劉思貝，李飛浪，姚文熙，呂征宇

(浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027)

0 引 言

同步磁阻電機(SynRM)是一種完全使用磁阻轉(zhuǎn)矩的同步電機，其定子結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)感應(yīng)電機相同，而轉(zhuǎn)子使用磁芯材料通過特殊工藝制作而成，如采用高導磁材料和非導磁絕緣材料的疊片沿軸向交替高密疊壓而成，使得直交軸的磁阻存在明顯差異，從而產(chǎn)生磁阻性質(zhì)的電磁轉(zhuǎn)矩。相比于感應(yīng)電機，SynRM沒有轉(zhuǎn)子繞組，功率密度和效率更高；相比于永磁同步電機，SynRM沒有永磁體，成本較低，易于弱磁，更能適應(yīng)高速運行[1]。因此，SynRM在傳統(tǒng)的傳動領(lǐng)域和電動汽車驅(qū)動等新型領(lǐng)域都有著良好的應(yīng)用前景。

1971年由BLASEHKE F提出矢量控制，通過矢量變換方法將交流電機模擬成直流電機進行解耦控制[2]。在SynRM中比較常見的方案有兩種：一種是定子磁鏈定向的方案[3]，該方案的缺陷是q軸電流額外受d軸控制電壓的影響，定向不準也會引起擾動；另一種是轉(zhuǎn)子位置定向的方案[4]，該方案下電磁轉(zhuǎn)矩表達式更明確，電流控制轉(zhuǎn)矩輸出更直接。在無速度傳感器控制中，磁鏈觀測器的穩(wěn)定性至關(guān)重要。文獻[5]在離散域設(shè)計觀測器，考慮了延遲的影響，但計算量偏大且只考慮高速情況利用反電動勢進行估算；文獻[6]使用了卡爾曼濾波器避免低速時觀測不準，然而大量使用了電機電感參數(shù)，重要參數(shù)計算繁瑣；文獻[7]使用了鎖相環(huán)的形式在低速區(qū)能獲得更好的觀測結(jié)果，不過需要高頻小信號的注入，在其他工作區(qū)域可能引入高頻噪聲；文獻[8]中的電壓-電流模型實現(xiàn)簡單、計算量小，使用了反饋避免純積分環(huán)節(jié)，卻缺少相應(yīng)的穩(wěn)定性分析。

本文詳述SynRM電機的建模和控制器的設(shè)計，分析基于轉(zhuǎn)子位置定向的矢量控制方案，設(shè)計磁鏈觀測器，進行仿真和實驗，以驗證控制方案的合理性以及觀測器不穩(wěn)定區(qū)間的正確性。

1 SynRM工作原理

SynRM的定子繞組與傳統(tǒng)電機相同[9]，因此，靜止坐標系下的定子電壓方程可以表示為：

usαβ=Rsisαβ+pψsαβ

(1)

式中：usαβ,isαβ—靜止坐標系下的定子電壓、電流矢量；ψsαβ—定子磁鏈矢量；Rs—定子電阻。

SynRM的磁鏈全部由定子電流產(chǎn)生，磁鏈方程如下：

ψsαβ=Lαβisαβ

(2)

式中：Lαβ—定子電感矩陣，包括自感和互感。

由于磁阻特性，電感值會隨轉(zhuǎn)子位置的變化而變化，磁鏈矢量與電流矢量并不是簡單的線性關(guān)系，磁鏈矢量與電流矢量之間存在夾角，產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。SynRM的轉(zhuǎn)矩方程與運動方程如下：

(3)

(4)

式中：np—電機極對數(shù)；Te—電磁轉(zhuǎn)矩；TL—負載轉(zhuǎn)矩；ωr—電機機械角頻率。

靜止坐標系下，電機的電氣變量是時變量，為了分析方便，本研究采用旋轉(zhuǎn)坐標系。該電機轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)存在兩個對稱軸，兩軸的磁阻差產(chǎn)生了磁阻轉(zhuǎn)矩作為主要的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。以磁導較大的軸，即轉(zhuǎn)子位置軸，作為旋轉(zhuǎn)坐標系的d軸，另一個為q軸。旋轉(zhuǎn)坐標系下，電機模型方程(1～3)分別轉(zhuǎn)變成如下方程：

usdq=Rsisdq+ωejψsdq+pψsdq

(5)

