陳 健夏 芳 傅燕寧

(1中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京210034)

(2中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

近幾十年來,通過不斷的觀測(cè)和擬合研究,發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)的恒星雙星系統(tǒng)越來越多[1].目前認(rèn)為有超過一半的恒星是雙星[2],且其中大部分系統(tǒng)都有亮子星,但由于觀測(cè)條件的限制,目前已知軌跡的系統(tǒng)只有約7000個(gè)[3],在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的雙星中占的比例不到5%.隨著觀測(cè)技術(shù)的發(fā)展,高精度的恒星運(yùn)動(dòng)學(xué)觀測(cè)資料大量積累.華盛頓雙星星表(The Washington Double Star Catalogue,WDS)中已經(jīng)收錄了142645個(gè)雙星系統(tǒng)的1619023個(gè)相對(duì)位置測(cè)量數(shù)據(jù)1http://ad.usno.navy.mil/wds/wds.html,這使得雙星軌道擬合工作發(fā)展迅速,其給出的大批量的系統(tǒng)亮子星的位置,豐富了亮星星表參考架的內(nèi)容[1].同時(shí),雙星軌道擬合給出的恒星動(dòng)力學(xué)質(zhì)量參數(shù)是恒星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究和恒星物理演化研究必不可少的參量,也為恒星經(jīng)驗(yàn)質(zhì)光關(guān)系的研究提供了更多精確的參考樣本[4?6].

雙星系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)模型是二體問題,其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程是可積的,積分常數(shù)一般取為質(zhì)心的位置速度和二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌道參數(shù)[1],在雙星各自的質(zhì)量已知的情況下,就可以預(yù)測(cè)雙星在任意一個(gè)時(shí)刻的位置和速度.反之,在已知多個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)位置和速度之后,可以通過擬合得到積分常數(shù)和質(zhì)量.針對(duì)雙星的觀測(cè)資料主要有相對(duì)位置資料、視向速度資料以及依巴谷、Gaia等天體測(cè)量數(shù)據(jù).盡管二體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型具有足夠的完備性,但此前在針對(duì)這些觀測(cè)資料的擬合工作中,計(jì)算觀測(cè)量理論值時(shí)唯一考慮的改正是由歲差引起的切平面正北方向的改正[7].而目前有研究者們注意到現(xiàn)有觀測(cè)量計(jì)算模型所依賴的切平面局部參考系本身就存在一些近似問題[3,8].首先,雙星軌道的空間指向由切平面給出[9],切平面在精度較低時(shí)可以粗略地定義為垂直于某顆子恒星的視線方向,但我們知道,這個(gè)視線方向由于受到恒星自行的影響不斷發(fā)生變化,因此,在高精度恒星定位研究中需要給切平面一個(gè)精確的定義或者采用其他更精確的方法描述雙星軌道空間指向;其次,由于空間透視效應(yīng)的存在[8],軌道運(yùn)動(dòng)在切平面上的平行投影并不是我們真正看到的圖像,而是假想的從無窮遠(yuǎn)處觀測(cè)雙星所看到的圖像.Kaplan[3]2015年在IAU大會(huì)指出這些問題導(dǎo)致的相對(duì)位置計(jì)算偏差有可能達(dá)到40 mas.早期因?yàn)橄鄬?duì)位置測(cè)量誤差普遍大于0.1′′,所以近似的問題一直沒有引起重視.而目前地面的干涉觀測(cè)儀器的精度已經(jīng)達(dá)到或好于1 mas[1],為避免近似帶來的誤差,采用嚴(yán)格的立體幾何方法計(jì)算雙星的觀測(cè)量是必須的.

本文第2節(jié)介紹觀測(cè)量計(jì)算方法改進(jìn)的具體內(nèi)容;第3節(jié)介紹改進(jìn)后的方法在雙星觀測(cè)量計(jì)算與軌道擬合上的應(yīng)用;第4節(jié)討論觀測(cè)量計(jì)算方法改進(jìn)的意義及未來繼續(xù)提高模型精度需要考慮的其他問題.

2 改進(jìn)觀測(cè)量計(jì)算方法

我們以牛頓二體模型為基礎(chǔ),通過嚴(yán)格的立體幾何推導(dǎo)建立從模型參數(shù)到觀測(cè)量的計(jì)算方法.

