孫延修,黎虹,潘斌

(1.沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部,遼寧 撫順 113122;2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院,遼寧 撫順 113001)

1 引言

廣義系統(tǒng)廣泛存在于社會生產(chǎn)的各個領(lǐng)域,如:機器人系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡(luò)等.事實上,實際存在的廣義系統(tǒng)往往帶有時滯,如:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)等.隨著計算機的快速發(fā)展及時滯系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用,針對廣義時滯系統(tǒng)的研究具有了一定的積極意義.狀態(tài)反饋是系統(tǒng)控制的一個重要手段,觀測器在控制系統(tǒng)中具有一定的應(yīng)用性.針對系統(tǒng)觀測器的研究,文獻[1-4]中對非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,文獻[5]通過利用反饋增益矩陣對Lipschiz非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,文獻[6]在狀態(tài)變量不完全可獲得時,利用線性矩陣不等式方法針對離散時滯非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,并且將結(jié)果推廣到系統(tǒng)方程含有不確定性的情形,文獻[7-9]中針對具有實際應(yīng)用的時滯系統(tǒng)如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人口動力學(xué)模型以及化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)等進行了描述,文獻[10]通過將帶有非線性項的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為兩步線性矩陣不等式的方法,針對時滯Lipschitz離散非線性系統(tǒng)的全維和降維觀測器進行了設(shè)計,解出了觀測器的兩個增益矩陣并給出觀測器存在的充分條件,從而豐富了時滯系統(tǒng)觀測器設(shè)計與研究的方法.

目前,針對正常系統(tǒng)觀測器的研究已經(jīng)取得了很大發(fā)展,時滯系統(tǒng)具有重要的實際應(yīng)用意義,對時滯系統(tǒng)觀測器的研究也有了一些成果,而針對離散廣義時滯系統(tǒng)觀測器的研究相對較少,可以作為進一步研究的方向.本文基于離散時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計與研究,針對一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)的觀測器進行設(shè)計并給出了觀測器存在的充分條件,最后利用數(shù)值算例驗證了觀測器設(shè)計的可行性.

2 問題描述

考慮如下時滯廣義系統(tǒng):

其中,E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

為常數(shù)矩陣;u∈Rm,y(k)∈Rp分別是系統(tǒng)的狀態(tài),輸入和輸出.

假設(shè) 2.1 系統(tǒng)的非線性項Φ(x(k),x(k?d),u(k)),滿足Lipschitz條件,即有

其中,LΦ為大于0的Lipschitz常數(shù).

定義 2.1 根據(jù)n個采樣周期內(nèi)采樣到的輸入u(k)和輸出y(k),能唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)x(k),則稱系統(tǒng)可觀測.

本文的目標:

(I)當(dāng)系統(tǒng)的非線性項等于零時,根據(jù)假設(shè)2.2系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為:

設(shè)計如下狀態(tài)觀測器:

令e(k)=x(k)??x(k),則由觀測器(3)與系統(tǒng)(2)得到的誤差系統(tǒng)(4)是漸進穩(wěn)定的:

(II)當(dāng)系統(tǒng)存在滿足Lipschitz條件的非線性項時,根據(jù)假設(shè)2.2,系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為:

設(shè)計如下狀態(tài)觀測器:

令e(k)=x(k)??x(k),則由觀測器(6)與系統(tǒng)(5)得到的誤差系統(tǒng)(7)是漸進穩(wěn)定的:

其中

3 主要結(jié)果

根據(jù)線性矩陣不等式的方法,考慮時滯廣義系統(tǒng)的觀測器設(shè)計及誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

定理 3.1 若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式,則(3)式為系統(tǒng)(2)的觀測器:

其中,P,Q為對稱正定矩陣,ˉA=TA?LC,ˉAd=TAd?LdC,?表示對稱矩陣中的對稱部分.

證明設(shè)e(k)=x(k)??x(k),則由系統(tǒng)(2)和觀測器(3)可得誤差系統(tǒng)為:

選取李雅普諾夫函數(shù):

故有

其中

根據(jù)schur補引理,矩陣M1<0等價于定理中的矩陣不等式(8),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,定理得證,即(3)式為系統(tǒng)(2)的觀測器.

定理 3.2 若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式,則(6)式為系統(tǒng)(5)的觀測器:

其中,P,Q為對稱正定矩陣,α,β=∥T∥LΦ為大于零的實數(shù),ˉ

P=P+αβ2I,?表示對稱矩陣中的對稱部分.

證明設(shè)e(k)=x(k)??x(k),則由系統(tǒng)(5)和觀測器(6)可得誤差系統(tǒng)為:

記

選取李雅普諾夫函數(shù):

由于Φ(x(k),x(k?d),u(k))滿足Lipschitz條件,知

故有

其中

根據(jù)schur補引理,矩陣M2<0等價于定理中的矩陣不等式(9),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定定理得證,即(6)式為系統(tǒng)(5)的觀測器.

注 3.1 上述兩個定理中李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造具有一定的相似性,基于定理3.1中李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法,定理3.2考慮到了系統(tǒng)所具有的Lipschitz非線性項選取了類似的李雅普諾夫函數(shù),給出了時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器存在的條件.

4 數(shù)值算例

例 4.1 考慮時滯離散廣義系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下:

系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為(5)式的形式,根據(jù)文獻[10]中針對增益矩陣利用線性矩陣不等式的求解方法可以計算得出觀測器的增益矩陣:

5 結(jié)論

本文主要研究了一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計問題.基于時滯離散廣義系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu),利用線性矩陣不等式的方法分別設(shè)計出了系統(tǒng)在無Lipschitz非線性項條件下的狀態(tài)觀測器以及系統(tǒng)存在Lipschitz非線性項條件下的狀態(tài)觀測器,根據(jù)schur補引理給出了Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器存在的條件,實現(xiàn)了系統(tǒng)與觀測器的誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定并有利于觀測器增益矩陣的求解.最后,數(shù)值算例驗證了非線性時滯廣義系統(tǒng)觀測器設(shè)計方法的可行性.針對帶有外部干擾及不確定性的廣義時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計則可以作為今后進一步研究的方向.