廣東省廣州市教育研究院(510030) 曾辛金

2018年全國高考數(shù)學命題的主要依據(jù)是《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱《課程標準》)、《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱—數(shù)學(文、理科)》(以下簡稱《考試大綱》)和《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(課標卷)考試大綱的說明—數(shù)學(文、理科)》(以下簡稱《考試說明》).2018年全國高考數(shù)學課標卷試題圍繞為什么考—“立德樹人、服務選拔、導向教學”,考什么—“必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”和怎么考—“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”精心打造,為高中數(shù)學教學指明了方向.

2018年全國高考數(shù)學課標卷文理科試題整體難度與往年全國卷比較有所降低,填空題難度降低較為明顯,解答題的門檻也低于往年.以下通過對2018年全國課標卷命題特點的分析,提出幾點備考建議,不當之處,敬請斧正.

一、2018年全國高考數(shù)學課標卷知識點分布

從表1、表2可以看出:

(1)2018年全國高考數(shù)學課標卷文理科在客觀題中必考的有集合、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、立體幾何初步、概率、平面向量、線性規(guī)劃、復數(shù)、圓錐曲線和方程、函數(shù)與導數(shù)等;沒有單獨考查常用邏輯用語、推理與證明;

(2)有些往年?？嫉闹R點在2018年發(fā)生了變化,如只有II卷考了算法初步,但II卷沒考三視圖,這應該是為新一輪高考改革作鋪墊.

表1:2018年全國高考數(shù)學課標卷(文科)試題考查知識點分布表

表2:2018年全國高考數(shù)學課標卷(理科)試題考查知識點分布表

(3)2018年全國高考數(shù)學課標卷文理科相同的題目明顯增多,除了兩道選做題文理科內(nèi)容與要求完全相同外,I卷文理科相同的題目有6道,II卷文理科相同的題目有10道,且文理科第9題均為長方體中求異面直線所成角的三角函數(shù)值,文理科第10題三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)幾乎相同,文理科第13題都是求自然對數(shù)函數(shù)在某點的切線問題,文理科第16題圓錐中的運算從題設到解法基本相同,立體幾何解答題的題干與第(1)問相同,III卷文理科相同的題目有11道,且立體幾何解答題的題干與第(1)問相同,解析幾何只是問法稍微不同,為新一輪高考數(shù)學不分文理科的改革進行了積極的探索.

二、2018年全國高考數(shù)學課標卷知識點考查與試題分析

1.集合

(1)考點考查概況

說明集合是中學數(shù)學的基本概念,也是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言,是高頻考查的知識點之一,主要考查集合的基本概念、元素與集合間的關系以及集合的簡單運算,文科側(cè)重考查數(shù)集的運算,理科側(cè)重考查與不等式有關的集合運算.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷理科第2題已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為()

A.9 B.8 C.5 D.4

分析本題主要考查集合與元素的關系,點與圓的位置關系,考查學生對概念的理解與識別.根據(jù)枚舉法,可以確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù),選A.

2.復數(shù)

(1)考點考查概況

說明復數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容,是解決數(shù)學問題的重要工具,是高考數(shù)學的高頻考點,復數(shù)題主要以選擇題形式出現(xiàn),主要考查復數(shù)的基本概念以及復數(shù)的運算.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文科第2題理科第1題設則|z|=()

分析本題主要考查復數(shù)的四則運算以及復數(shù)模的概念與求解.利用復數(shù)的除法及加法運算法則化簡得到z=i,根據(jù)復數(shù)模的公式,得到|z|=1.選C.

3.算法

(1)考點考查概況

說明算法是課程標準的新增知識點,算法題均以選擇題形式出現(xiàn),主要考查程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(順序、條件分支、循環(huán))以及基本算法語句(輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句),算法試題主要考查考生的閱讀理解能力,是得分較高的考題之一.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷文科第8題理科第7題為計算設計了下面的程序框圖,則在空白框中應填入( )

A.i=i+1 B.i=i+2

C.i=i+3 D.i=i+4

圖1

分析本題主要考查流程圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),考查數(shù)列的求和.根據(jù)程序框圖可知先分別對奇數(shù)項累加,偶數(shù)項累加,再兩個和式相減.因此在空白框中應填入i=i+2,選B.

