陳華友 ，周禮剛 ，劉金培 ，陶志富

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué) 商學(xué)院,安徽 合肥 230601； 3.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

針對社會、經(jīng)濟(jì)和工程系統(tǒng)中的一些實(shí)際問題，人們經(jīng)常利用一些信息融合的方法把系統(tǒng)中的多源輸入信息變成一個輸出信息，再利用輸出信息來進(jìn)行適當(dāng)?shù)念A(yù)測或決策分析.由于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和外部面臨一個迅速變化的環(huán)境，傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)型信息很難刻畫研究對象的基本特征，人們經(jīng)常用區(qū)間數(shù)據(jù)、三角模糊信息、梯形模糊信息、直覺模糊信息和語言信息等多種不確定的信息形式來表征事物.因此不確定信息環(huán)境下的決策分析方法成為學(xué)術(shù)界研究的一個熱點(diǎn)問題.

多準(zhǔn)則決策(multi-criteria decision making，簡稱MCDM)依據(jù)決策方案個數(shù)是否有限可以劃分為多屬性決策(multi-attribute decision making，簡稱MADM)和多目標(biāo)規(guī)劃(multiple objective programming，簡稱MOP)兩類.多屬性決策問題是根據(jù)各方案的目標(biāo)屬性值，采用某種集成融合的方法，將若干個屬性值轉(zhuǎn)化為該方案的綜合評價值，從而獲得方案的排序結(jié)果，并給出最優(yōu)方案.因此，本質(zhì)上它是考慮具有多個屬性的有限決策方案的排序問題，在投資、生產(chǎn)和服務(wù)等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.論文對近年來發(fā)展起來的幾種不確定信息及其信息集成的算子理論，不確定信息環(huán)境下多屬性決策的賦權(quán)方法和決策技術(shù)，多種偏好關(guān)系一致性的概念、不一致性調(diào)整的算法、偏好關(guān)系的排序方法和共識性模型等問題進(jìn)行了綜述，并對未來的研究方向進(jìn)行了總結(jié)和展望.

1 不確定環(huán)境下的信息融合理論

為了對不確定環(huán)境下的各種信息進(jìn)行有效的融合，信息集成算子相關(guān)理論逐漸引起大家的關(guān)注[1].目前，提出新的集成算子并且討論它們在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，已經(jīng)成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[2-4].集成算子的研究起源于對算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均等各類均值的探索，以及滿足解決實(shí)際問題的需要.最初，人們對集成算子的研究主要考慮實(shí)際問題的需要，提出合適的集成算子來對實(shí)數(shù)值進(jìn)行有效的融合.然而在實(shí)際中經(jīng)常面臨這樣的困難，是由于人們對實(shí)際問題認(rèn)識限制而造成的感知模糊性，且數(shù)據(jù)量過于龐大，變量之間關(guān)系錯綜復(fù)雜，具有很大的不確定性.在這種情況下，采用精確的實(shí)值就會造成信息丟失，或者偏離問題本身的實(shí)際.因此，人們經(jīng)常用區(qū)間數(shù)據(jù)[5]、直覺模糊信息、語言信息等來表示這些不確定的因素.下面從實(shí)值信息融合出發(fā)，考慮到多種不確定信息形式，梳理在不確定信息環(huán)境下，集成算子理論在信息融合領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀.

1.1 實(shí)數(shù)信息集成理論

1988年，Yager[6]為了集成多個實(shí)數(shù)信息提出了有序加權(quán)平均(ordered weighted aggregation，簡稱OWA)算子的概念，該算子將第i個權(quán)重賦予第i大的變量.指出該算子介于“求極大”和“求極小”之間，具有單調(diào)性、冪等性、有界性和置換不變性等特點(diǎn).

Fodor等[7]證明了任何的OWA算子都與Chquet積分是等價的，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合quasi算術(shù)平均定義了Quasi-OWA算子的概念.Torra[8]在OWA算子的基礎(chǔ)上，提出了加權(quán)的OWA(weighted ordered weighting averaging , 簡稱 WOWA)算子的定義，指出WOWA算子結(jié)合了OWA算子和一般的加權(quán)平均的優(yōu)點(diǎn)，并將WOWA算子推廣到了語言變量的情況.Chiclana等[9]在OWA算子的基礎(chǔ)上，結(jié)合幾何平均算子的特點(diǎn)，定義了有序加權(quán)幾何平均(ordered weighted geometric，簡稱OWG)算子.

Yager等[10]根據(jù)OWA算子的性質(zhì)對其進(jìn)行了相應(yīng)的拓展，定義了誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(induced ordered weighted averaging, 簡稱IOWA)算子.該算子根據(jù)誘導(dǎo)變量的大小對被集成信息進(jìn)行排序，然后進(jìn)行加權(quán)集成.陳華友等[11]在調(diào)和平均和OWA算子的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了有序加權(quán)調(diào)和平均(ordered weighted harmonic averaging , 簡稱OWHA)算子的概念.文獻(xiàn)[12]在OWA算子的基礎(chǔ)上結(jié)合廣義平均的概念，提出了一類廣義的OWA(generalized ordered weighted aggregation, 簡稱GOWA)算子[13].該算子在OWA算子的基礎(chǔ)上增加了一個冪控制參數(shù)，并指出取最大算子、取最小算子、OWA、OWG和OWH(ordered weighted harmonic)等都是GOWA算子當(dāng)參數(shù)取不同值的時候的特例.文獻(xiàn)[14]在OWG算子的基礎(chǔ)上提出了誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(induced ordered weighted geometric averaging, 簡稱IOWGA)算子，并構(gòu)建了基于IOWGA算子的組合預(yù)測新方法，指出該方法比傳統(tǒng)的單項(xiàng)預(yù)測具有更高的有效性和預(yù)測精度.