2.1 模型參數(shù)的選取

α、δ、?分別為雙星質(zhì)心在t0時(shí)刻的赤經(jīng)、赤緯、視差.μα?、μδ分別為雙星質(zhì)心在t0時(shí)刻自行的赤經(jīng)和赤緯分量.vr0為雙星質(zhì)心在t0時(shí)刻的視向速度.這些量都是描述雙星質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的參數(shù).

a0是雙星軌道的半長徑,以au為單位.e是軌道偏心率.τ是軌道上天體過近心點(diǎn)的時(shí)刻.P是軌道周期.這4個(gè)參數(shù)用于描述二體在軌道平面上的相對(duì)運(yùn)動(dòng).q是雙星的主星質(zhì)量mA與伴星質(zhì)量mB之比,用于將相對(duì)運(yùn)動(dòng)歸算到質(zhì)心.以上5個(gè)參數(shù)都不會(huì)因采用坐標(biāo)系的不同而變化.需要注意的是,參數(shù)a0在舊模型中通常采用的定義是a=a0?,為了保持一致,新模型的結(jié)果最后會(huì)由a0換算到a.

最后介紹用于確定雙星軌道指向的3個(gè)參數(shù):

(1)軌道傾角i0:軌道法向與ICRS北極方向所成的角.

(2)升交點(diǎn)經(jīng)度?0:將ICRS原點(diǎn)平移至主星,?0就是該參考系中二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道關(guān)于赤道面升交點(diǎn)的赤經(jīng).

(3)近心點(diǎn)角距ω0:升交點(diǎn)沿二體軌道順行到近心點(diǎn)所走過的角度.

在近似的觀測(cè)量計(jì)算方法中上述3個(gè)指向角(分別記為i、?、ω)是關(guān)于“切平面”給出的.其中忽略了切平面的時(shí)變性.Kaplan討論了這種近似對(duì)子星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)計(jì)算的影響[3],本文則以子星相對(duì)位置和視向速度這兩種常見的觀測(cè)量為例,進(jìn)一步討論其對(duì)軌道擬合的影響.

2.2 嚴(yán)格計(jì)算觀測(cè)量

下面給出從模型參數(shù)到任一時(shí)刻t的子星相對(duì)位置和視向速度的計(jì)算過程.

首先由α、δ、?、μα?、μδ、vr0計(jì)算出t0時(shí)刻雙星質(zhì)心相對(duì)太陽系質(zhì)心的位置速度,再根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出t時(shí)刻雙星質(zhì)心相對(duì)太陽系質(zhì)心的位置rC(t)和速度(t).

接著計(jì)算軌道位置,由模型參數(shù)a0、e、τ、P求出t時(shí)刻雙星在軌道坐標(biāo)系中的位置及速度,再由i0、?0、ω03個(gè)角度旋轉(zhuǎn)至ICRS的坐標(biāo)方向下的相對(duì)位置速度.然后根據(jù)質(zhì)量比q歸算到相對(duì)質(zhì)心的位置速度.

綜合上面的結(jié)果,求出兩顆星在t時(shí)刻分別相對(duì)于太陽系質(zhì)心的位置rA(t),rB(t)和速度(t),(t).至此,子星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就完全確定了,由rA(t),rB(t),(t),(t)即可得到任意一種運(yùn)動(dòng)學(xué)觀測(cè)量.

相對(duì)位置(ρ(t),θ(t))是雙星觀測(cè)中常用的觀測(cè)量,其中ρ就是rA(t),rB(t)兩個(gè)位矢的夾角:

之所以(1)式中通過求rA(t),rB(t)的外積而非內(nèi)積來解ρ,是因?yàn)棣训闹捣浅Ｐ?1′′量級(jí)),這種情況下sin ρ比cos ρ對(duì)ρ的變化更敏感.

θ是天球上AB的方向關(guān)于AP的方向的方位角,如圖1所示,O為坐標(biāo)原點(diǎn),θ在3維空間中實(shí)際上是平面ABO與平面APO所成的角.為了得到θ與rA(t),rB(t)的關(guān)系,我們?cè)趫D1中引入了幾個(gè)輔助量,其中為ICRS的z軸方向?yàn)槠矫鍭BO的法方向,為平面APO的法方向.易得∠GOF= θ,又由和可得θ滿足的關(guān)系式:

其中ez={0,0,1}是北極方向的單位矢量.可以從圖1中看出θ就是大圓GFED上F關(guān)于G的方位角,而因?yàn)樵贗CRS赤道面上,則通過在z軸上分量的正負(fù)可以判斷出θ小于或大于180?.