4.平面向量

(1)考點考查概況

說明向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.平面向量是高考數(shù)學常考的內(nèi)容之一,主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積及其運算等.由于平面向量是代數(shù)與幾何的有機結(jié)合體,所以數(shù)形結(jié)合是解決平面向量的有效方法.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文科第7題理科第6題在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則

分析本題主要考查平面向量基本定理的有關問題,涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題.既可以利用向量的分解與合成(即三角形法則)求解,也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法直觀得到答案.選A.

5.線性規(guī)劃

(1)考點考查概況

說明線性規(guī)劃問題主要是能準確畫出二次一次不等式組表示的平面區(qū)域,并根據(jù)平面區(qū)域確定目標函數(shù)的最優(yōu)解,一般難度不大.

(2)試題呈現(xiàn)分析

分析本題主要考查線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先要正確畫出約束條件滿足的可行域,再根據(jù)目標函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標,代入求值.填6.

6.計數(shù)原理

(1)考點考查概況

說明計數(shù)原理是數(shù)學中的重要研究對象之一,基本計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法,為人們解決很多實際問題提供了思想和工具.因此,計數(shù)原理是高考數(shù)學中考查實際應用能力的一個重要載體.在高考中主要考查使用二項式定理解決二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及簡單的實際應用問題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷理科第5題的展開式中x4的系數(shù)為( )

A.10 B.20 C.40 D.80

分析本題主要考查二項式定理,考查利用二項式系數(shù)公式求解項的系數(shù),屬于基礎題.選C.

7.三角

(1)考點考查概況

說明三角包括三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形等三部分內(nèi)容.高考對這部分內(nèi)容是作為一個整體來考慮的,高考中三角試題一般為3道小題或1道小題目1道大題,小題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)與同角三角函數(shù)的關系,大題主要考查解三角形中的問題,且為解答題的第一題,基本屬于中等偏易題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷理科第15題函數(shù)在 [0,π]的零點個數(shù)為____.

分析本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點,屬于基礎題.既可以先確定的范圍,再考慮在這個范圍內(nèi)使余弦值為0的個數(shù);也可以先得到的通解,再考慮在[0,π]上的零點個數(shù).填3.

II卷理科第15題已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則 sin(α+β)=____.

分析本題主要考查三角中的基本運算,既可以根據(jù)已知條件分別求出sinα與cosβ的值,再代入計算得到結(jié)果;也可以利用整體思想,直接將已知兩式兩邊平方后相加得到結(jié)果.填

I卷理科第17題在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=求BC.

分析本題主要考查解三角形的問題,涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數(shù)關系式、誘導公式以及余弦定理.第(1)問利用正弦定理與同角三角函數(shù)的關系式可以求得結(jié)果,但要結(jié)合角的范圍,判斷三角函數(shù)值的符號;第(2)問需要利用第(1)問的結(jié)論,再根據(jù)余弦定理即可求解.

8.數(shù)列

(1)考點考查概況

說明數(shù)列專題包括數(shù)列、推理與證明等內(nèi)容.在近幾年的高考試題中,數(shù)列部分仍是考查的重點之一,高考中數(shù)列題一般為2—3道小題或1道大題,小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),大題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關系(主要是Sn與an的關系)等問題,難度不大.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷理科第14題記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=____.

分析本題主要考查數(shù)列{an}的求和問題,在求解的過程中,需要先利用題中的遞推關系,求出首項,并得到數(shù)列是一個等比數(shù)列,最后應用等比數(shù)列的求和公式求解即可;由于本題的項數(shù)較少,也可以直接利用遞推關系得到前6項,直接相加得到結(jié)果.填-63.

I卷文科第17題已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設

(1)求b1,b2,b3;

(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;

(3)求{an}的通項公式.

分析本題主要考查數(shù)列的問題,涉及到的知識點有遞推關系,等比數(shù)列的概念等基礎知識.第(1)問直接根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項;第(2)問利用遞推關系和等比數(shù)列的概念證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;第(3)問根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列{bn}的通項公式,借助于{bn}的通項公式求得數(shù)列{an}的通項公式.

答案:(1)b1=1,b2=2,b3=4;(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列;(3)an=n·2n-1.

