（石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆石河子市 832001）

引言

函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中一部分重要的內(nèi)容。若當(dāng)自變量x→a（a 為常數(shù)或∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)都趨于零或者無(wú)窮，這時(shí)極限可能存在，也可能不存在，這時(shí)稱這種極限為未定式極限，并分別記為或。 我們通常會(huì)使用洛必達(dá)法則去解決這一類極限。類似地，在解決0·∞、∞?∞、00、1∞、∞0這些類型的未定式極限時(shí)，也可先將其轉(zhuǎn)化成或型未定式，再求其極限.當(dāng)然，在使用洛必達(dá)法則求此類極限時(shí)有一定的使用條件，并且洛必達(dá)法則并不是解決上述類型的極限的最簡(jiǎn)便的方法。本文論述了運(yùn)用洛必達(dá)法則解決型未定式極限時(shí)遇見(jiàn)的若干問(wèn)題，并且簡(jiǎn)述了復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)求極限時(shí)洛必達(dá)法則的使用條件。[1]

1．洛必達(dá)法則

定理1（柯西（Cauchy）中值定理）：函數(shù)f(x)，g(x)滿足：①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)任意x∈(a,b)且g'(x)≠0，則至少有一點(diǎn)ξ∈(a,b)[2]

定理2（洛必達(dá)法則）：函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，滿足：[3]

①當(dāng)x→a 時(shí)，函數(shù)f(x)，g(x)都趨于零；

②在x0的該鄰域內(nèi)，其導(dǎo)數(shù)f'(x)，g'(x)都存在且g'(x)≠0；

證明：洛必達(dá)法則成立時(shí)，我們補(bǔ)充定義f(x0)=g(x0)=0，這樣就使得f 與g 在x0點(diǎn)處連續(xù)。任取x∈U0(x0)，在區(qū)間[x0,x]（或[x, x0]）上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，

3．有些未定式直接使用洛必達(dá)法則求極限會(huì)比較麻煩，可以綜合求極限的其他方法，如等價(jià)無(wú)窮小代換、重要極限、極限運(yùn)算法則等盡可能地先簡(jiǎn)化算式。

解：原式若直接用洛必達(dá)法則解此題比較麻煩，可先利用等價(jià)無(wú)窮小簡(jiǎn)化，再求解。

4．洛必達(dá)法則仍可以解決復(fù)函數(shù)極限問(wèn)題

定理3：若f(z)及g(z)在z0解析，

實(shí)際上，若函數(shù)在z0點(diǎn)處解析，有該函數(shù)在z0的領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo)，

即：

下面從冪級(jí)數(shù)角度來(lái)證明.證明：由函數(shù)f(z)及g(z)均在z0點(diǎn)解析，則在z0點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)f(z)及g(z)可展為：

即

證畢

結(jié)語(yǔ)

1．在使用洛必達(dá)法則求未定式極限問(wèn)題時(shí)，因當(dāng)注意洛必達(dá)法則的使用條件，結(jié)合具體題型，選擇合適的方法。