ψsdq=Ldqisdq

(6)

(7)

式中：j—單位旋轉(zhuǎn)矩陣；ωe—同步角頻率；dq—該變量在旋轉(zhuǎn)坐標系下的下標。

此時，在穩(wěn)態(tài)情況下，各變量都將保持不變，電感值也不再隨位置而變化；并且轉(zhuǎn)矩與電流的關(guān)系比較簡單，容易通過電流實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩的控制。

SynRM穩(wěn)態(tài)運行狀態(tài)下坐標系如圖1所示。

圖1 SynRM的矢量圖

圖1中，dq旋轉(zhuǎn)坐標系，其d軸與轉(zhuǎn)子凸極軸線重合，q軸沿旋轉(zhuǎn)方向超前d軸90°；αβ靜止坐標系，其α軸與A相相軸重合；xy是與定子磁鏈ψs同步的旋轉(zhuǎn)坐標系，其x軸沿定子磁鏈矢量的方向。θr和θs分別為轉(zhuǎn)子位置角和定子磁鏈角，δ和γ分別為轉(zhuǎn)矩角和電流角。

其中，ψs可根據(jù)磁鏈觀測器得到。在靜止坐標系下，定義一個矢量ψa如下[10]：

ψa=ψs-Lqis

(8)

矢量ψa的方向恰好與旋轉(zhuǎn)坐標系d軸重合，根據(jù)式(8)可確定d軸方向，實現(xiàn)無速度傳感器控制。

2 轉(zhuǎn)子位置定向的矢量控制方案

基于以上分析，本文設(shè)計了轉(zhuǎn)子位置定向的SynRM矢量控制方案，控制框圖如圖2所示。

圖2 SynRM矢量控制框圖

其基本原理是：通過轉(zhuǎn)速控制獲得轉(zhuǎn)矩給定Tref，Tref經(jīng)過電流分配轉(zhuǎn)成dq軸電流給定，再采用電流控制實現(xiàn)SynRM的矢量控制策略；利用定子電壓和電流值觀測電機的磁鏈值，計算轉(zhuǎn)子位置和速度。

根據(jù)一定的原則分配d軸和q軸參考電流，常用的是最大轉(zhuǎn)矩/電流比(MTPA)。式(7)可以重寫如下：

(9)

式中：γ—電流矢量is與轉(zhuǎn)子位置d軸的角度；Is—電流矢量is幅值，γ=45°時，即為MTPA控制。

2.1 電流控制設(shè)計

SynRM的電流控制通過三相VSI來實現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)坐標系下，dq軸的電流控制并不解耦，將式(6)代入式(5)可得電機定子電壓與電流之間的關(guān)系：

(10)

設(shè)計具有解耦功能電流控制環(huán)節(jié)如圖3所示。

圖3 電流控制環(huán)節(jié)

以d軸為例，解耦之后的控制框圖如圖4所示。

圖4 離散化d軸電流控制模型

圖4中：ZOH為零階保持器，等效PWM調(diào)制環(huán)節(jié)，Ts為控制系統(tǒng)采樣頻率，電機模型為一階系統(tǒng)，即：

(11)

采用的控制為PI調(diào)節(jié)，即：

(12)

用零極點對消原理設(shè)置電流環(huán)PI的參數(shù)：

(13)

kp_c=Ldωc

(14)

式中：ωc—設(shè)置的電流環(huán)開環(huán)穿越頻率。

圖4中的零階保持器可以采用半個采樣周期的延遲環(huán)節(jié)來等效，結(jié)合控制引入的一個采樣周期延時，系統(tǒng)共存在3/2個采樣周期的延時，由此對于1階系統(tǒng)，可以計算電流環(huán)的相位裕度為：

(15)

2.2 速度控制設(shè)計

圖5 速度控制環(huán)

虛線框所示的電流環(huán)在相對低速的轉(zhuǎn)速環(huán)內(nèi)，可視作增益1。

電流與轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)為：

(16)

采用的控制為PI調(diào)節(jié)，其形式為：

(17)

為了減小非線性因素對轉(zhuǎn)速估算的影響，需要在回路加入濾波器GLPF。通常設(shè)置ωLPF=50 π rad/s，為了滿足轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)穿越頻率ωc2<ωLPF，并且給系統(tǒng)留有足夠的相位裕量，設(shè)置ωc2=ωLPF/5。在這種情況下，需要積分系數(shù)zi_s足夠小，即：

