何宏駿,崔巖,孫觀

(上海工程技術大學機械工程學院,上海 201620)

1 引言

近年來,關于時滯系統(tǒng)的研究成為熱點課題,人們越來越重視理論與實際的聯系.時滯是廣泛存在于社會中且無法避免的一種延遲現象,如通信線路中常常會遇到信號堵塞的問題,經濟學中的察覺時滯,交通運輸中的傳遞擁堵,蒸氣和流體在管道中的流動,電信號在長線上的傳遞等,都有時間延遲.廣泛的時滯現象并不能直接加以研究和控制,必須建立相應的數學模型,轉而研究其帶有時滯項的微分方程.自從1963年Lorenz建立數學模型并提出第一個混沌系統(tǒng)[1]以來,專家學者們進行了大量的理論研究,隨后也相繼提出許多混沌系統(tǒng),Chen系統(tǒng)[2],Lu系統(tǒng)[3],Liu系統(tǒng)[4],Qi系統(tǒng)[5],Chua系統(tǒng)[6]等.目前對于不含時滯的Lorenz系統(tǒng),Chen系統(tǒng)等在圖像加密,保密通信,控制工程等領域都有非常成熟的理論和豐富的實踐.但關于時滯的Chen系統(tǒng)的文獻較少,故本文為后續(xù)進一步研究時滯類Chen系統(tǒng)提供了理論依據.

在圖像加密領域,2013年鄒本娜等[7]根據Lorenz系統(tǒng)的特性,設計了一個針對真彩色圖像的加密算法,通過在電子商務網站實踐,獲得良好的效果.在故障分析領域,2015年許師凱等[8]針對機械系統(tǒng)故障信號弱的問題,提出了一種新的關于Lorenz系統(tǒng)的故障檢測法,并通過轉子沖擊實驗成功驗證了該方法的有效性.在保密通信領域,2013年何建斌等[9]通過研究超混沌Chen系統(tǒng),提出了具有雙重加密效果的分數階超混沌Chen系統(tǒng)的視頻加密通信方法,通過實驗驗證了該方法具有優(yōu)異的加密效果和極強的安全性.2015年郭祖華等[10]提出一種基于Chen系統(tǒng)的新的加密算法,通過實驗得出該算法具有防破解,抗干擾能力強,對加密對象的高適應力等特點.在其他領域中,也有很多成果.2017年楊志宏等[11]研究了導分數階Chen系統(tǒng)的動力學特性并通過多種混合電路成功實現該系統(tǒng).2014年達朝究等[12]成功建立了基于Lorenz系統(tǒng)的數值天氣轉折期預報理論,為天氣預報提供了一種新的理論方法,具有很高的應用價值.

關于時滯系統(tǒng)的研究近幾年才火熱起來,目前大多數文獻是關于Lorenz系統(tǒng)的研究.2014年李德奎等[13]通過分析平衡點的穩(wěn)定性給出了單時滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔條件.2015年王志強等[14]在文獻[13]的基礎上研究了時滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔問題并給出產生極限環(huán)的條件,運用數值仿真驗證結果.2017年李文娟等[15]進一步研究了時滯擾動類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔問題,對一些已有文獻的研究成果進行了推廣.從現有文獻來看,關于時滯的Chen系統(tǒng)的文獻較少,本文將chen系統(tǒng)的第二個非線性方向改為:

從而得到一個新的單時滯類Chen系統(tǒng).以該一類新的單時滯Chen系統(tǒng)為對象,根據文獻[11]中所提出的分析方法,結合規(guī)范型定理和Hopf分岔定理,分析該系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性并給出Hopf分岔的發(fā)生條件.通過多組仿真實驗驗證了理論分析的正確性,為以后單時滯類Chen系統(tǒng)的實際應用提供了理論依據,也為進一步研究雙時滯類Chen系統(tǒng)和時滯擾動類Chen系統(tǒng)鋪設道路.