Merigó等[15]在GOWA算子和IOWA算子的基礎(chǔ)上，提出了誘導(dǎo)廣義的有序加權(quán)平均算子.該算子包含了所有的IOWA算子、GOWA算子、IOWG算子和IOWQA(induced ordered weighted quadratic averaging)算子.Yager[16]提出了一種新的冪平均(power averaging, 簡稱PA)算子，該算子允許輸入變量之間相互支撐.Yager[17]則考慮到被集成信息之間的交互影響，介紹了Bonferroni平均算子的相關(guān)工作.文獻(xiàn)[18]提出了廣義power集成算子，并探討其在多屬性決策中的應(yīng)用.

進(jìn)一步，為了對模塊化信息進(jìn)行集成，文獻(xiàn)[19]提出了有序模塊化平均(ordered modular averaging，簡稱OMA)算子的概念.Liu等[20]則將其進(jìn)行拓展，提出了廣義有序模塊化平均(generalized ordered modular averaging，簡稱GOMA)算子的定義.GOMA算子由于控制參數(shù)的加入具有更好的適用性.

另外，基于不同的罰函數(shù)準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[21]提出了廣義有序加權(quán)對數(shù)集成算子的定義，文獻(xiàn)[22]提出了廣義有序加權(quán)比例平均算子，文獻(xiàn)[23]提出了廣義有序加權(quán)指數(shù)比例平均算子，文獻(xiàn)[24]構(gòu)建了廣義有序加權(quán)對數(shù)比例平均算子的概念，文獻(xiàn)[25]提出了廣義有序加權(quán)多重平均算子的定義.此類基于不同罰函數(shù)的信息集成算子具有更清晰的集成目標(biāo)和作用機(jī)理，兼具更好的靈活度，便于在模式識別、多屬性決策等領(lǐng)域進(jìn)行廣泛的應(yīng)用.

1.2 區(qū)間數(shù)據(jù)信息集成理論

對于區(qū)間信息的集成，徐澤水[26]將OWA算子推廣到?jīng)Q策信息為區(qū)間數(shù)的不確定環(huán)境中，提出了不確定有序加權(quán)平均(uncertain ordered weighted averaging,簡稱 UOWA)算子的概念，并給出了相應(yīng)的集結(jié)群決策信息方法.許葉軍等[27]基于區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度公式，提出了不確定有序加權(quán)幾何平均(ordered weighted geometric averaging, 簡稱OWGA)算子的概念，并提出了基于該算子的多屬性決策方法.劉金培等[28]進(jìn)一步在OWH算子的基礎(chǔ)上，提出了不確定組合加權(quán)調(diào)和平均算子的概念.該算子適合對于成本型的指標(biāo)進(jìn)行集成，在此基礎(chǔ)上論文給出該算子在屬性權(quán)重未知，且屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策中的應(yīng)用.

周禮剛等[29]將OWGA算子推廣到了區(qū)間環(huán)境下，并且基于區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度，提出一種組合不確定型OWGA算子，并給出了一種基于組合不確定型OWGA 算子的不確定群決策方法.汪新凡等[30]針對多屬性群決策中，屬性值為正態(tài)分布隨機(jī)變量，且數(shù)據(jù)信息來源為不同時期的情況，給出了正態(tài)分布數(shù)的運(yùn)算法則，并且定義了正態(tài)分布數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子及其動態(tài)的情形.Merigó等[31]提出了不確定誘導(dǎo)quasi有序加權(quán)平均算子，該算子不僅適用于不確定區(qū)間數(shù)的環(huán)境，而且保持了UOWA算子、IOWA算子和quasi-OWA算子的主要特點(diǎn).Zhou等[32]定義了不確定廣義集成算子，探討了算子的性質(zhì)和多種不同表達(dá)形式.

為了對于連續(xù)區(qū)間中所有數(shù)據(jù)信息進(jìn)行集成，Yager[33]對連續(xù)區(qū)間進(jìn)行無限分割，然后利用OWA算子對其進(jìn)行集成，得到了連續(xù)的OWA(continuous ordered weighted averaging,簡稱C-OWA)算子.為了集成兩個或兩個以上的連續(xù)區(qū)間數(shù)，文獻(xiàn)[34]進(jìn)一步將C-OWA算子進(jìn)行改進(jìn)，提出了加權(quán)的C-OWA算子、有序加權(quán)的C-OWA算子以及組合的C-OWA算子.Yager等[35]提出了連續(xù)的有序加權(quán)幾何(continuous ordered weighted geometric averaging,簡稱C-OWG)算子.Wu等[36]在IOWA算子和C-OWG算子的基礎(chǔ)上，提出了誘導(dǎo)連續(xù)有序加權(quán)集成算子.陳華友等[37]為了集成成本型的連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)，在OWH的基礎(chǔ)上，提出連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)調(diào)和平均(continuous ordered weighted harmonic averaging,簡稱C-OWH)算子，證明了算子的單調(diào)性和有界性等特點(diǎn)，且集成多個區(qū)間變量，將其推廣到加權(quán)調(diào)和、有序加權(quán)以及組合的C-OWH算子，探討了這些算子在不確定多屬性群決策中的應(yīng)用.

Zhou等[38]為了進(jìn)一步提高連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)信息集成的適用性和可行性，給出了連續(xù)的廣義有序加權(quán)平均算子的定義，說明了C-OWA算子、C-OWG算子和C-OWH算子都是連續(xù)的廣義有序加權(quán)平均算子的特例.文獻(xiàn)[39]構(gòu)造了基于懲罰的連續(xù)區(qū)間信息集成算子，并探討了算子的幾類特殊情形.Liu等[40]進(jìn)一步提出了連續(xù)Quasi-OWA算子的定義，并將其拓展到對多個連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行集成.