除了相對(duì)位置(ρ(t),θ(t)),觀測(cè)量還有兩子星各自的視向速度vrA(t)和vrB(t),它們就是兩子星速度在其各自的位置rA(t),rB(t)方向上的分量:

圖1 θ在天球上的示意圖.其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),即太陽系質(zhì)心,A、B分別為主星、伴星在天球上的位置,P為北天極,大圓EF GD以A為極Fig.1 The diagram of θ on the celestial sphere.O is the origin.A and B are the primary and secondary components on the celestial sphere,respectively.P is the north pole.A is the pole of great circle EF GD

最后根據(jù)以上過程求觀測(cè)量對(duì)每一個(gè)模型參數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù),再用BVLS(Bounded Variable Least Squares algorithm)[10]方法擬合.需要注意的是,相對(duì)位置和視向速度對(duì)質(zhì)心參數(shù)α、δ、μα?、μδ的偏導(dǎo)數(shù)都很小,即相關(guān)性很弱,所以這4個(gè)參數(shù)不參與擬合,它們應(yīng)參考目前精度較高的觀測(cè)資料給定.這種嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法涉及到全局量與局部量的加減,因此存在有效數(shù)字位數(shù)損失的問題,我們?cè)诔绦蛑袑?duì)所有浮點(diǎn)數(shù)采用4倍精度,以避免精度損失對(duì)結(jié)果的影響.

2.3 嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法的優(yōu)勢(shì)

嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法的優(yōu)勢(shì)在于從全局參考系出發(fā)描述雙星的運(yùn)動(dòng),解決了近似的觀測(cè)量計(jì)算方法中回避了的透視問題及坐標(biāo)架指向不固定問題.圖2顯示出切平面局部參考系未考慮透視所引起的偏差,其中B′為伴星在切平面上的近似投影位置,B′′為伴星在切平面上的實(shí)際投影位置.切平面指向不固定主要由雙星系統(tǒng)的自行導(dǎo)致,引起的觀測(cè)量偏差通常會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸增大,必須通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)才能改正.

圖2 透視效應(yīng)對(duì)雙星投影位置的影響.其中A、B分別為主星和伴星,B′B平行于A的視線方向且交切平面于點(diǎn)B′,B′′為B的視線方向與切平面的交點(diǎn)Fig.2 The prospective effect on the projection of binary.In this graph,A and B are the primary and secondary components,respectively.B′B is parallel to the line of sight to A,and intersects the plane of sky in B′,while the line of sight of B intersects the plane of sky in B′′

從近似的觀測(cè)量計(jì)算方法產(chǎn)生偏差的機(jī)制來看,雙星離我們觀察者越近,并且雙星間的距離越大,產(chǎn)生的偏差也就越大,因此觀測(cè)量計(jì)算方法的改進(jìn)對(duì)于太陽系鄰近區(qū)域中的遠(yuǎn)距雙星更有幫助.

3 嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法的應(yīng)用與結(jié)果分析

上一節(jié)我們介紹了嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法,本節(jié)主要討論其在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用.

首先,我們?cè)诘?目視雙星星表(Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars)中找出所有含亮子星的雙星系統(tǒng),并統(tǒng)計(jì)嚴(yán)格的與近似的觀測(cè)量計(jì)算方法計(jì)算出的相對(duì)位置的差異,發(fā)現(xiàn)有不少系統(tǒng)的差異已經(jīng)超過了當(dāng)前的觀測(cè)誤差,其中差異較大的系統(tǒng)大多具有較大的軌道半長徑和視差.