2 系統(tǒng)分析

本文所研究的單時滯類Chen系統(tǒng)狀態(tài)方程如下:

其中[x,y,z]T∈R為系統(tǒng)(1)的變量a,b,c為系統(tǒng)(1)的參數.由文獻[16]知,當a≥2c時,系統(tǒng)(1)有唯一個平衡點為A(0,0,0),而當a<2c時,有如下兩個關于Z軸對稱平衡點:

2.1 穩(wěn)定性分析

根據規(guī)范型定理結合文獻[15]提出的方法,首先對平衡點A(0,0,0)進行分析.系統(tǒng)(1)在

該點處線性化后可表示為:

系統(tǒng)(2)對應的雅可比矩陣為:

上述雅可比矩陣對應的特征方程為:

其中

引理 2.1 當時滯項τ=0時,系統(tǒng)(1)在平衡點A(0,0,0)處是漸進穩(wěn)定的.

證明 令時滯項τ=0,則由方程(3)有

根據Routh-Hurwitz判據可知,方程(3)所有特征根均有負實部,需滿足以下條件1:

條件 1:當且僅當p1>0,p3+p5<0,p1(p2?p4)+p3+p5.方程(3)所有特征根實部均為負.

將對應參數帶入上述不等式可知,當a≥2c時,系統(tǒng)在平衡點A處漸進穩(wěn)定.故當時滯項τ=0時,系統(tǒng)(1)在平衡點A處是漸進穩(wěn)定的.

2.2 Hopf分岔分析

設時滯項τ>0,則λ=±iω(ω>0)為特征方程的一對純虛根.將其帶入方程(3)中可得

化簡方程(4)后可得如下方程組:

將方程組(5)兩邊平方后相加可得關于ω的一元六次含參方程如下:

引理 2.2方程6至少含一個正的實根.

證明 令x=ω4,則方程(6)可轉化為如下形式:

對以上等式可做如下變化,令

則方程的根的問題轉化為求方程(7)至少有一個正零點.對方程(7)做如下變換:

顯然有

對于

根據條件1可知p3+p5<0,則g(0)<0.故g(x)在(0,+∞)上必有一點x0使得g(x0)=0成立,證畢.

根據以上驗證,設ω0為方程的一個正實根,則根據方程組(5)可得

可得時滯參數τ為:

根據 (8)式可知 (3)式的解為 (ω0,τn),即 λ=±iω(ω>0)為特征方程的一對純虛根.取時滯參數τ=τ0,即為最小時滯參數.下面針對系統(tǒng)在該點處Hopf分岔給出分岔條件,設方程的特征根為

引理2.3若

則

證明 對(3)式兩邊關于時滯τ求導,可得

由(3)式可得

將其帶入(9)式,有

將其特征根λ=±iω(ω>0)帶入上式,有

將其特征根λ=±iω0帶入特征方程中,可得如下等式

又因 e?iωτ=cosωτ?isinωτ且 |e?iωτ|=1,故將上式兩邊取絕對值,可得

根據(10)式-(11)式可得

因為

符號具有一致性,故引理2.3成立.結合 Hopf分岔定理,若g′(ω20)>0,則有如下結論:

a.當τ∈[0,τ0]時,系統(tǒng)(1)在 A(0,0,0)點處是漸進穩(wěn)定的.

b.當 τ>τ0時,系統(tǒng)(1)在A(0,0,0)處有穩(wěn)定的極限環(huán).

c.當τ=τn時,系統(tǒng)(1)在A(0,0,0)處發(fā)生Hopf分岔并產生極限環(huán).

根據以上結論結合 Hopf分岔定理[15]可得,系統(tǒng)Hopf分岔發(fā)生在參數值 τ>τn時發(fā)生Hopf分岔并產生極限環(huán).當τ>τ0時,極限環(huán)仍然穩(wěn)定,即極限環(huán)是在參數大于τn的范圍內存在,根據Hopf分岔定理可知,此時系統(tǒng)發(fā)生的是超臨界Hopf分岔.