1.3 直覺模糊信息集成理論

Xu[41]在直覺模糊環(huán)境下，提出了直覺模糊加權(quán)幾何平均算子、直覺模糊有序加權(quán)幾何平均算子和直覺模糊混合幾何平均算子，并給出了一種模糊環(huán)境下基于直覺模糊混合幾何平均算子的多屬性決策方法.文獻(xiàn) [42]的研究具有系統(tǒng)性：較系統(tǒng)地研究了直覺模糊信息的集成方式，定義了直覺模糊數(shù)的概念；基于得分函數(shù)和精確函數(shù)，給出了直覺模糊數(shù)的比較和排序方法；提出直覺模糊平均算子、直覺模糊加權(quán)平均算子、直覺模糊有序加權(quán)平均算子等一系列集成算子，詳細(xì)研究了他們的優(yōu)良性質(zhì)，并說明了他們在多屬性決策中的應(yīng)用.為了集成區(qū)間直覺模糊數(shù)，文獻(xiàn) [43-44]定義了區(qū)間直覺模糊數(shù)的一些運(yùn)算法則，并基于這些運(yùn)算法則，給出區(qū)間直覺模糊數(shù)的加權(quán)算術(shù)和加權(quán)幾何集成算子.

考慮到直覺模糊信息之間的交互影響，Xu[45]提出了直覺模糊Power集成算子.進(jìn)而，Zhang[46]給出廣義直覺模糊Power有序加權(quán)幾何平均集成算子的定義，并證明該算子關(guān)于控制參數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的.Xia等[47]在Bonferroni平均算子的基礎(chǔ)上，介紹了廣義直覺模糊Bonferroni平均算子，證明該算子具有單調(diào)性、置換不變性和冪等性.Yu[48]受Heronian平均的啟發(fā)，提出直覺模糊幾何加權(quán)Heronian平均算子.考慮到被集成變量具有不同的優(yōu)先級，Yu等[49]定義了基于優(yōu)先度的直覺模糊集成算子.為了克服傳統(tǒng)實(shí)值直覺模糊集成算子運(yùn)算規(guī)則的缺陷，He等[50]考慮到直覺模糊數(shù)中隸屬度和非隸屬度的交叉影響，定義了直覺模糊幾何交叉影響算子，并驗(yàn)證了該算子在多屬性決策中的有效性.He等[51]提出了一種中性的直覺模糊信息集成的方法，并將其應(yīng)用于多屬性群決策.Zhou等[52]提出了連續(xù)區(qū)間值直覺模糊有序加權(quán)平均算子，來對區(qū)間直覺模糊信息集成集成，并探討了算子的相關(guān)性質(zhì).Tao等[53]在Archimedean-Copula等的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了多種直覺模糊Copula集成算子.該類算子具有較好的代數(shù)性質(zhì).

此外，文獻(xiàn)[54]結(jié)合GOWA算子和余弦相似測度，提出了直覺模糊有序加權(quán)余弦相似測度，并探討了該測度在直覺模糊信息融合過程中的優(yōu)良性質(zhì).文獻(xiàn)[55]進(jìn)一步針對多屬性群決策中的多種直覺模糊信息的集成問題進(jìn)行了討論，取得了良好的效果.

1.4 語言信息融合理論

目前對語言變量進(jìn)行融合主要有以下幾種方式.

一種是將語言變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，比較常見的是將語言標(biāo)度轉(zhuǎn)化為與之相對應(yīng)的三角模糊數(shù)，根據(jù)模糊擴(kuò)展原理進(jìn)行模糊數(shù)的分析與運(yùn)算[56].然而，此種方法在進(jìn)行模糊數(shù)運(yùn)算時，往往進(jìn)一步增加了模糊性.

二是將語言變量直接進(jìn)行運(yùn)算，如文獻(xiàn)[57]定義了語言加權(quán)析取算子、語言加權(quán)合取算子以及語言加權(quán)平均算子.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn) [58]提出語言O(shè)WA算子和語言加權(quán)OWA算子.另外，文獻(xiàn) [59]提出了語言加權(quán)幾何平均算子、語言有序加權(quán)幾何平均算子和語言混合幾何平均算子等不確定語言有序加權(quán)平均算子.

為了避免在語言變量轉(zhuǎn)換和計(jì)算過程中造成的信息丟失.Herrera 等[60]提出了將一般的語言變量轉(zhuǎn)化為二元語義量化算子的方法，然后對二元語義量化算子進(jìn)行計(jì)算分析，這樣就可以有效地避免信息的損失.鞏在武等[61]利用三角模糊數(shù)與二元語義之前的轉(zhuǎn)化方法，研究了基于二元語義的語言判斷矩陣與三角模糊互補(bǔ)判斷矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時給出了一種決策信息同時有語言判斷矩陣、三角模糊互補(bǔ)判斷矩陣形式的集結(jié)方法.Wei[62]在不確定語言加權(quán)幾何平均算子和不確定語言有序加權(quán)幾何平均算子的基礎(chǔ)上，提出了不確定語言混合幾何平均(uncertain linguistic hybrid geometric mean ，簡稱ULHGM)算子的概念，研究了ULHGM的相關(guān)性質(zhì).指出ULHGM算子不僅反映區(qū)間語言變量本身的重要性程度，而且可以反映區(qū)間語言變量所在位置的重要性.給出一種不確定語言環(huán)境下的多屬性群決策方法.劉兮等[63]針對具有語言評價信息的多屬性決策問題，提出了二元語義廣義有序加權(quán)平均算子和二元語義誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均算子.劉金培等[64]考慮到語言變量間的交互影響，提出了二元語義Bonferroni平均算子等定義，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了語言變量的有效融合.

文獻(xiàn)[65]定義了廣義語言有序加權(quán)混合對數(shù)平均算子.文獻(xiàn)[66-67]基于Archimedeant-norm和s-norm，分別定義了新的二元語義運(yùn)算法則和區(qū)間語言信息的運(yùn)算法則，可以克服原有語言運(yùn)算不滿足封閉性的缺點(diǎn).文獻(xiàn)[68]提出了區(qū)間二元語義Bonferroni平均算子的定義.文獻(xiàn)[69]進(jìn)一步對語言信息的熵測度進(jìn)行了定義，并討論了相關(guān)的優(yōu)良性質(zhì).文獻(xiàn)[70]則針對不平衡語言信息，提出了廣義依賴型不平衡語言有序加權(quán)平均算子，該算子可以對不平衡語言信息進(jìn)行有效的融合.