從差異較大的系統(tǒng)中我們選取了觀測(cè)資料相對(duì)豐富的半人馬座α雙星作為擬合的試驗(yàn)對(duì)象.該系統(tǒng)是離太陽系最近的亮雙星,自行與半長徑均較大,因此采用近似觀測(cè)量計(jì)算方法造成的偏差也較大.針對(duì)它的軌道擬合工作非常多[11–13],最新的軌道參數(shù)是Kervella等人給出的,所用觀測(cè)數(shù)據(jù)為1752–2016年的相對(duì)位置數(shù)據(jù)和1900年以來的視向速度數(shù)據(jù)[13],我們用了和他們同樣的觀測(cè)數(shù)據(jù),擬合中的權(quán)重也依據(jù)Kervella等人文中給出的誤差來分配.擬合中需要固定不動(dòng)的α、δ、μα?、μδ4個(gè)質(zhì)心參數(shù)中,μα?、μδ也參考了Kervella等人的工作[13],α、δ則是由依巴谷星表中子星(HIP71683和HIP71681)各自的位置計(jì)算得來.接下來通過BVLS方法分別用嚴(yán)格的與近似的觀測(cè)量計(jì)算方法進(jìn)行擬合.得到的χ2非常接近,但是通過兩種方法解出的參數(shù)不一樣(見表1),這說明兩種觀測(cè)量計(jì)算方法雖然與觀測(cè)的符合程度相似,但調(diào)整參數(shù)的方向卻不同.近似的觀測(cè)量計(jì)算方法可能使模型參數(shù)向著錯(cuò)誤的方向調(diào)整了.于是我們進(jìn)一步對(duì)參數(shù)的解進(jìn)行分析.

參考實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度和軌道覆蓋率,我們產(chǎn)生了100組仿真數(shù)據(jù),并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行再次擬合,最后在表1中給出參數(shù)誤差,并列出了誤差范圍內(nèi)出現(xiàn)真值的可能性,作為參數(shù)準(zhǔn)確性的判斷依據(jù).從表1中我們可以看出,依靠嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法解出的參數(shù)的準(zhǔn)確性均高于近似方法.尤其對(duì)vr0和q兩個(gè)參數(shù),采用近似的觀測(cè)量計(jì)算方法擬合,能恢復(fù)到真值的機(jī)率只有不到1%,這是因?yàn)檫@兩個(gè)參數(shù)與觀測(cè)量vrA(t)、vrB(t)的相關(guān)性很強(qiáng),依靠嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法可以把vr0和q定得很精確,而近似的觀測(cè)量計(jì)算方法在描述雙星運(yùn)動(dòng)方面是有偏差的,參數(shù)解與真值實(shí)際上差別很大.

我們?cè)趫D3中顯示了用兩種觀測(cè)量計(jì)算方法擬合仿真數(shù)據(jù)所得參數(shù)結(jié)果的相對(duì)偏差量統(tǒng)計(jì).橫坐標(biāo)上每一項(xiàng)代表一個(gè)參數(shù)的擬合值與真值的相對(duì)偏差量,對(duì)應(yīng)兩組統(tǒng)計(jì)圖,其中空心的是嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法擬合值的偏差量統(tǒng)計(jì),實(shí)心的代表近似方法.每一組統(tǒng)計(jì)圖中,箱內(nèi)的一根橫線表示這組相對(duì)偏差的中位數(shù),小方塊表示平均數(shù),箱代表這組相對(duì)偏差樣本按大小排序后位于中間的50%所在的范圍,誤差棒則代表位于中間的98%的樣本所在的范圍,可以看出,中位數(shù)與平均數(shù)基本都在箱圖的中間,它們與零點(diǎn)的差距越大說明對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果越不合理.從圖3中可以看出,對(duì)每一個(gè)參數(shù),嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法擬合結(jié)果總是比近似的更靠近零點(diǎn),即更合理.

表1 半人馬座α雙星的參數(shù)解及其準(zhǔn)確性Table 1 The fitted parameters of α Centauri and their confidence levels

圖3 各參數(shù)擬合結(jié)果偏差圖.空心框圖與實(shí)心框圖分別對(duì)應(yīng)嚴(yán)格的與近似的觀測(cè)量計(jì)算方法的仿真擬合統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.3 The relative deviations of parameters.The open boxes and the filled boxes,respectively,show the statistical results of fitting simulated data based on the exact and approximate algorithms for computing the observables

圖3中看出近似的觀測(cè)量計(jì)算方法擬合參數(shù)解的相對(duì)偏差最大不超過1%,但這并不代表參數(shù)解的偏差可以被忽略.我們用表1中兩種方法擬合的參數(shù)分別計(jì)算4種觀測(cè)量并求差值,將這個(gè)差值的變化曲線畫在圖4中,可以看出這個(gè)偏差將會(huì)導(dǎo)致預(yù)報(bào)的雙星相對(duì)位置偏差達(dá)到15 mas,視向速度偏差達(dá)到12 m·s?1,這都遠(yuǎn)超過了當(dāng)前這兩種觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差.同時(shí),隨著時(shí)間的推移這些偏差都有逐步增大的趨勢(shì).