9.立體幾何

(1)考點考查概況

說明立體幾何包括立體幾何初步和空間中的向量與立體幾何(理科)等內(nèi)容.立體幾何部分側(cè)重考查空間概念、推理論證能力、空間想象能力及運算求解能力.立體幾何題一般為2小1大,文理科在立體幾何的要求上有所不同,文科主要考查線面位置關系,面積與體積的計算.理科重點考查用空間向量求角的問題,證明線面間的平行與垂直關系等問題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷文理第3題中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫棒頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( )

圖2

分析本題主要考查空間幾何體的三視圖,把中國傳統(tǒng)文化與三視圖緊密結(jié)合在一起,主要考查學生的空間想象能力,屬于基礎題.觀察圖形可知選A.

II卷理科第16題已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB,所成角的余弦值為SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的面積為則該圓錐的側(cè)面積為____.

分析本題主要考查圓錐中的有關計算,涉及到的知識點主要有線面角,圓錐的側(cè)面積,三角形面積等,考查學生空間想象能力與運算求解能力.先根據(jù)三角形面積公式可以求出圓錐的母線長,再根據(jù)圓錐母線與底面所成角可求得圓錐的底面半徑,最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得結(jié)果.填

I卷文科第18題在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點M到達點D的位置,且AB⊥DA.

圖3

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q為線段上一點,P為線段BC上一點,且BP=求三棱錐Q-ABP的體積.

分析本題主要考查立體幾何中的折疊問題,涉及到的知識點有面面垂直的判定定理以及三棱錐的體積的求解.第(1)問證明的邏輯思路是“線線垂直?線面垂直?面面垂直”,找到相關的線線垂直是基礎;第(2)問根據(jù)已知條件,求得相關的線段長度,再由第(1)問垂直的相關條件,求得三棱錐的高,最后求得三棱錐的體積.

答案:(1)略;(2)VQ-ABP=1.

III卷理科第19題如圖,邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點.

圖4

(1)證明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)當三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

分析本題主要考查立體幾何中的線面位置關系與二面角的計算,涉及到的知識點有面面垂直的判定定理、三棱錐的體積,二面角的平面角等.第(1)問證明的邏輯思路是“線線垂直?線面垂直?面面垂直”,找到相關的線線垂直是基礎;第(2)問主要考查建立空間直角坐標系,利用空間向量求出二面角的平面角,考查數(shù)形結(jié)合,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解,考查學生的運算求解能力和空間想象能力,屬于中檔題.

10.概率與統(tǒng)計

(1)考點考查概況

說明概率與統(tǒng)計包括統(tǒng)計、概率、統(tǒng)計案例等內(nèi)容.概率與統(tǒng)計內(nèi)容是中學數(shù)學的重要知識,也是新課改后高考?？汲Ｐ碌膬?nèi)容之一,在應用題的考查方面,它基本上取代了傳統(tǒng)的數(shù)學應用題,與高等數(shù)學聯(lián)系非常密切,是進一步學習高等數(shù)學的基礎,也是高考數(shù)學命題的熱點內(nèi)容.概率與統(tǒng)計一般為2—3道題,小題主要考查古典概型與抽樣方法等,大題更注重應用性,且與函數(shù)的聯(lián)系較緊密,考查隨機事件的分布列與數(shù)學期望較為頻繁,統(tǒng)計案例也是高考的常考知識點.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷理科第8題我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是( )

分析本題主要考查古典概型中基本事件數(shù)的探求方法,以我國數(shù)學家陳景潤的研究成果為背景,目的是弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.解答本題關鍵要理解素數(shù)的概念,一般用列舉法即可.選C.

I卷文科第19題某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)

分析本題主要考查統(tǒng)計中的相關問題,涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制,利用頻率分布直方圖計算變量落在相應區(qū)間上的概率,利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等.第(1)問根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表,算出落在相應區(qū)間上的頻率,借助于直方圖中長方形的面積表示的就是落在相應區(qū)間上的頻率,從而確定出對應矩形的高,從而得到直方圖;第(2)問結(jié)合直方圖,算出日用水量小于0.35的矩形的面積總和,即為所求的頻率;第(3)問根據(jù)各組的中值乘以相應的頻率作和求得50天日用水量的平均值,作差乘以365天得到一年能節(jié)約用水多少m3,從而求得結(jié)果.

答案:(1)略;(2)0.48;(3)47.45m3.

II卷文理第18題下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,···,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量y的值依次為1,2,···,7)建立模型②:=99+17.5t.

(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.