對不確定環(huán)境下信息集成算子理論的發(fā)展趨勢分析可以看出，集成算子經(jīng)歷了一個由確定性到不確定性的發(fā)展過程，且集成算子的形式越來越靈活，隨著一些控制參數(shù)和轉(zhuǎn)換函數(shù)的加入，集成算子變得更具適用性、靈活性和包容性.如GOWA算子就是在OWA算子的基礎(chǔ)上增加了一個冪控制參數(shù)，這樣GOWA算子為人們提供了一類廣義的集成算子，經(jīng)典的OWA算子、OWG算子和OWH都變成它的一個特例，隨著控制參數(shù)的變化，GOWA算子就變得更具靈活性.

當(dāng)然，實(shí)際問題的需要是集成算子發(fā)展的主要推動力量.正是因?yàn)槿藗冊诳茖W(xué)研究和實(shí)踐中遇到很多問題，需要對各種確定的、模糊的或者語言的變量進(jìn)行集成，才促使集成算子理論得到越來越多專家學(xué)者的關(guān)注，因而集成算子理論得到了迅速的發(fā)展.

2 不確定信息環(huán)境下多屬性決策方法

目前，多屬性決策的研究內(nèi)容主要包括屬性(和專家)權(quán)重的確定以及方案的綜合排序兩個方面.下面將從這兩個方面展開討論.

2.1 多屬性賦權(quán)方法

權(quán)重在多屬性決策問題中用于衡量屬性(和專家)在決策過程中的重要性程度，屬性(和專家)越重要，則賦予其越大的權(quán)重，反之則越小.目前依據(jù)權(quán)重的獲取方式不同，可以將賦權(quán)方法劃分為主觀賦權(quán)方法、客觀賦權(quán)方法和組合賦權(quán)方法3類.

2.1.1 主觀賦權(quán)法

主觀賦權(quán)法的發(fā)展歷史較久，但主觀隨意性較大.其確定的過程依賴于決策者的主觀判斷，容易給決策者造成額外的負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致其在應(yīng)用上具有一定的局限性.常見的主觀賦權(quán)法包括語言量值方法[6]、德爾菲法[71]和層次分析法[72](analytic hierarchy process ，簡稱AHP法)等.其中，AHP方法由于融合了決策者的主觀態(tài)度，同時又可以進(jìn)行定量化的分析過程.

2.1.2 客觀賦權(quán)法

針對主觀賦權(quán)方法的不足，依據(jù)不同屬性下各方案對應(yīng)的屬性值的差異，人們提出不同類型的客觀賦權(quán)法.客觀賦權(quán)方法相對于主觀賦權(quán)法具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論依據(jù)，其計(jì)算過程相對復(fù)雜，但是由于其僅從數(shù)據(jù)出發(fā)，容易忽略實(shí)際決策中決策者對于屬性重要性程度的感知.常用的客觀賦權(quán)法包括熵權(quán)法[55,69]、離差最大化方法[65]、主成分分析法[73]、博弈方法[74]和多目標(biāo)規(guī)劃法[67,75]等.客觀賦權(quán)法以實(shí)際數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，可以結(jié)合測度論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等基本理論構(gòu)建基于一定賦權(quán)準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)模型，通過模型的求解來獲得相應(yīng)權(quán)重的結(jié)果.例如：熵權(quán)法和離差最大化原理的賦權(quán)準(zhǔn)則均是從屬性下的決策信息差異越小越不利于做出決策的角度進(jìn)行考慮的；而多目標(biāo)規(guī)劃法也是依據(jù)某種偏差準(zhǔn)則進(jìn)行提前設(shè)定的.

2.1.3 組合賦權(quán)法

為了克服主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法的不足，組合賦權(quán)法認(rèn)為多屬性決策中屬性的權(quán)重應(yīng)為兼顧決策者主觀評價和客觀決策信息的綜合度量.徐澤水等[76]利用一類線性目標(biāo)規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)主觀和客觀兩類權(quán)重的結(jié)合；陳華友[77]應(yīng)用離差最大化原理給出一種組合賦權(quán)方法；李剛等[78]基于級差最大化方法計(jì)算出不同單項(xiàng)賦權(quán)結(jié)果的組合.

組合賦權(quán)法能夠兼顧決策者對于屬性的重要性感知以及決策數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的數(shù)值規(guī)律，因而能夠在利用主觀和客觀賦權(quán)優(yōu)點(diǎn)的同時，還能夠克服各自的不足.與前述信息融合原理相類似，組合賦權(quán)法本質(zhì)上是對由不同主觀和客觀賦權(quán)獲得的多個單項(xiàng)權(quán)重進(jìn)行融合.

2.2 多屬性決策方法

多屬性決策方法的核心在于如何利用獲得的決策信息實(shí)現(xiàn)對決策方案的綜合排序.目前，依據(jù)決策信息類型、決策信息的完整性和信息融合的方法等決策的不同環(huán)節(jié)，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛和深入的研究，取得了大量的研究成果.

2.2.1 考慮決策信息差異的多屬性決策研究

隨著不確定信息表達(dá)方式研究的不斷擴(kuò)展和深入，依托不同類型不確定信息的多屬性決策也得以獲得了廣泛的研究.自模糊決策[79]提出以后，不同類型的不確定多屬性決策相繼被提出，如直覺模糊多屬性決策[50，52，54]、語言多屬性決策[80-85]、猶豫信息和猶豫語言多屬性決策[86-87]、中智集多屬性決策[88]、區(qū)間值信息多屬性決策[68, 83]、Pythagorean模糊多屬性決策[89-90]等.隨著信息表達(dá)形式的逐漸復(fù)雜化，其用于表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活也更為貼切，相應(yīng)地，對不同不確定環(huán)境下的多屬性決策方法進(jìn)行拓展和研究成為當(dāng)前研究的領(lǐng)域之一.

