廣東省佛山市桂華中學(xué)(528200) 王印凡

一、試題及分析

題目1(2018年高考全國I卷文理科第22題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為:y=k|x|+2,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.

分析本題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題,涉及到的知識點有曲線的極坐標(biāo)方程向直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題.在解題的過程中,需要明確極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,以及將曲線相交交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題.第(1)問解法單一,屬于送分的部分.第(2)問因涉及到分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,有一定的難度.

題目2(2018年高考全國I卷文理科第23題)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立,求a的取值范圍.

分析 本題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法,以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立的問題,在解題的過程中,需要用零點分段法將其化為分段函數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決,關(guān)于第(2)問求參數(shù)a的取值范圍時,可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍,去掉一個絕對值符號,之后進(jìn)行分類討論,求得結(jié)果.本題第(2)問對比第22題第(2)問,難度較低.

二、題目1的主要解法

(i)第(1)問解法

解將ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入C2方程ρ2+2ρcosθ-3=0中,得到C2的直角坐標(biāo)方程:x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4.

(ii)第(2)問解法

解法1由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線,記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2有且只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.

當(dāng)l1與C2只有一個公共點時,點C2到l1所在直線的距離為2,所以或k=0.經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)故時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.

當(dāng)l2與C2只有一個公共點時,點C2到l2所在直線的距離為2,所以經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)故k=0或時,l2與C2沒有公共點.綜上,所求C1的方程為

解法2①當(dāng)k=0時,曲線C1的方程為y=2,

圖1

C1與C2有且僅有一個公共點;

②當(dāng)k＞0時,C1與C2無公共點.

③當(dāng)k＜0時,射線y=-kx+2(x≤0)與圓C2有兩個公共點,要滿足C1與C2有且僅有三個公共點,射線y=kx+2(x＞0)必須與C2相切,所以點C2到射線y=kx+2的距離解得或k=0(舍去)綜上,所求C1的方程為

解法3①當(dāng)k=0時,曲線C1的方程為y=2,C1與C2有且僅有一個公共點;

②當(dāng)k＞0時,C1與C2無公共點.

所以Δ=(4k+2)2-4(1+k2)=0,解得或k=0(舍去)綜上,所求C1的方程為

注解法1、解法2、解法3都是將曲線相交交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題來處理,解法2、解法3討論k,利用數(shù)形結(jié)合,直觀易懂,為大多數(shù)學(xué)生解法.

①x=0顯然不是方程(1)的解.

②當(dāng)x＞0時(1)式變?yōu)?/p>

③當(dāng)x＜0時(1)式變?yōu)?/p>

要滿足C1與C2有且僅有三個公共點必須滿足以下條件:方程(2)有兩個不等正根,同時方程(3)有兩個相等負(fù)根;或方程(2)有兩個相等正根,同時方程(3)有兩個不等負(fù)根,即:

解方程組(4)得:無實數(shù)解;或

注解法4是利用一元二次方程根的個數(shù)來求k的值,本解法學(xué)生較難完整列出滿足C1與C2的方程所組成的方程組有三個不等解所必須滿足的所有條件.

解法5①當(dāng)k=0時,曲線C1的方程為y=2,C1與C2有且僅有一個公共點;

②當(dāng)k＞0時,C1與C2無公共點.

③當(dāng)k＜0時,射線y=-kx+2(x≤0)與圓C2有兩個公共點,要滿足C1與C2有且僅有三個公共點,射線y=kx+2(x＞0)必須與C2相切,射線y=kx+2(x＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù),把得:(tcosα+1)2+(2+tsinα)2=4,化簡得t2+(2cosα+4sinα)t+1=0,Δ =(2cosα+4sinα)2-4=0,解得即所以C1的方程為

解法6①當(dāng)k=0時,曲線C1的方程為y=2,C1與C2有且僅有一個公共點;

②當(dāng)k＞0時,C1與C2無公共點.

所以d的最小值解得所以C1的方程為

注解法5、解法6分別利用直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程來解決直線與圓相切問題,解法過于復(fù)雜.2018年高考全國I卷對參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的工具性考查沒得到很好體現(xiàn),但仍需繼續(xù)重視.

