廣東省惠州市第一中學(xué)高中部(516007) 李曉波 方德蘭

高中數(shù)學(xué)主干知識包括函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計,這些主干知識構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)試卷的主體.其中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是重中之重,在其它主干中都可以找到它的影子.

今年全國I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題突出重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查,即使近幾年都考過,也不回避,比如函數(shù)的性質(zhì)(包括函數(shù)單調(diào)性,奇偶性,對稱性,周期性等),零點(diǎn)問題,前兩年考了今年照樣考,百考不厭,?？汲Ｐ?！試題從整體角度、系統(tǒng)高度考查學(xué)生的綜合素養(yǎng).事實(shí)上,“函數(shù)”始終貫穿高中數(shù)學(xué)的函數(shù)和方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的教學(xué)主線,可以很好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,計算能力,數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與發(fā)散性,是為高校選拔人才的重要載體.

一.2018年全國I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題評析

(一)理科數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題評析

題目1(全國I卷理科第5題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為( )

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

評析此題比較簡單,考查函數(shù)的性質(zhì)與利用導(dǎo)數(shù)工具求切線方程,充分體現(xiàn)了命題者考基礎(chǔ),考概念的基本思路.

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

評析此題重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的圖像,要求考生掌握數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想,該題參數(shù)的位置決定了試題的難度不大,充分體現(xiàn)了命題者的人文關(guān)懷.

題目3(全國 I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點(diǎn)x1,x2,證明:

評析考慮到是壓軸題,有“把關(guān)”的作用,我們予以重點(diǎn)解析.今年的函數(shù)壓軸題的表述與往年類似,簡明而清新,不在題面上繞來繞去,但要求學(xué)生有較好的函數(shù)基本功.第一問不難,考查含參函數(shù)的單調(diào)性問題.以下對第二問進(jìn)行解法分析.

解法一(化為關(guān)于x2(或x1)的一元函數(shù)不等式問題.)

由(1)知,f(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1.不妨設(shè)x1＜x2,則x2＞1.由于

說明此解法較好的利用x1x2=1條件把二元問題,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式問題,再利用其單調(diào)性進(jìn)行證明.這應(yīng)該是最多考生采用的方法,比較簡潔.也可以把多元問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1的一元不等式問題,后面構(gòu)造函數(shù)時也可以略有不同,其本質(zhì)一樣,就不作為新的解法了.

解法二(利用對數(shù)平均不等式)

由(1)知,f(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1.

不妨設(shè)0＜x1＜x2,則只需證:

說明此方法先證明對數(shù)平均不等式:再利用其進(jìn)行證明原不等式,清新而自然.

解法三(轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元函數(shù)不等式問題)

由 (1)知,當(dāng)a＞2時,有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且注意到,

說明事實(shí)上,因?yàn)閤1,x2是兩個極值點(diǎn),所以它們均可以被a表示,可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元不等式問題,然后利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明.

此題較好的考查了學(xué)生“消元”的思想,構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求最值,從而證得不等式,好題！

(二)文科數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題分析

題目4(全國I卷文科第6題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為( )

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

評析本題與理科第5題完全一致,不再贅述.

題目5(全國I卷文科第12題)設(shè)函數(shù)

則滿足f(x+1)＜f(2x)的x的取值范圍是()

A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)

評析分段函數(shù)是全國卷的寵兒,此題考查學(xué)生的分類討論思想和數(shù)學(xué)結(jié)合思想.事實(shí)上,如果注意到分段函數(shù)中,當(dāng)x＞0時函數(shù)的取值始終是一個常數(shù),甚至可以不動筆而得到答案.

題目6(全國I卷文科第 13題)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,則a=____.

評析本題考查學(xué)生對數(shù)的運(yùn)算,屬于容易題.

題目7(全國 I卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

評析本題延續(xù)全國卷函數(shù)壓軸題表述簡明清新的特點(diǎn),且入手容易,拾級而上.第一問讓多數(shù)學(xué)生有思路并拿到分?jǐn)?shù),第二問是全國卷的典型特色,設(shè)計成以指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))與多項式組合,添加一個可能需要討論的參數(shù),構(gòu)建了一個函數(shù)不等式的證明問題.我們對第二問進(jìn)行解法分析.

解法一(先處理參數(shù))

說明觀察題目可發(fā)現(xiàn),參數(shù)a的范圍是明確的,所以容易想到先把a(bǔ)放縮掉,再證明函數(shù)不等式成立即可.

解法二(“參變分離”)

由于x＞0,ex＞1,當(dāng)要證f(x)≥ 0,只需證設(shè)

說明不等式進(jìn)行“參變分離”后,即轉(zhuǎn)化為求一個不含參的新函數(shù)的最值問題,再把這個最值與a進(jìn)行比較即可.