信息的表達(dá)形式是決策信息環(huán)境的表征，與前面幾個模塊的研究相對應(yīng)，不確定信息環(huán)境下的多屬性決策需要對決策信息進(jìn)行融合繼而進(jìn)行綜合排序.相關(guān)研究內(nèi)容歸納如下.

(1) 不確定信息融合理論在多屬性決策中的應(yīng)用

信息融合方法為方案在不同屬性下的屬性值綜合以及進(jìn)一步的比較分析提供了基本的工具.不確定多屬性決策研究中信息融合原理和方法的應(yīng)用最為直接，信息集成算子方法[50，52，65，75]是具有代表性的一類，其中信息的運(yùn)算法則[66-67, 91]與集成算子的表現(xiàn)形式和功能是兩個主要研究內(nèi)容.除此之外，包括貝葉斯方法[92]和證據(jù)推理[93]等在內(nèi)的隨機(jī)類數(shù)據(jù)融合算法和模糊邏輯[94]等人工智能類數(shù)據(jù)融合算法在不確定多屬性決策中均有廣泛的應(yīng)用.

(2) 不確定信息測度理論在多屬性決策中的應(yīng)用

如前面所述，多屬性決策問題中決策信息常見測度包括信息熵測度[69](包括交叉熵)、距離測度[80, 87]和相似性測度[54, 87]等.這些信息測度不僅能夠表征決策信息所蘊(yùn)含的信息量的大小或者不同屬性(決策者)下決策信息的差異性大小，還能進(jìn)一步用于實(shí)現(xiàn)對方案的綜合排序.例如：TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)法[95]通過衡量方案決策信息與正負(fù)理想點(diǎn)之間的距離大小綜合成貼近度指標(biāo)，進(jìn)而通過比較貼近度大小實(shí)現(xiàn)方案排序；ELECTRE(ELimination Et Choix Traduisant la REalité)法[96]利用距離測度構(gòu)造了一類多屬性決策方法，信息熵或者交叉熵測度[69]通過衡量屬性下決策信息的差異大小獲取屬性的權(quán)重；與距離測度相類似，相似性測度[87]也可以通過比較各方案的決策信息與正負(fù)理想點(diǎn)之間的相似性給出一類綜合評價指標(biāo).由于3類測度之間在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)化，因而，它們在多屬性決策過程中的應(yīng)用也具有一定的共性.

(3) 不確定信息排序方法

相對于精確數(shù)而言，不確定信息的大小比較也是不確定多屬性決策問題中的重要研究內(nèi)容之一.比較可能度[97]是不確定信息比較的主要工具，之后不同類型的比較方法相繼得以提出：文獻(xiàn)[98]歸納了區(qū)間數(shù)排序的相關(guān)研究并提出了一類直覺模糊形式的區(qū)間數(shù)排序可能度；文獻(xiàn)[99]和文獻(xiàn)[100]分別給出一類比較猶豫模糊語言術(shù)語集和2型模糊集的比較可能度的概念，并將其應(yīng)用到相應(yīng)的多屬性決策問題中.

2.2.2 考慮基于決策技術(shù)的多屬性決策研究

事實(shí)上，決策方法無疑都是從不同的視角利用決策信息.因而，這里所謂的決策技術(shù)更多地側(cè)重于多屬性決策流程設(shè)計(jì)和不同學(xué)科與多屬性決策的交叉研究等.

首先，Lahdelma等[101]通過引入權(quán)重空間的方法給出一類隨機(jī)多準(zhǔn)則可接受性分析方法，其后續(xù)與其他決策方法的結(jié)合也均得到了具有顯著影響的結(jié)果[102].

其次，多維偏好分析的線性規(guī)劃方法[103]通過決策者對方案的成對比較去估計(jì)權(quán)的值和理想解的位置，給出一類與TOPSIS相區(qū)別的另一類多屬性決策方法，并且在不確定多屬性決策中獲得了推廣[104].

再次，為了反映實(shí)際多屬性決策過程中，不同決策者可能考慮的屬性集的不同，如文獻(xiàn)[55]給出一類廣義的多屬性群決策模型，以期能夠從決策問題本身更貼近實(shí)際的決策過程.由此可以看出，上述成果均是在決策流程或結(jié)構(gòu)上對不確定多屬性決策給出的有益嘗試.

3 不確定環(huán)境下偏好關(guān)系的理論研究

3.1 偏好關(guān)系一致性的概念研究

表1給出了不同偏好關(guān)系的一致性定義、測度和相應(yīng)的文獻(xiàn)來源.

表1 不同偏好關(guān)系的一致性

一致性反映了決策者對準(zhǔn)則或方案的判斷結(jié)果是否具有序傳遞性，因此它是用來對方案進(jìn)行排序的基本保證和前提條件.只有具有滿意一致性或可接受一致性的偏好關(guān)系才可以用來對方案進(jìn)行排序.目前關(guān)于偏好關(guān)系一致性方面的研究主要包括乘性一致性和加性一致性兩種形式.而一致性的定義方法主要有兩個角度：一個是從偏好關(guān)系的元素滿足傳遞性關(guān)系式的角度出發(fā)來定義的，另一個是從偏好關(guān)系對應(yīng)的排序權(quán)重的角度來定義的.

上述研究表明，一些復(fù)雜信息環(huán)境下的偏好關(guān)系一致性研究較少，包括區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系、區(qū)間猶豫模糊偏好關(guān)系、區(qū)間猶豫模糊語言偏好關(guān)系、二型模糊偏好關(guān)系、中智模糊偏好關(guān)系等偏好關(guān)系的一致性定義和測度.另外，對于常見偏好關(guān)系的殘缺信息形式，其一致性測度研究也非常少.