分析本題主要考查線性回歸方程問題,涉及的知識點主要有線性回歸方程的簡單運算和問題決策.第(1)問直接將數(shù)值代入已知的兩個模型中即可得到兩個預測值;第(2)問需要根據(jù)折線圖的趨勢作出正確判斷.本題思維難度不大,運算量也較小.

答案:(1)利用模型①預測值為226.1,利用模型②預測值為256.5,(2)利用模型②得到的預測值更可靠.

III卷文理第18題某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

(3)根據(jù)(2)中的列表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:

分析本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗,重點考查學生的計算能力和分析問題的能力,貼近生活.第(1)問計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可;第(2)問先計算出中位數(shù),再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;第(3)問先根據(jù)公式計算出K2,再與6.635比較可得結(jié)果.

答案:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高;(2)80;(3)能.

11.解析幾何

(1)考點考查概況

說明解析幾何包括平面解析幾何初步、圓錐曲線與方程等兩部分內(nèi)容.平面解析幾何側(cè)重于形象思維、推理運算和數(shù)形結(jié)合,綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識,所涉及的知識點較多,對解題能力考查的層次要求較高.基于“多考一點思維,少考一點運算”的命題理念,近幾年全國課標卷在解析幾何解答題中加大了思維能力的考查,減少了對復雜運算的考查.高考中解析幾何題一般為2小1大,小題主要考查圓錐曲線中的基本概念與性質(zhì),大題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系,屬于難度較大的試題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷理科第19題設橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

分析本題主要考查直線與橢圓的位置關系,涉及到的知識點有直線方程的兩點式,直線與橢圓相交的綜合問題,角與斜率的關系等.第(1)問求直線方程的時候,要注意點A的不同位置;第(2)問先要證明在特殊情況下兩個角相等,再證明在一般情況下兩個角相等,重點是要善于將角相等的問題轉(zhuǎn)化為斜率之間的關系來處理.

II卷文科第20題理科第19題設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

分析本題主要考查直線與拋物線的位置關系,圓的方程,涉及的知識點主要有直線方程,直線與拋物線相交的弦長,圓的方程等.第(1)問聯(lián)立直線與拋物線方程,消元后利用韋達定理與弦長公式(或利用定義)求解;第(2)問利用(1)的結(jié)果求出AB的中垂線方程,得到圓心坐標的關系,再根據(jù)圓心到拋物線準線的距離等于半徑得等量關系,解相關方程組可求得圓心與圓的半徑,得到所求圓的方程.

答案:(1)直線l的方程為y=x-1;(2)圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

III卷文科第20題已知斜率為k的直線l與橢圓交于A,B兩點.線段AB的中點為M(1,m)(m＞0).

(2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且證明:

分析本題主要考查直線與橢圓的位置關系,涉及的知識點主要有直線方程,線段的長,橢圓中的相關元素等.第(1)問一般聯(lián)立直線與橢圓方程,消元后利用韋達定理和中點坐標公式可以證得結(jié)論,本題若利用點差法,通過設而不求可減少運算量;第(2)問先利用向量關系求出點P的坐標,進而求出m的值,再利用兩點間距離公式分別求出的表達式,根據(jù)整體的思想證得結(jié)論成立.

答案:(1)略;(2)略.

12.函數(shù)與導數(shù)

(1)考點考查概況

說明函數(shù)與導數(shù)包括函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))、導數(shù)及其應用等兩部分內(nèi)容.函數(shù)與導數(shù)是高中階段數(shù)學中重要的基礎知識,是高考考查的重中之重,涉及函數(shù)與導數(shù)的問題已成為經(jīng)久不衰的熱點,常考常新.考題既有選擇題和填空題,又有解答題,難度既有容易題、中檔題,也有壓軸的難題.函數(shù)與導數(shù)一般為3—4道題,小題主要考查函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)值(分段函數(shù))的計算,導數(shù)的基本概念等;大題主要考查導數(shù)的幾何意義,函數(shù)的零點問題,且常與不等式等知識融合在一起,思維要求很高,屬于難題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷文理第3題函數(shù)的圖象大致為( )

分析本題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì),解答這類問題一般要結(jié)合圖像綜合運用函數(shù)的性質(zhì),常常會用到解答選擇題的特殊方法,如特例法、排除法等等.如根據(jù)f(-1)＜0,可以排除A,D.再利用求導,判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定答案.選B.