解法三(利用“經(jīng)典不等式”放縮證明)

說明這可能是此題最簡潔的方法,利用兩個經(jīng)典不等式放縮證明,漂亮！

二.近三年全國I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”考點(diǎn)分析

表1:近三年全國I卷“函數(shù)和導(dǎo)數(shù)”試題考點(diǎn)與分值統(tǒng)計表(理科)

表2:近三年全國I卷“函數(shù)和導(dǎo)數(shù)”試題考點(diǎn)與分值統(tǒng)計表(文科)

通過對近三年全國I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題的分析(詳見考點(diǎn)與分值統(tǒng)計表),可以發(fā)現(xiàn),全國I卷對“函數(shù)和導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容的考查相當(dāng)穩(wěn)定！理科是“一大兩小共22分”,文科是“一大三小共27分”,客觀題考查函數(shù)的圖像、性質(zhì)、零點(diǎn),曲線的切線方程等基本問題,在考基礎(chǔ)、考通性、考通法上試題體現(xiàn)得濃墨重彩,淋漓盡致,呈現(xiàn)出“入手容易、階梯遞進(jìn)、拾級而上”的特點(diǎn),體現(xiàn)了“題在書外、理在書中”的特色.解答題位置固定在第21題,有“把關(guān)、壓軸”之意.近年來難度略有下降,題目采用多問遞進(jìn)的設(shè)問方式,從易到難,區(qū)分度明顯,采分點(diǎn)明確.其命題特點(diǎn)是以冪指對式和含參的二次三項式、含參的分式組成的函數(shù)為載體,常考不等式恒成立時逆求參數(shù)的取值范圍(或最值),或者函數(shù)不等式證明問題.通常需要構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來求最值,從而證得不等式[1].

三.備考建議

1.回歸課本,重視概念

課本是最重要的教學(xué)資源,也是高考命題的源頭,從全國卷的命題特點(diǎn)來看,我們要重視課本,要重視課本中例題與習(xí)題的示范作用,讓學(xué)生能熟練運(yùn)用課本知識解決“基礎(chǔ)題”,養(yǎng)成從課本中基本概念出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣,而不是過度地依賴教輔資料.在高考備考中,我們老師的主要任務(wù)就是讓學(xué)生系統(tǒng)掌握課本知識,形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).[2]

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”[3]概念是解題的出發(fā)點(diǎn)與歸宿,是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是提高解決問題能力的前提,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.但在實(shí)際的教學(xué)中,我們有的老師不講基本概念或者隨便一帶而過,喜歡一味的鉆難題,這可能是與學(xué)生過不去,也是與自己過不去.教師在教學(xué)中,應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情,講清數(shù)學(xué)概念、原理、方法、公式、定理,不是說只做基礎(chǔ)不做難題,而是“磨刀不誤砍柴功”.立足課本,夯實(shí)基礎(chǔ),怎么強(qiáng)調(diào)都不為過！

2.教師精心設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生回歸概念,學(xué)會系統(tǒng)思維

經(jīng)過分析可知,全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題非常穩(wěn)定,不偏不怪,重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查.如2016年,2017年,2018年的全國I卷均考查了函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)單調(diào)性問題,這兩類問題都是一線老師熟悉的基本問題,我們很多學(xué)生花了大量的時間訓(xùn)練,效果即不盡如人意,原因何在?例如,有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題的試題層出不窮,解法千奇百怪.教學(xué)中,如果不加甄別全盤移植,教師只講如何解題,不講回歸,學(xué)生只會程式操練,而不知函數(shù)零點(diǎn)的含義及其表征之間的聯(lián)系,更不會建構(gòu)研究處理函數(shù)零點(diǎn)問題的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),那么就會阻礙學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展,壓縮學(xué)生的探究成長空間,教學(xué)效果大打折扣.

大道至簡、平淡是真,我們的教學(xué)應(yīng)回歸基本概念,讓學(xué)生學(xué)會系統(tǒng)思維.實(shí)際上,函數(shù)零點(diǎn)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容,是函數(shù)、方程、不等式的一個知識交匯點(diǎn),比如,函數(shù)零點(diǎn)的含義與表征,函數(shù)零點(diǎn)的判定與求解,函數(shù)零點(diǎn)的分布與個數(shù)情況的討論,函數(shù)零點(diǎn)在研究函數(shù)、方程、不等式中的應(yīng)用等,都可以歸結(jié)為函數(shù)零點(diǎn)問題.教學(xué)中如果教師能連點(diǎn)成線,由線到面,精心設(shè)計“問題串”[4],引導(dǎo)學(xué)生回歸函數(shù)零點(diǎn)的概念展開系統(tǒng)研究,那么教學(xué)的效果就會大不一樣了.