3.2 偏好關(guān)系不一致性的調(diào)整算法研究

對于不滿足一致性的偏好關(guān)系，一般需要對其進(jìn)行調(diào)整，將其調(diào)整為具有滿意一致性或者可接受一致性.而對偏好關(guān)系進(jìn)行一致性調(diào)整時，需要構(gòu)建一個滿足一致性的目標(biāo)偏好關(guān)系，根據(jù)該目標(biāo)偏好關(guān)系與被調(diào)整的偏好關(guān)系之間的偏差測度或者相關(guān)性測度大小對被調(diào)整偏好關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，因此目標(biāo)偏好關(guān)系的構(gòu)造成為偏好關(guān)系一致性調(diào)整的關(guān)鍵.目前關(guān)于目標(biāo)偏好關(guān)系的構(gòu)建方法主要有兩類：一類是根據(jù)待調(diào)整的偏好關(guān)系自身特點(diǎn)利用其元素來構(gòu)造一個一致性目標(biāo)偏好關(guān)系；另一類是通過待調(diào)整偏好關(guān)系的排序權(quán)重來構(gòu)造一個一致性目標(biāo)偏好關(guān)系.

對于第一類方法，很多專家學(xué)者針對不同的偏好關(guān)系進(jìn)行了大量研究：文獻(xiàn)[133]通過構(gòu)造加性偏好關(guān)系的鄰接矩陣定義了目標(biāo)偏好關(guān)系并給出了一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[134]通過定義偏好關(guān)系的Hadamard乘積提出了普通的乘性偏好關(guān)系的目標(biāo)偏好關(guān)系給出了乘性偏好關(guān)系一致性改進(jìn)算法；文獻(xiàn)[135]基于優(yōu)化模型求解一致性乘性偏好關(guān)系和加性偏好關(guān)系；文獻(xiàn)[136]基于對數(shù)偏差距離提出了一種衡量區(qū)間乘性偏好的一致性測度并給出了一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[137]通過區(qū)間加性偏好關(guān)系本身研究了最優(yōu)一致性矩陣和最差一致性矩陣，進(jìn)而給出了一種一致性改進(jìn)算法來調(diào)整區(qū)間加性偏好關(guān)系；文獻(xiàn)[138]利用誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均算子提出了區(qū)間加性偏好關(guān)系的一致度概念，并用來衡量區(qū)間加性偏好關(guān)系的一致性；文獻(xiàn)[139]通過乘性三角模糊偏好關(guān)系元素的3個參數(shù)定義了3個目標(biāo)偏好關(guān)系，并給出了乘性三角模糊偏好關(guān)系一致性的調(diào)整算法；文獻(xiàn)[140]基于梯形模糊偏好關(guān)系乘性一致性的概念構(gòu)造了具有乘性一致性的梯形模糊偏好關(guān)系，并以該偏好關(guān)系為目標(biāo)設(shè)計(jì)了乘性梯形模糊偏好關(guān)系一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[141]通過C-OWG平均算子，模糊集的截集和乘性一致性定義了乘性梯形模糊偏好關(guān)系的一致性，并給出了一致性改進(jìn)算法；文獻(xiàn)[142]基于梯形模糊偏好關(guān)系加性一致性的概念構(gòu)造了具有加性一致性的梯形模糊偏好關(guān)系，并以該偏好關(guān)系為目標(biāo)設(shè)計(jì)了加性梯形模糊偏好關(guān)系一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[143]設(shè)計(jì)了一個算法提出一致性直覺模糊偏好關(guān)系作為目標(biāo)偏好關(guān)系再對直覺模糊偏好關(guān)系進(jìn)行改進(jìn)；文獻(xiàn)[144]提出了一個規(guī)劃模型，通過求解規(guī)劃模型構(gòu)建了一個一致性目標(biāo)直覺模糊偏好關(guān)系然后再對原始偏好關(guān)系進(jìn)行調(diào)整；文獻(xiàn)[145]通過轉(zhuǎn)換函數(shù)構(gòu)造出一致性的直覺模糊目標(biāo)偏好關(guān)系再設(shè)計(jì)偏好關(guān)系一致性調(diào)整算法.基于直覺模糊偏好關(guān)系乘性一致性的概念：文獻(xiàn)[127]構(gòu)造了具有乘性一致性的直覺模糊偏好關(guān)系，然后設(shè)計(jì)直覺模糊偏好關(guān)系一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[128]通過構(gòu)造具有加性一致性的直覺模糊語言偏好關(guān)系，構(gòu)造了直覺模糊語言偏好關(guān)系一致性的調(diào)整算法；文獻(xiàn)[117]考慮決策者本身按照語言偏好關(guān)系中元素的不一致性信息重新定義語言偏好關(guān)系，然后設(shè)計(jì)待調(diào)整的語言偏好關(guān)系一致性改進(jìn)算法；文獻(xiàn)[120]和文獻(xiàn)[122]根據(jù)語言偏好關(guān)系一致性的概念，構(gòu)造了具有一致性的語言偏好關(guān)系，并以該偏好關(guān)系為調(diào)整目標(biāo)設(shè)計(jì)了偏好關(guān)系一致性改進(jìn)算法；文獻(xiàn)[146]通過一個混合0-1規(guī)劃提出了一致性的不平衡語言偏好關(guān)系，然后再設(shè)計(jì)一致性調(diào)整算法；文獻(xiàn)[131]通過一個正態(tài)猶豫模糊語言偏好關(guān)系來討論目標(biāo)偏好關(guān)系，然后設(shè)計(jì)偏好關(guān)系的調(diào)整算法.

對于第二類方法，文獻(xiàn)[147-148]利用乘性偏好關(guān)系的排序權(quán)重定義一致性目標(biāo)偏好關(guān)系矩陣然后構(gòu)造了一個偏好關(guān)系調(diào)整算法；文獻(xiàn)[149-150]利用加性偏好關(guān)系的排序權(quán)重建立了一致性加性偏好關(guān)系再設(shè)計(jì)偏好關(guān)系改進(jìn)算法；文獻(xiàn)[151]利用區(qū)間加性偏好關(guān)系的排序權(quán)重提出了一個非線性規(guī)劃來改進(jìn)原始的偏好關(guān)系；文獻(xiàn)[152]利用群決策共識性測度和貝葉斯分析方法來對單個的乘性偏好關(guān)系進(jìn)行調(diào)整.