I卷文科第21題已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點.求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

分析本題主要考查導數(shù)的綜合運用,考查邏輯推理能力、運算求解能力以及放縮的數(shù)學思想,涉及到的知識點有導數(shù)與極值、導數(shù)與最值、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系以及證明不等式問題等.第(1)問先確定函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導,利用f′(2)=0,求得a值,則函數(shù)的解析式確定,根據(jù)導函數(shù)并結(jié)合極值點的位置,從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第(2)問先根據(jù)將參數(shù)a放縮,得到再構(gòu)造新函數(shù)只要證明g(x)≥0,利用不等式的傳遞性,即可證得結(jié)果.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

分析本題主要考查函數(shù)的綜合問題,考查考生抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及等價轉(zhuǎn)化的思想,涉及到的知識點有導數(shù)與單調(diào)性、極值、不等式等.第(1)問先確定函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導后對a進行分類討論,從而確定導數(shù)在相應區(qū)間上的符號,最后得到函數(shù)對應的單調(diào)區(qū)間;第(2)問首先要將所證不等式進行等價轉(zhuǎn)化,然后根據(jù)f(x)存在兩個極值點,結(jié)合第(1)問的結(jié)論,可以確定a＞2,并將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,通過構(gòu)造新的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)果.

答案:(1)當a≤2時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當a＞2時,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)略.

III卷理科第21題已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明:當-1＜x＜0時,f(x)＜0;當x＞0時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

分析本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,考查考生抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及等價轉(zhuǎn)化的思想,涉及到的知識點有導數(shù)與單調(diào)性、極值等.第(1)問屬于常規(guī)問題,利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值,即可證明不等式;第(2)問分類討論,當a≥0時,結(jié)合(1)的結(jié)論,可知與已知條件矛盾,當a＜0時,通過構(gòu)造函數(shù)通過討論g(x)的性質(zhì)解答,本題構(gòu)造g(x)的目的是減少運算量,思維能力要求較高,難度較大.

13.極坐標與參數(shù)方程

(1)考點考查概況

說明極坐標與參數(shù)方程包括極坐標和參數(shù)方程的基本概念,曲線的多種表現(xiàn)形式.極坐標與參數(shù)方程是兩道“選考題”中的第一題,且文理試題相同,每年的試題都是2個小問,主要考查直線與圓錐曲線(重點是圓與橢圓)的參數(shù)方程形式,極坐標與直角坐標的互化,考查數(shù)形結(jié)合的思想、坐標系思想和參數(shù)方程思想,主要考查參數(shù)方程,當涉及到極坐標問題時,則主要考查極坐標與直角坐標的互化.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文理第22題在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為:y=k|x|+2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐標方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.

分析本題主要考查坐標系與參數(shù)方程的相關問題,涉及到的知識點主要有平面直角坐標方程與極坐標方程的互化,平面直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,直線與曲線相交問題等,考查抽象概括能力、運算求解能力以及分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想.第(1)問只要運用互化公式直接將極坐標方程化為直角坐標方程,屬于送分題;第(2)問根據(jù)第(1)問的結(jié)論可以斷定曲線C2是圓心為(-1,0),半徑為2的圓,而C1是過點(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線,通過分析圖形的特征,結(jié)合直線與圓的位置關系,可以得到兩條曲線有三個公共點時k所滿足的關系式,從而求得結(jié)果.

答案:(1)(x+1)2+y2=4;(2)

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.

分析本題主要考查直線的參數(shù)方程的標準形式的應用,涉及的知識點主要有直線與橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與直角坐標方程的互化,直線與橢圓相交等,考查運算求解能力等.第(1)問直接將直線與橢圓的方程化為直角坐標方程,但要注意分類討論;第(2)問既可以利用第(1)問的結(jié)果直接聯(lián)立方程,在直角坐標系下解答,也可以將直線l參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中,根據(jù)直線參數(shù)t的幾何意義解答.

答案:(1)C的方程為l的方程為x=1或y=xtanα+2-tanα;(2)l的斜率為-2.

14.不等式選講

(1)考點考查概況

I卷文理第23題已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立,求a的取值范圍.