圖4 嚴(yán)格的與近似的觀測(cè)量計(jì)算方法對(duì)半人馬座α觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果在計(jì)算觀測(cè)量上的偏差.其中ρ、θ為相對(duì)位置的坐標(biāo)分量,vrA、vrB為主星和伴星的視向速度,下標(biāo)為“new”的是嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法擬合出的參數(shù)計(jì)算出的觀測(cè)量,下標(biāo)為“old”的是近似方法擬合出的參數(shù)計(jì)算出的觀測(cè)量Fig.4 The difference between observed quantities computed from parameters fitted by the exact and approximate algorithms to the observational data of α Centauri. ρ and θ are the components of the relative positions.vrA and vrB are the radial velocities of the major component star and the minor one,respectively.The subscript“new”means that the observables are computed from the parameters fitted by the exact algorithm,and the subscript“old” means that the observables are computed from the parameters fitted by the approximate algorithm

4 結(jié)論和展望

隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)精度的不斷提高,采用嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法是必須的.本文對(duì)此前觀測(cè)量計(jì)算方法中忽略的兩個(gè)近似因素進(jìn)行了分析,并給出了改進(jìn)后的觀測(cè)量計(jì)算方法.實(shí)際系統(tǒng)的應(yīng)用結(jié)果表明,盡管嚴(yán)格與近似的觀測(cè)量計(jì)算方法與觀測(cè)數(shù)據(jù)的符合程度相當(dāng),但近似方法得到的擬合參數(shù)偏離真值的程度更大.尤其是視向速度和質(zhì)量比這兩個(gè)在恒星動(dòng)力學(xué)研究和物理研究方面都很重要的參數(shù),近似方法給出正確值的可能性很低.另外,這種偏離在恒星觀測(cè)量計(jì)算中體現(xiàn)的偏差也不可忽視.因此,對(duì)雙星系統(tǒng),尤其是太陽系附近的遠(yuǎn)距雙星系統(tǒng),需要采用嚴(yán)格的觀測(cè)量計(jì)算方法來擬合.

當(dāng)然,關(guān)于觀測(cè)量計(jì)算模型的改進(jìn),今后還有一些其他因素需要考慮.首先是光行差引起的雙星相對(duì)位置的偏差,其大小約為兩子星角距離的10?4[3],即角距離10′′的雙星偏差為1 mas.其次是子星離觀測(cè)者距離不同導(dǎo)致光線傳播的時(shí)間不同,觀測(cè)到的雙星位置對(duì)應(yīng)不到同一時(shí)刻,該因素對(duì)軌道傾角大、空間距離大的雙星影響較大[8].綜上所述,在提高雙星運(yùn)動(dòng)模型精度方面還有大量的工作需要完成.

模型精度的提高需要大量高精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的支持,觀測(cè)技術(shù)的不斷發(fā)展為之提供了可能.目前最具代表性的就是歐洲空間局(ESA)于2013年發(fā)射的Gaia衛(wèi)星,它對(duì)亮于15 mag的恒星能提供精度達(dá)到7–20μas的天體測(cè)量數(shù)據(jù)[14].除了這些高精度的新觀測(cè)數(shù)據(jù),長期的歷史觀測(cè)資料在雙星軌道擬合方面的作用也不容忽視[15].年代久遠(yuǎn)的天文觀測(cè)底片也可以通過掃描技術(shù)重新得到整理,使位置測(cè)量精度提高到0.1′′左右[16].有了高精度的模型和數(shù)據(jù),我們可以給出大批量雙星的新參數(shù).在此基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步開展的工作有:雙星系統(tǒng)軌道性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)研究;編制和維持更高精度、更高網(wǎng)格密度的星表;利用各種軌道擬合過程得到恒星質(zhì)量等物理參數(shù);研究多星系統(tǒng)和星團(tuán)的穩(wěn)定性或者動(dòng)力學(xué)演化過程;檢驗(yàn)恒星的演化模型等[1].

致謝 感謝Pierre Kervella與Dimitri Pourbaix為我們提供半人馬座α的觀測(cè)資料.