上述研究表明，基于現(xiàn)有的各種偏好關(guān)系一致性測度構(gòu)建方法，至少有兩個方面的問題有待深入研究：一方面是針對新型模糊偏好關(guān)系的一致性調(diào)整，包括區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系、猶豫模糊偏好關(guān)系、區(qū)間猶豫模糊偏好關(guān)系、二型模糊偏好關(guān)、中智偏好關(guān)系等多種模糊偏好關(guān)系的一致性調(diào)整；另一方面是針對各種偏好關(guān)系利用排序權(quán)重來構(gòu)建一致性調(diào)整算法，這一方面的研究目前相對較少.

3.3 偏好關(guān)系的排序方法研究

對于不同偏好關(guān)系的排序權(quán)重的求解，均是基于偏好關(guān)系的一致性，從偏好信息與排序權(quán)重的關(guān)系出發(fā)，構(gòu)建不同的優(yōu)化模型，通過求解優(yōu)化模型來求解排序權(quán)重.經(jīng)典的方法有特征向量法、最小偏差法、對數(shù)最小偏差法、卡方法等.文獻(xiàn)[72]給出了乘性偏好關(guān)系排序的特征向量法；文獻(xiàn)[153]根據(jù)乘性偏好關(guān)系和加性偏好關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換公式，從最優(yōu)化角度提出了加性偏好關(guān)系的最小平方法和特征向量法；文獻(xiàn)[154-55]分別從乘性偏好關(guān)系和加性偏好關(guān)系的關(guān)系角度出發(fā)研究了求解偏好關(guān)系排序向量的卡方法和目標(biāo)規(guī)劃法；文獻(xiàn)[156]基于特征向量法和行幾何平均方法，考慮到?jīng)Q策者不同的風(fēng)險態(tài)度，討論了兩種求解區(qū)間乘性偏好關(guān)系的區(qū)間權(quán)重向量的方法；文獻(xiàn)[157]通過分析區(qū)間加性偏好關(guān)系與區(qū)間乘性偏好關(guān)系之間的關(guān)系，給出了一種求解一致性或非一致性區(qū)間加性偏好關(guān)系排序權(quán)重算法；文獻(xiàn)[158]基于相對熵的概念，構(gòu)建了一種最優(yōu)化模型用以求解區(qū)間加性偏好關(guān)系的排序向量；文獻(xiàn)[159-160]分別構(gòu)建了兩個目標(biāo)規(guī)劃模型求解區(qū)間乘性偏好關(guān)系的區(qū)間排序權(quán)重；文獻(xiàn)[161]基于加性三角模糊偏好關(guān)系可能度概念提出了一種排序向量求解方法；文獻(xiàn)[74]基于三角模糊偏好關(guān)系與其排序向量之間的關(guān)系，構(gòu)建了非線性優(yōu)化模型用以求解三角模糊偏好關(guān)系的排序向量；文獻(xiàn)[162]利用C-OWA算子梯形模糊數(shù)的期望值函數(shù)將加性梯形模糊偏好關(guān)系轉(zhuǎn)化為期望值加性偏好關(guān)系然后求解排序權(quán)重；文獻(xiàn)[163]構(gòu)造了一種最小偏差模型用以求解加性梯形模糊偏好關(guān)系的排序向量；文獻(xiàn)[140]構(gòu)造了一種對數(shù)最小二乘模型用以求解乘性梯形模糊偏好關(guān)系的排序向量；文獻(xiàn)[164]討論了一種基于誤差分析的直覺模糊偏好關(guān)系排序算法；文獻(xiàn)[126]引入了一種生成直覺模糊偏好關(guān)系排序權(quán)重的分式規(guī)劃法；文獻(xiàn)[125]提出了一種線性規(guī)劃模型求解直覺模糊偏好關(guān)系的直覺模糊排序權(quán)重；文獻(xiàn)[165]基于區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系一致性的概念，提出了一種對數(shù)最小優(yōu)化模型用以求解區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系的排序向量；文獻(xiàn)[166]研究了改進(jìn)仁慈型語言偏好關(guān)系交叉效率DEA模型，并提出了該模型的區(qū)間加性語言偏好關(guān)系的排序方法；文獻(xiàn)[167]基于乘性偏好關(guān)系與加性偏好關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，針對不完全乘性偏好關(guān)系，研究了基于迭代算法的最小偏差方法用以求解排序向量；文獻(xiàn)[168]構(gòu)建了不完全猶豫模糊偏好關(guān)系的目標(biāo)規(guī)劃模型求解排序向量.

文獻(xiàn)研究表明，偏好關(guān)系排序權(quán)重主要集中于乘性偏好關(guān)系、加性偏好關(guān)系、區(qū)間偏好關(guān)系、三角模糊偏好關(guān)系、梯形模糊偏好關(guān)系、直覺模糊偏好關(guān)系、區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系等偏好關(guān)系，構(gòu)建的模型也大多是常規(guī)優(yōu)化模型，而對于比較復(fù)雜的語言型偏好關(guān)系、猶豫模糊偏好關(guān)系、猶豫模糊語言偏好關(guān)系等偏好關(guān)系的排序研究則較少.

