楊 虹

（黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022）

數(shù)控加工的效率會直接影響到加工企業(yè)的經(jīng)濟效益，因此，在實際生產(chǎn)和生活中提高加工效率具有十分重要的意義。在機械加工中，數(shù)控加工的路徑往往較為復(fù)雜[1]。近年來，帶有參數(shù)的有理形式的Hermite插值樣條引起了不少學(xué)者廣泛的興趣[2]。但這些插值樣條不能精確表示二次曲線和工程上常用的曲線[3]。還有學(xué)者提出了B樣條函數(shù)和NURBS函數(shù)等，這些函數(shù)曲線都較為光滑，但使用時也存在著一些局限性，如求導(dǎo)次數(shù)增加、權(quán)因子選取等[4]。同時它們都無法實現(xiàn)曲線的調(diào)形功能，限制了控制曲線的靈活性[5]。數(shù)控加工中，加工曲面有簡單規(guī)則的曲面，也有復(fù)雜曲面[6]。對于加工曲面簡單規(guī)則時，通?？紤]優(yōu)化螺旋曲線走刀的位點，而無法通過位點獲得優(yōu)化曲線[7]。對于復(fù)雜曲面加工時，對每一條待加工曲線都采用從靜止加速到目標速度，并在該段終點拐角處減速到零的方法，這樣以零速度通過相鄰加工段的拐角來避免對機床形成過大沖擊[8]。然而，現(xiàn)有的三次樣條函數(shù)只能夠?qū)崿F(xiàn)鈍角、直角情況下外輪廓拐角的加工路徑優(yōu)化，還無法實現(xiàn)銳角情況下外輪廓拐角的加工路徑優(yōu)化問題。這些問題嚴重影響了零件加工效率。

本文針對樣條插值函數(shù)曲線靈活性不足的問題，在3次Cardinal樣條插值函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出加入多參數(shù)的3次Cardinal樣條插值曲線的構(gòu)造方法。通過多參數(shù)的調(diào)節(jié)，可以靈活地描述自由曲線。

1 改進3次Cardinal樣條插值函數(shù)

在平面上選取4個控制點，設(shè)點的坐標為Pk=(xk,yk)，k=0,1,2,3。將曲線分為3段，設(shè)第2段的函數(shù)：

是由Pk，Pk+1兩端點及相鄰兩個控制點Pk－1，Pk+2確定的函數(shù)。u為自變量，A，B，C，D為待定系數(shù)。設(shè)在控制點Pk和Pk+1處的切線斜率分別與直線的斜率成正比。4個控制點之間的多參數(shù)Cardinal樣條曲線滿足邊界條件：

對3次樣條函數(shù)（1）式求導(dǎo)，得到：將式（2）中的邊界條件代入式（1）和式（3），得到：

因此，滿足邊界條件（2）的第2段的多參數(shù)Cardinal樣條插值函數(shù)表達式為：

加工工件時，外輪廓轉(zhuǎn)角處插入轉(zhuǎn)接曲線，曲線是由控制點列（p1，p2，p3，p4）生成的多參數(shù)Cardinal樣條插值曲線，p1在平滑處理前的刀具加工段上，p2，p3分別為兩條加工段與轉(zhuǎn)角更接近的點，p4在轉(zhuǎn)角之后的加工段上，此4點構(gòu)成梯形。刀具加工時，要求轉(zhuǎn)接曲線的起始端點向量方向與前一段的運動方向一致，而終止端點向量方向與下一段的運動軌跡相同，從而使得轉(zhuǎn)角運動軌跡具有較好的連續(xù)性，完成對數(shù)控加工路徑拐點的平滑過渡。通過改變參數(shù)的值，來改變轉(zhuǎn)接曲線的幾何形狀。

2 多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)的性質(zhì)

當a，b，c，d相等時，函數(shù)（5）就是一般的Cardinal樣條插值函數(shù)。

當a=c且b=d時，若曲線P(u)是由n－1段3次Cardinal樣條曲線Pi(u)i=1,2,3,…,n－1構(gòu)成的，則P(u)∈C1連續(xù)。

對于第i段曲線Pi(u)有：

對于第i+1段曲線Pi+1(u)有

因此，第i段曲線Pi(u)與第i+1段曲線Pi+1(u)有如下關(guān)系：

故當a=c且b=d時，P(u)∈C1連續(xù)。

當a，b，c，d取任意值時，由多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)的定義可知，采用多參數(shù)的形式來表示3次Cardinal樣條插值曲線，這使得曲線的狀態(tài)與所選擇的坐標系沒有關(guān)聯(lián)，故3次樣條插值曲線具有幾何不變性。同時，每一段多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)曲線只與相鄰的4個控制點有關(guān)，其他控制點的變化不能引起該段多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)曲線的改變。因此，多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)曲線具有一定的局部性。由于多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)中含有多個參數(shù)，因此，當選擇合適的參數(shù)以及4個控制點時，多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)曲線既能方便地表示直線、圓弧等，也可以精確地表示其他自由曲線。由此可知，多參數(shù)3次Cardinal樣條插值函數(shù)曲線具有靈活性。

3 結(jié)語

本文針對樣條插值函數(shù)靈活性的問題，構(gòu)造了多參數(shù)Cardinal樣條插值函數(shù)。當參數(shù)取不同值時，其具有連續(xù)性、靈活性等特點。在控制點不變，增加調(diào)節(jié)參數(shù)的個數(shù)時，顯然插值函數(shù)曲線的靈活性更好。但今后能否找到計算更簡便，在運用更少參數(shù)的同時能夠靈活地描述自由曲線，是十分值得探討的問題。