3 數值仿真

本節(jié)利用matlab仿真軟件對含時滯項的系統(tǒng)(1)進行數值模擬算例,驗證上一節(jié)中理論分析結果的正確性.根據前文分析取系統(tǒng)參數a=5,b=1,c=1,系統(tǒng)(1)為如下形式:

根據(6)式可得關于ω的方程:ω6+27ω4?349ω2?375=0.解此方程可得唯一正根ω=3.213且 g′(ω20)=527.78>0.根據結論(8)計算可得時滯系數τ=0.2176,上述結論轉化為:當系統(tǒng)參數a=5,b=1,c=1時:

a.當τ∈[0,0.2176]時,系統(tǒng)(1)在A(0,0,0)點處是漸進穩(wěn)定的.

b.當 τ≥0.2176+0.6225nπ(n=0,1,2,···)時,系統(tǒng) (1)在 A(0,0,0)處發(fā)生超臨界 Hopf分岔并產生穩(wěn)定的極限環(huán).

結合上述結論,運用matlab仿真軟件,將數值帶入系統(tǒng)進行仿真,并給出不同時滯項下系統(tǒng)的狀態(tài)相圖,驗證結論正確性.當時滯系數τ=0.21時，系統(tǒng)時間序列圖如圖1所示,可以從圖中觀察到,從積分起始點(1,1,1)到穩(wěn)定僅僅經歷了大約70個積分時間,最后穩(wěn)定于平衡點(0,0,0),此結果說明結論a是正確的.當時滯系數τ=0.22時,系統(tǒng)時間序列圖如圖2所示,由于此時時滯系數已經經過分叉點τ=0.2176,根據結論b,此時已經產生極限環(huán).也不難從圖中觀察到,從積分起始點(1,1,1)開始,大約5個積分時間左右已經進入穩(wěn)定的震蕩,即產生了極限環(huán),并持續(xù)穩(wěn)定在該狀態(tài),結論b得到初步驗證.

圖3為單時滯Chen系統(tǒng)關于時滯參數τ的局部分岔圖,容易從圖中觀察到,τ=0.2176為系統(tǒng)的分岔臨界點.當 τ<0.2176時,單時滯 Chen系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定的,最終趨近于點A(0,0,0).當τ=0.2176時,系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔,產生了穩(wěn)定了極限環(huán).圖3進一步驗證了上述結論的正確性.

為了更加直觀的觀測到各個時滯系數下系統(tǒng)的實際狀態(tài),在圖 4中同時給出了3個不同時滯系數下的系統(tǒng)相圖在xy平面的投影,并用不同線型區(qū)分.從圖 4可以觀測到,時滯系數 τ=0.21時,系統(tǒng)相圖投影為虛線所示區(qū)域,系統(tǒng)從迭代起始點 (1,1,1)逐漸向平衡點(0,0,0)靠近,最終穩(wěn)定在平衡點.而當時滯系數τ=0.22時,系統(tǒng)相圖投影為實線所示區(qū)域,系統(tǒng)從迭代起始點(1,1,1)開始不再向平衡點靠攏,而是產生了極限環(huán),進入震蕩狀態(tài),最終穩(wěn)定在極限環(huán)上.當時滯系數τ=0.25時,系統(tǒng)相圖投影為三角實線所示區(qū)域,此時系統(tǒng)所經歷的過程與τ=0.22類似,唯一不同的就是所產生的極限環(huán)幅值不同.經過多組重復實驗,驗證了當τ≥0.2176時,系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔產生極限環(huán)且穩(wěn)定性不錯,進一步驗證了結論b的正確性.

圖1 時滯系數τ=0.21時系統(tǒng)時間序列

圖3 時滯Chen系統(tǒng)局部分岔圖

圖2 時滯系數τ=0.22時系統(tǒng)時間序列

圖4 時滯系數τ=0.21,0.22,0.25時系統(tǒng)xy平面投影

4 結論

本文以單時滯類Chen系統(tǒng)為對象,針對其平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分岔問題,根據Routh-Hurwitz判據和Hopf分岔定理,通過分析系統(tǒng)在對應平衡點處其線性化系統(tǒng)的根的分布情況,給出了其零平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分岔存在和產生的條件.運用matlab仿真軟件,取一些系統(tǒng)參數對理論分析進行驗證,重復仿真結果表明理論分析的正確性.本文采用文獻[14]中的方法對單時滯類Chen系統(tǒng)進行簡要分析,為時滯類Chen系統(tǒng)在保密通信等領域的應用提供了理論依據.