3.4 偏好關(guān)系共識性模型研究

偏好關(guān)系共識性模型研究是解決群體決策問題的重點(diǎn)之一，主要包括共識性測度的構(gòu)建和依據(jù)共識性測度對偏好關(guān)系進(jìn)行共識性調(diào)整，所以其關(guān)鍵是共識性測度的定義方法.目前關(guān)于偏好關(guān)系共識性測度的定義方法主要表現(xiàn)為兩種方式：一種是直接定義單個偏好關(guān)系與群體偏好關(guān)系的偏差測度或者相似性測度，并將其作為共識性測度，其中群體偏好關(guān)系是單個偏好關(guān)系依據(jù)一定的集結(jié)準(zhǔn)則或者信息集成算子的綜合集成方式；另一種是定義群體決策中某單個偏好關(guān)系和另一單個偏好關(guān)系之間的偏差測度或者相關(guān)性測度，再依據(jù)一定的集結(jié)準(zhǔn)則或者信息集成算子進(jìn)行綜合構(gòu)建綜合共識性測度.針對不同的共識性測度，許多學(xué)者提出了大量的共識性調(diào)整算法，表2說明了不同偏好關(guān)系的共識性測度構(gòu)成方式、偏好關(guān)系調(diào)整方式和相應(yīng)的參考文獻(xiàn)，其中CRI1表示給出的共識性測度是按照第一種方式來定義，CRI2表示給出的共識性測度是按照第二種方式定義.

文獻(xiàn)研究表明，共識性模型主要集中于傳統(tǒng)的乘性偏好關(guān)系、加性偏好關(guān)系、區(qū)間偏好關(guān)系、梯形模糊偏好關(guān)系、語言偏好關(guān)系、區(qū)間語言偏好關(guān)系等偏好關(guān)系，新型的二元語義偏好關(guān)系、多粒度非平衡二元語義偏好關(guān)系、直覺模糊偏好關(guān)系、猶豫模糊語言偏好關(guān)系等較為復(fù)雜的偏好關(guān)系研究仍然較為少見.另外，很多共識性模型只討論了共識性測度的構(gòu)建以及相關(guān)性質(zhì)，對于不滿足共識性的偏好關(guān)系未給出相應(yīng)的調(diào)整算法.

表2 基于不同偏好關(guān)系的共識性測度與調(diào)整算法

4 結(jié)束語

通過不確定信息環(huán)境下多屬性決策研究的成果的梳理，未來至少可以在以下幾個方面進(jìn)行更多的有益探索：

(1) 探討多屬性決策問題中屬性或?qū)＜覚?quán)重確定的更加科學(xué)和合理的方法.隨著人們對于實(shí)際經(jīng)濟(jì)和管理決策問題理解的不斷深入，以及大數(shù)據(jù)科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，有望將新興的學(xué)科發(fā)展的新方法拓展到多屬性決策問題中，給出更加符合客觀規(guī)律的賦權(quán)方法.

(2) 考慮基于序關(guān)系的多屬性決策方法.僅僅依賴方案之間的序關(guān)系構(gòu)造相應(yīng)的多屬性決策問題在現(xiàn)實(shí)生活中是常見的，但現(xiàn)有的研究有待進(jìn)一步深入探索,未來尚需進(jìn)一步研究現(xiàn)有多屬性決策信息中所蘊(yùn)含的代數(shù)結(jié)構(gòu).

(3) 探索多學(xué)科交叉在多屬性決策方法中的應(yīng)用.現(xiàn)有的物元分析、集對分析和云計(jì)算等技術(shù)均在多屬性決策分析中得到了應(yīng)用，圖論和博弈理論在多屬性決策分析中應(yīng)用也已見諸報端.將不同學(xué)科的背景與方法融入多屬性決策分析中，以豐富該領(lǐng)域的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)無疑可以進(jìn)一步深入研究.

(4) 構(gòu)建新的偏好關(guān)系一致性測度.將從偏好關(guān)系的乘性一致性和加性一致性兩個方面定義復(fù)雜不確定環(huán)境下的偏好關(guān)系一致性，尚需研究新的一致性測度，包括區(qū)間直覺模糊偏好關(guān)系、區(qū)間猶豫模糊偏好關(guān)系、區(qū)間猶豫模糊語言偏好關(guān)系、二型模糊偏好關(guān)系、中智模糊偏好關(guān)系等偏好關(guān)系的一致性測度.另外，還將研究各種殘缺偏好關(guān)系的一致性測度及其性質(zhì).

(5) 探討偏好關(guān)系不一致性的調(diào)整算法.基于提出的新型的復(fù)雜模糊偏好關(guān)系一致性測度，從偏好信息自身和偏好關(guān)系排序權(quán)重兩個角度出發(fā)，針對不一致的偏好關(guān)系，構(gòu)建偏好關(guān)系一致性調(diào)整算法，重點(diǎn)要探討算法的收斂性和復(fù)雜度.

(6) 探討非常規(guī)的復(fù)雜偏好關(guān)系排序權(quán)重的簡潔方法.一方面，將針對非常規(guī)的復(fù)雜偏好關(guān)系，已經(jīng)有文獻(xiàn)構(gòu)建常規(guī)優(yōu)化模型或者集成準(zhǔn)則來確定偏好關(guān)系排序權(quán)重；但是該方法模型和求解均較復(fù)雜，因此將針對各類復(fù)雜偏好關(guān)系，尚需研究簡潔有效的權(quán)重排序方法.

(7) 構(gòu)建偏好關(guān)系共識性的新測度和調(diào)整算法.將以測度論為基礎(chǔ)，構(gòu)建新型的復(fù)雜偏好關(guān)系的共識性測度，探討其性質(zhì)，分析群體共識和個體共識的關(guān)系，并針對未達(dá)成共識的偏好關(guān)系需要進(jìn)行共識性調(diào)整，設(shè)計(jì)共識性調(diào)整算法，研究算法的收斂性和復(fù)雜度.

(8) 探索廣義集成算子的參數(shù)選取的基本原則和適用范圍.雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)提出新的更加廣義和靈活的集成算子成為發(fā)展的趨勢，但是隨著新算子的提出，也帶來一些附加的問題需要人們?nèi)ミM(jìn)行深入研究.如新算子的相關(guān)參數(shù)該如何取值，相關(guān)聯(lián)的導(dǎo)出函數(shù)如何定義，不確定信息的排序和比較，基本運(yùn)算法則的合理性定義，以及算子的賦權(quán)方法等都有待人們進(jìn)一步探索和分析.