分析本題主要考查絕對值不等式的解法,以及含參的絕對值的式子在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題,考查運算求解能力和等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等.第(1)問將a=1代入函數(shù)解析式得f(x)=|x+1|-|x-1|,利用零點分段得到分段函數(shù),再分情況討論求得不等式的解集;第(2)問根據(jù)題中所給的x∈(0,1),可以去掉其中一個絕對值符號,將不等式f(x)＞x轉(zhuǎn)化為|ax-1|＜1在(0,1)上恒成立,分類討論即可求得結(jié)果.

III卷文理第23題設函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像;

(2)當x∈[0,+∞),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

分析本題主要考查函數(shù)圖像的畫法,已知不等式成立求參數(shù)的取值范圍,考查抽象概括能力與分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等.第(1)問將函數(shù)寫成分段函數(shù),再畫出在各自定義域的圖像即可;第(2)問根據(jù)第(1)問的圖像,結(jié)合y=f(x)與y=ax+b在[0,+∞)上滿足的圖像特征,可以得到a≥3且b≥2,進而得到a+b的最小值.

答案:(1)略;(2)5.

三、高考數(shù)學備考建議

高考數(shù)學備考沒有統(tǒng)一的標準模式,每個學校都有基于學生自身水平的備考措施,廣州市一直堅持“抓基礎、抓重點、抓落實”的備考策略,“抓基礎”與“抓重點”對于一般老師來說都能把握到位,但要做到“抓落實”未必能得心應手,由此我們提出了“抓落實”的十六字方略:精選材料、分層教學、有效訓練、及時反饋,以下僅“十六字方略”提幾點粗淺建議,僅供參考.

1.精選材料,突出重點

訓練材料的選取是高考復習的重要一環(huán),材料選得好,可以起到事半功倍的作用.建議選用以下材料進行訓練:

(1)教材上的經(jīng)典試題:高考數(shù)學命題的原則是“源于教材、高于教材、但不拘泥于教材”,因此教材上的典型試題是高考命題專家的首選素材.在復習時,要充分挖掘教材例、習題的功能,深刻理解教材實質(zhì),挖掘教材內(nèi)涵,利于課本輻射整體,實現(xiàn)“由內(nèi)到外”的突破.在每年的高考數(shù)學試卷中都有部分試題源于教材,高于教材,特別是選擇題與填空題,絕大多數(shù)是教材上的例、習題改編的,在解答題中也不乏有教材上試題的影子(或直接用教材上的定理或公式).如2016年全國課標I卷文理科第16題線性規(guī)劃的利潤最大問題,與人教A版教材必修5第91頁練習2基本相同;2016年全國I卷理科第17題解三角形中鑲嵌了任意三角形中的“射影定理”(也稱第一余弦定理),而這一定理在人教A版教材必修5第18頁練習3已經(jīng)證明.

(2)歷年全國高考數(shù)學課標卷和部分自主命題高考數(shù)學試題:高考題是高考要求的具體體現(xiàn),它既反映了高考的范圍、重點,又展示了題型、特點,是高三教學的“無形指揮棒”,所以我們應選用歷屆高考題中的典型題目作為例題進行復習教學,引導學生分析,使學生經(jīng)常將復習數(shù)學基礎知識與解答高考題掛起鉤來,真正做到著眼于高考.如2018年全國高考數(shù)學課標I卷理科第21題源于2011年湖南卷文科第22題.

(3)歷年全國各地的高考數(shù)學模擬試題:特別要注意省內(nèi)各地、市模擬題的特點,模擬題畢竟代表本地區(qū)骨干教師的集體智慧,具有較好的參考價值.如2018年全國高考數(shù)學課標I卷文科第21題源于2016年廣州市“一?！蔽目频?1題.

在選取材料時,要有一定量的非常規(guī)題,在選擇題與填空題中要有部分陷阱題.

另外,數(shù)學有其復習的特殊性,要求每天都有一定的訓練量,每周至少要做一套完整的模擬卷.訓練要有針對性,必須精選精練,杜絕見題就印的不良習慣.

2.分層教學,關注差異

“分層教學”實際上是一種課堂教學的策略,“分層教學”包括對學生學習特點的分層與課堂教學中對學生學習要求的分層:

(1)對學生學習特點的分層.

對學生學習特點的分層就是教師通過調(diào)查和觀察,掌握班級內(nèi)每個學生的學習狀況、知識水平、特長愛好及社會環(huán)境,教師根據(jù)學生現(xiàn)有的知識、能力水平和潛力傾向把學生科學地分成幾組各自水平相近的群體并區(qū)別對待,這些群體在教師恰當?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫阶詈玫陌l(fā)展和提高.