3.解題教學(xué)中,著重培養(yǎng)分析問題解決問題的能力

高考復(fù)習(xí)的教學(xué)主要是解題教學(xué),樹立正確的解題教學(xué)觀很重要.解題教學(xué)的首要目的是鞏固概念,最終目的是學(xué)會思考,過程中要培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣、發(fā)展分析和解決問題的能力.通過“講解題,不講怎樣解題”“講解法,不講如何想到解法”的方式給學(xué)生灌輸技巧,最后總結(jié)為“解法—技巧”,這既加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),又禁錮學(xué)生的思維,必須徹底糾正！[5]

“函數(shù)”始終貫穿高中數(shù)學(xué),解題教學(xué)就要突出分析問題的過程,充分暴露思路探索過程,充分暴露遇到解題障礙的解決過程,引導(dǎo)學(xué)生對題目信息進(jìn)行加工和挖掘,著重培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.

4.學(xué)生跳出題海,老師跳進(jìn)題海

要適應(yīng)全國卷的命制方式,需要高中的數(shù)學(xué)教學(xué)與備考著眼于讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”,奢望讓學(xué)生在題海中理解數(shù)學(xué),它帶來的后果必將是讓學(xué)生只會依葫蘆畫瓢或生搬硬套.這種缺乏靈活性沒有真正理解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的備考在全國卷“基礎(chǔ)中考理解”的模式下肯定難有成效.[6]題海戰(zhàn)術(shù)出來的學(xué)生,解題“套路”意識很強(qiáng),但是,不少試題你會發(fā)現(xiàn)“套路”“套”不進(jìn)去,甚至走向了“不歸路”.

學(xué)生跳出題海,做老師精選的試題,那么老師為了更好的選題,則應(yīng)該跳進(jìn)題海.給學(xué)生出一道題,老師可能要先做十道題,如果只是看而不做題,沒有切身體驗(yàn),很難使例題典型,講解精彩,并會造成“該講的講不出,不該講的拼命講”.事實(shí)上,決定復(fù)習(xí)效果的關(guān)鍵因素不是題目的數(shù)量,而在于題目的質(zhì)量和處理水平.一道好的題目,本身就蘊(yùn)含了豐富的思想方法,經(jīng)過適當(dāng)變通、聯(lián)想、拓展、延伸,以例及類,探求規(guī)律.老師就可以做到“講一題,復(fù)習(xí)一片”的效果.

5.重視計算能力

這兩年函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題難度有所下降,但平均分仍然非常低,運(yùn)算能力不足是一大原因.如2017年高考的函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題第一問,大部分學(xué)生復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求錯,導(dǎo)致后面根本做不下去.

對于數(shù)學(xué)計算的問題,我們往往有一個誤區(qū),認(rèn)為小學(xué)生才需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計算的能力,而高中生需要掌握的是宏觀思考的能力,不再需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計算的能力.其實(shí)這是有失偏頗的,數(shù)學(xué)計算是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),只要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,就必須強(qiáng)化數(shù)學(xué)計算的能力,尤其在全國卷的背景下,計算難度加大,一旦學(xué)生出現(xiàn)計算出錯,后面的所有過程可能都是錯的或者根本無法進(jìn)行下去.

教師在平時的教學(xué)中,要多引導(dǎo)學(xué)生掌握一些常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧、方法和規(guī)則,可以精選一些計算量相對懸殊較大的題目,用充裕的時間去想去做,并結(jié)合這些實(shí)際題目適時靈活地運(yùn)用概念、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式、合理地使用數(shù)學(xué)思想方法.從而達(dá)到簡化計算、提高計算速度的目的.

6.加強(qiáng)學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)

在平時的教學(xué)中,老師包辦讀題過程和解答、學(xué)生重復(fù)模仿解題的做法比比皆是,學(xué)生失去了自主探究的機(jī)會,這樣的結(jié)果就是,老師很累,效果卻不理想.而且這種備考方法顯然適應(yīng)不了全國卷的以能力立意的命題特點(diǎn).

教育家蘇霍姆林斯基說過:“沒有自我教育,就不是真正的教育.“飯是要親自吃的”,教師應(yīng)積極調(diào)動學(xué)生參與課堂,點(diǎn)燃學(xué)生主動思維的火花,給學(xué)生一定的探究平臺、時間和空間,讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)錯誤,尋找錯因,探究正解,在辨析中明理,在理解中內(nèi)化,在糾錯中升華.這樣,比光聽教師講要深刻的多,效果要好的多.