三、題目2的主要解法

(i)第(1)問解法

圖2

解法2當(dāng)a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|的圖象如上:由圖象可得,不等式f(x)＞1的解集為

解法3(利用絕對值不等式的幾何意義)略.

注含兩個或以上絕對值不等式問題的常見解法:

(a)解法1利用零點分段法將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式而解之,體現(xiàn)了分類討論思想;(b)解法2利用了函數(shù)的圖象,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.正確畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵;(c)解法3利用了絕對值不等式的幾何意義,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.理解絕對值的幾何意義,給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋是解題關(guān)鍵.

(ii)第(2)問解法

解法1當(dāng)x∈(0,1)時,不等式f(x)＞x成立等價于當(dāng)x∈(0,1)時,|ax-1|＜1成立.所以-1＜ax-1＜1,即0＜ax＜2.因為x＞0,所以a＞0,所以又x＜1,所以即a≤2,綜上,a的取值范圍為(0,2].

解法2當(dāng)x∈(0,1)時,不等式f(x)＞x成立等價于當(dāng)x∈(0,1)時,|ax-1|＜1成立.等價于當(dāng)x∈(0,1)時,(ax-1)2＜1恒成立.等價于當(dāng)x∈(0,1)時,a2x2-2ax＜0恒成立.因為x∈(0,1),所以a2x-2a＜0,顯然a0,從而有即所以所以0＜a≤2,即a的取值范圍為(0,2].

解法3當(dāng)x∈(0,1)時,不等式f(x)＞x成立等價于當(dāng)x∈(0,1)時,|ax-1|＜1成立.等價于當(dāng)x∈(0,1)時,-1＜ax-1＜1恒成立.等價于當(dāng)x∈(0,1)時,恒成立.設(shè)當(dāng)x∈(0,1)時,y∈(2,+∞),所以0＜a≤2,即a的取值范圍為(0,2].

解法4當(dāng)x∈(0,1)時,不等式f(x)＞x成立等價于當(dāng)x∈(0,1)時,|ax-1|＜1成立.若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時,|ax-1|≥1,原不等式無解,若a＞0,由|ax-1|＜1解得所以故0＜a≤2.綜上,a的取值范圍為(0,2].

注解法1、解法2、解法3都是直接利用不等式的性質(zhì)去絕對值,跳過了分類討論這一難點.解法4采用分類討論的方法,難點在于分類的標(biāo)準(zhǔn)不好把握.

有關(guān)考生答卷典型錯誤及原因,請參考本期的另文:劉依舒,劉秀湘.2018年高考數(shù)學(xué)廣東考生試卷分析.中學(xué)數(shù)學(xué)研究[J],2018(9)(上半月).[1]

四、2019年高考數(shù)學(xué)備考建議

1.研究高考,把握高考命題方向

下面表1、表2是近三年全國課標(biāo)卷選做題的考點分布表:

表1:近三年全國課標(biāo)卷“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的考點分布表

表2:近三年全國課標(biāo)卷“不等式選講”的考點分布表

從以上兩表不難看出,全國高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷中選做題考查的方向變化不大,保持了較高的穩(wěn)定性,課標(biāo)I卷的選做題更是如此.“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”試題第一小問考查曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化,第二小問主要考查直線與圓、橢圓等的綜合問題,解題思路相對明確.“不等式選講”試題主要考查含絕對值的不等式的解法,不等式的性質(zhì),由不等式求參數(shù)的取值范圍.

研究高考除了研究高考試題,作為一線教師,我們還要研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》與《考試說明》.《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》與《考試說明》是高考命題的重要依據(jù).研究高考試題也不要局限于近三年,不要局限于課標(biāo)I卷.

2.做好選做題選題指導(dǎo)

從2017年起,全國課標(biāo)I卷的選做題是從選修4-4:《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》和選修4-5:《不等式選講》二個模塊中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.根據(jù)抽樣統(tǒng)計:2017年高考廣東有90%多的考生選做第22題,2018年高考第23題相對第22題難度較小,但廣東仍有近90%的考生選做第22題.究其原因:

(1)從考試內(nèi)容上看,《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第(1)小問大部分考查曲線在直角坐標(biāo)系中的一般方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化,難度低,易得分.而《不等式選講》要求學(xué)生有較強(qiáng)的分類討論能力,這些對中下學(xué)生來講是不易掌握的.

