的關(guān)系如式(5)所示。

(5)

同理，右側(cè)車輪偏轉(zhuǎn)角度為θO，右側(cè)轉(zhuǎn)向節(jié)臂和橫拉桿由實(shí)線位置移動(dòng)至虛線位置[4]，通過平面幾何關(guān)系可建立式(6)—(8)。

(6)

(7)

θO=ψ+φ-γ

(8)

因此結(jié)合式(5)—(8)，即可得到左、右車輪在齒條運(yùn)動(dòng)下的轉(zhuǎn)角關(guān)系。

2 基于遺傳算法的轉(zhuǎn)向模型優(yōu)化

遺傳算法是一種模擬自然選擇和群體遺傳機(jī)制的優(yōu)化方法，通過應(yīng)用編碼技術(shù)來模擬生物染色體結(jié)構(gòu)。在轉(zhuǎn)向梯形斷開點(diǎn)優(yōu)化中，將“優(yōu)勝劣汰，適者生存”的生物進(jìn)化原理引入待優(yōu)化的編碼群體，通過計(jì)算機(jī)的迭代計(jì)算，找到滿足判定條件的目標(biāo)參數(shù)。

(1)確定決策變量和約束條件

將梯形底角γ、轉(zhuǎn)向節(jié)臂長度l1、齒條中心線至前軸距離h以及橫拉桿長度l2作為優(yōu)化轉(zhuǎn)向梯形的決策變量，以同阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型確定的轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線的差值平方和最小為目標(biāo)，即簡化為求解多變量單目標(biāo)的優(yōu)化問題。

約束條件確定了優(yōu)化過程中各決策變量的取值范圍，只要能囊括決策變量的最優(yōu)值即可，可通過賽車轉(zhuǎn)向梯形的總體布置設(shè)計(jì)來進(jìn)行估算。各決策變量的值域范圍如表1所示。

表1 各決策變量的值域范圍

(2)建立優(yōu)化模型

由式(5)—(8)確定的左、右車輪在齒條運(yùn)動(dòng)下的轉(zhuǎn)角關(guān)系為優(yōu)化模型，其中包含了所有的決策變量。采用MATLAB編寫優(yōu)化程序，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到計(jì)算出最優(yōu)的決策變量值。

(3)編碼決策變量

選用長度為10位的二進(jìn)制編碼串分別表示4個(gè)決策變量γ、l1、h、l2，10位二進(jìn)制編碼串可以表示0～1 023之間的1 024個(gè)不同的數(shù)，即將γ、l1、h、l2分別離散成為1 024個(gè)不同的離散點(diǎn)。從取值范圍的最小值到最大值，讓它們依次對(duì)應(yīng)0000000000(0)～1111111111(1 023)之間的二進(jìn)制編碼串。

(4)解碼決策變量

解碼是需要將長度為40位長的二進(jìn)制編碼串分成4個(gè)10位長的二進(jìn)制編碼串，然后分別將它們轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的10進(jìn)制整數(shù)數(shù)值，分別標(biāo)記為γc、lc1、hc、lc2。根據(jù)個(gè)體編碼方法和值域離散化方法，按照式(9)將代碼變量轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)變量γ、l1、h、l2。

(9)

(5)個(gè)體適應(yīng)度評(píng)價(jià)

在優(yōu)化計(jì)算中，將左側(cè)車輪的轉(zhuǎn)角取值離散化，將右側(cè)車輪轉(zhuǎn)角與理想的阿克曼轉(zhuǎn)向模型確定的右側(cè)轉(zhuǎn)角之間的誤差平方和作為目標(biāo)函數(shù)，即遺傳算法中每個(gè)體的環(huán)境適應(yīng)度值，其數(shù)值越小，決策變量越接近最優(yōu)值，證明個(gè)體適應(yīng)性越強(qiáng)，目標(biāo)函數(shù)如式(10)所示。

(10)

(6)確定基本參數(shù)

基本參數(shù)如表2所示。

表2 基本參數(shù)

(7)優(yōu)化結(jié)果

決定阿克曼轉(zhuǎn)向幾何的4個(gè)決策變量的優(yōu)化結(jié)果如表3、表4所示。

表3 基于剛體輪胎阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型優(yōu)化結(jié)果

表4 考慮輪胎側(cè)偏角的阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型優(yōu)化結(jié)果

基于剛體輪胎假設(shè)和考慮輪胎側(cè)偏角影響的阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型與優(yōu)化后的轉(zhuǎn)向梯形決定的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系的對(duì)比曲線如圖4所示。

圖4 兩種理想模型優(yōu)化前后對(duì)比圖

優(yōu)化后的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線與理想模型符合度均較高，證明轉(zhuǎn)向梯形的設(shè)計(jì)和基于遺傳算法的優(yōu)化模型是有效的；此外，可以看出：考慮側(cè)偏角影響的轉(zhuǎn)向梯形使外側(cè)車輪獲得更大的轉(zhuǎn)角，在賽車方向盤大轉(zhuǎn)角輸入時(shí)尤為明顯，使賽車具備更小轉(zhuǎn)彎半徑的行駛能力，可提高賽車轉(zhuǎn)向靈活性，同時(shí)更好地減小了輪胎的磨損量。

圖5所示為個(gè)體適應(yīng)度值與進(jìn)化代數(shù)之間變化曲線，適應(yīng)度值越小，即證明轉(zhuǎn)向梯形決定的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系與阿克曼轉(zhuǎn)向理想模型之間的符合程度越高，可以看出在進(jìn)化的初期，適應(yīng)度值快速減小，逐漸放緩并收斂于某個(gè)適應(yīng)度值，由此證明文中設(shè)計(jì)的基于遺傳優(yōu)化算法的優(yōu)化模型具有較好的適應(yīng)性和優(yōu)化效果，并具有一定的應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

圖5 個(gè)體適應(yīng)度隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線

3 虛擬仿真試驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證考慮輪胎側(cè)偏角對(duì)賽車轉(zhuǎn)向梯形優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響，在ADAMS/Car中建立了賽車整車動(dòng)力學(xué)模型，分別將兩種優(yōu)化后的賽車轉(zhuǎn)向梯形模型應(yīng)用于賽車虛擬樣機(jī)中[6]，在方向盤角階躍工況下進(jìn)行仿真計(jì)算。如圖6所示，在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，采用考慮輪胎側(cè)偏角的轉(zhuǎn)向梯形模型使賽車軌跡半徑減??；賽車縱向速度曲線如圖7所示；各個(gè)輪胎側(cè)偏角變化曲線如圖8所示，可以看出考慮輪胎側(cè)偏角的轉(zhuǎn)向梯形使賽車的外側(cè)車輪的側(cè)偏角在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛工況下更大，分析其原因是由更大的偏轉(zhuǎn)角響應(yīng)引起的。

圖6 軌跡曲線

圖7 賽車縱向速度曲線

圖8 輪胎側(cè)偏角變化曲線

4 結(jié)論

考慮輪胎側(cè)偏角的阿克曼轉(zhuǎn)向梯形能使外側(cè)車輪獲得更大的轉(zhuǎn)角響應(yīng)，即減小賽車轉(zhuǎn)彎半徑，在彎道中具有更優(yōu)異轉(zhuǎn)向靈活性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此在賽車阿克曼轉(zhuǎn)向梯形的優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)充分考慮輪胎側(cè)偏角的影響；此外，基于遺傳算法優(yōu)化后的轉(zhuǎn)向梯形與理想的阿克曼轉(zhuǎn)向模型符合度很高，有效地縮短了賽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的開發(fā)周期。