(2)對學生學習要求的分層.

對學生學習要求的分層首先體現(xiàn)在課堂教學上,一方面要按照教學目標、面向全體學生完成課堂教學的任務,另一方面既要兼顧優(yōu)等生“吃飽”,又要照顧后進生“吃好”,真正達到“使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

由于參加高考的考生的層次不同,高考數(shù)學試題也基本按照考生的不同層次進行命題,因此在教學中應按照學生的實際能力組織真正有針對性的教學,既不能隨意降低要求而無法對接高考,也不能盲目拔高要求而加重學生負擔,以致偏離了高考數(shù)學備考的軌道.

3.有效訓練,強化規(guī)范

高考數(shù)學的本質(zhì)其實就是解題,因此高考數(shù)學備考的重要任務就是要通過有效訓練提高學生的解題能力.對不同難度的試題要有針對性地訓練,以達到滿意的效果,可以從以下幾個方面著手:

(1)容易題爭取不丟分—規(guī)范表述少跳步.

加強表述的規(guī)范性,準確運用數(shù)學語言,盡量做到容易題不丟分,其中解答題中出現(xiàn)的“跳步”現(xiàn)象是較為普遍存在的丟分原因之一.

(2)中等題爭取少丟分—得分點不能省.

容易題和中檔題是試卷的主要構(gòu)成,是考生得分的主要來源,是高校錄取的主要依據(jù),是進一步解高難題的基礎.要確?；A分、拿下力爭分、不丟零碎分.

(3)難題爭取多拿分—知道一點寫一點.

一道高考題做不出來,不等于一點想法都沒有,不等于所涉及的知識一片空白.尚未成功不等于徹底失敗,應盡量將自己知道的寫出來.例如,涉及到直線與圓錐曲線的位置關系問題,一般只要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消去一個未知數(shù)(如y),然后寫出這個一元二次方程(假如二次項系數(shù)不為零,否則要討論)的判別式和根與系數(shù)的關系,哪怕后面一點都不會解,也已拿到一定的分數(shù).

(4)克服“會而不對,對而不全”的老大難問題.

有些學生不怕難題不得分,就怕每題都扣分,例如在代數(shù)論證中“以圖代證”,盡管解題思路正確甚至很巧妙,但是由于不善于把“圖形語言”準確地轉(zhuǎn)譯為“文字語言”,得分少得可憐.只有重視解題過程的語言表述,“會做”的題才能“得分”.

(5)要正確處理難題與容易題的關系.

近年來高考數(shù)學試題的順序并不完全是按先易后難排列,在答題時要合理安排時間,不要在某個卡住的題上打“持久戰(zhàn)”,那樣既耗費時間又拿不到分,會做的題又被耽誤了,造成“隱性失分”.解答題一般都設置了層次分明的“臺階”,入口寬,入手易,但是深入難,解到底難,因此看似容易的題也會有“咬手”的關卡,看似難做的題也有可得分之處.所以盡量做到中等題少丟分,難題多得分.

4.及時反饋,不斷矯正

“及時反饋”的成效關鍵在于教師如何理解和把握“及時”的內(nèi)涵,復習需要及時,對教學情況的診斷也需要“及時”.及時反饋可以從兩方面進行分析:

(1)教學內(nèi)容的調(diào)節(jié).

雖然教師在備課時會根據(jù)學生的實際情況確定教學目標,精選教學內(nèi)容,但教學過程未必會按照教師的預設順利進行,課堂教學往往會有“突發(fā)事件”或“意外收獲”,這時一般需要對教學內(nèi)容作出適當?shù)恼{(diào)整.

(2)典型錯誤的矯正.

學好數(shù)學必須要做一定量的題目,但反過來做了大量的題,數(shù)學不一定好,究其原因主要是學生沒有明確的解題目標,沒有清晰的解題思路,沒有縝密的解題思維,因此要求學生提高解題的效率,掌握解題的方法,而要做好這些必須從矯正學生的典型錯誤開始.

總之,高考數(shù)學備考是一項系統(tǒng)工程,任何一個環(huán)節(jié)都很重要,而最最關鍵的是將“落實”抓到實處！