(2)不少中學(xué)教師過于強(qiáng)調(diào)選做第22題,淡化第23題,平時基本上不講評第23題,甚至有部分學(xué)校沒有開設(shè)《不等式選講》這門課程.

相對不等式選講,坐標(biāo)系與參數(shù)方程真的是最容易突破、最容易獲得高分的一道題嗎?答案是否定的.首先,這要看試題的難度,2018年高考全國I卷第22題的難度明顯高于第23題,第22題不僅考查數(shù)形結(jié)合思想,而且要分類討論.根據(jù)抽樣統(tǒng)計:2018年高考全國I卷第22題廣東文理考生獲得8分以上(含8分)占10.8%、滿分10分僅占1.63%,第22題的滿分率還低于第18題(圓錐曲線).其次,各個學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不同,有的學(xué)生擅于學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程,有的學(xué)生擅于學(xué)不等式選講.針對以上情況,筆者建議:(1)除少部分學(xué)生(藝術(shù)生或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特別差的學(xué)生)外,《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》和《不等式選講》這兩本書都要開設(shè)課程.考慮到藝術(shù)生學(xué)習(xí)文化科時間少、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的現(xiàn)狀,建議只學(xué)習(xí)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》.(2)高三第一輪復(fù)習(xí)期間,老師不要過于強(qiáng)調(diào)學(xué)生選做哪題,由學(xué)生根據(jù)自己情況去選題,測試中只選做一題,測試后必須完成另一題的解答.這樣就可以保證學(xué)生對兩類題都熟悉,考試更有保障.(3)高三第二輪復(fù)習(xí)期間,老師可以根據(jù)學(xué)生的情況指導(dǎo)學(xué)生先選哪題,什么時間作答選做題.考慮到選做題的難度接近于第17題,可指導(dǎo)學(xué)生在完成第17題(或填空題)后作答選做題.對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的學(xué)生建議選做坐標(biāo)系與參數(shù)方程.

3.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)科的命題,在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查.全國課標(biāo)卷選做題考查較多的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類與化歸等.

(1)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),有利于達(dá)到優(yōu)化解題的目的.高考突出考査數(shù)形結(jié)合的思想,考查考生將數(shù)量關(guān)系與幾何直觀相互轉(zhuǎn)化的能力.[2]2018年高考全國I卷文理科第22題比較簡單的解法2、解法3就是通過數(shù)形結(jié)合將曲線相交交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對應(yīng)的需要滿足的條件,求得結(jié)果,直觀易懂.2018年全國III卷文理科第23題也是通過數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)a,b的范圍.

(I)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

(II)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,|PA|的最大值與最小值.

本題第(II)問的難點在于P、A都是動點,不少學(xué)生無法寫出|PA|的表達(dá)式,若學(xué)生能畫出示意圖,則很容易看出PA的長度就是點P到直線l的距離的2倍.

圖3

(2)分類與整合的應(yīng)用

分類與整合就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類問題的結(jié)論得到整個問題的解答.高考對分類與整合思想的考查放在了重要的位置,突出考查考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性.[2]同2016年相比,2017年與2018年廣東考生在坐標(biāo)系與參數(shù)方程這一題的得分有所下降,主要原因是試題中出現(xiàn)了含參數(shù)分類討論的問題.“不等式選講”選做題中的解絕對值不等式也是對分類與整合思想的考查.

4.規(guī)范答題格式,養(yǎng)成良好習(xí)慣

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一大綱及試卷明確指出:解答題要寫出文字說明、證明過程或演算步驟.但從今年評卷結(jié)果來看,不少學(xué)生因為第22題第(1)問簡單而省略該有的解題步驟,扣分嚴(yán)重.指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣是教師教學(xué)過程中不可缺少的一個重要環(huán)節(jié).