(18)

(19)

3 同步磁阻電機磁鏈觀測器設(shè)計

在無位置傳感器矢量控制系統(tǒng)中，磁鏈觀測至關(guān)重要，通過磁鏈值可以進一步得到電機轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子位置等信息，因此需要設(shè)計穩(wěn)定的觀測器。

3.1 基于電壓電流模型的磁鏈觀測器

圖6 電壓電流模型磁鏈觀測器

為了進行小信號分析，統(tǒng)一到真實dq坐標系下，表述如下：

(20)

式中：kob—電壓、電流模型切換轉(zhuǎn)折頻率；b=jωe+p。

電流模型是建立在估算dq坐標系下，因此，需要考慮到估算與真實坐標系存在誤差的情況，即考慮坐標變換，其表達式如下：

(21)

(22)

(23)

對式(20)取小信號可以得到：

(24)

(25)

其中，一些矩陣運算如下：

對式(23)取小信號，其誤差近似為：

(26)

結(jié)合式(24～26)，可以得到如下狀態(tài)方程：

(27)

因此，特征方程為：

(28)

可見，觀測器的穩(wěn)定性需滿足：

(29)

當電機輸出驅(qū)動轉(zhuǎn)矩時，kob(isq/isd)>0。因此在角頻率范圍：-kob(isq/isd)<ωe<0內(nèi)，觀測器不能穩(wěn)定，以至于系統(tǒng)可能運轉(zhuǎn)不正確。

當觀測器穩(wěn)定時，可對式(23)進行微分運算，估算系統(tǒng)角頻率，進而得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速。

3.2 考慮速度估算的全階觀測器

通過電機的狀態(tài)方程，可以構(gòu)建經(jīng)典的Luenberger觀測器。定向的關(guān)鍵是式中所對應(yīng)的磁鏈，文獻[12]提出一種直接觀測該磁鏈的方案。該方案避免了使用飽和程度較大的Ld，只使用Lq，可認為Lq在一定范圍內(nèi)恒定，靜止坐標系下有：

us=(Rs+pLq)is+pψa

(30)

式中：ψa方向與d軸重合，從式知其大?。?/p>

|ψa|=(Ld-Lq)isd

(31)

由于isd可由電流環(huán)迅速調(diào)節(jié)，可忽略ψa的幅值變化。利用系統(tǒng)可測量的電流值作為反饋，整理可以得到靜止坐標系下的全階觀測器：

(32)

如果反饋矩陣G為零，系統(tǒng)存在一對共軛閉環(huán)極點γ1,2=±jωe和實軸上極點γ3,4=±Rs/Lq，那么系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)，應(yīng)當合理配置反饋矩陣G。

當利用角度微分估算系統(tǒng)角頻率時，系統(tǒng)的階數(shù)將由四階A上升到五階A′。假設(shè)反饋矩陣不變，將式(32)統(tǒng)一到dq旋轉(zhuǎn)坐標系下，建立小信號模型：

(33)

角頻率的小信號可以由角度的微分得到：

(34)

(35)

首先配置G矩陣各項系數(shù)，使A系統(tǒng)的閉環(huán)極點在實軸-100、-50處。顯然A′形式過于復雜，其元素還包含穩(wěn)態(tài)工作點的電流isd、isq角頻率ωe值。

利用Matlab求解A′系統(tǒng)空載時不同工作點的閉環(huán)極點。小信號極點變化趨勢圖如圖7所示。

圖7 A′系統(tǒng)小信號極點變化趨勢圖

本研究建議使用自適應(yīng)MARS模型構(gòu)造更穩(wěn)定的估算系統(tǒng)，但全階觀測器計算量大，也不建議使用電流觀測值進行系統(tǒng)控制，需酌情考慮應(yīng)用場合。

4 仿真驗證

為了驗證上述控制方案，本研究建立了基于Matlab的仿真模型。模型中采用的磁鏈觀測器形式如上所述電壓電流模型，使用的基本參數(shù)如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

仿真時，設(shè)定直流側(cè)母線電壓Udc=540 V，逆變器開關(guān)頻率、電流采樣頻率均為6 kHz。電流環(huán)穿越頻率ωc=600 π rad/s，轉(zhuǎn)速環(huán)穿越頻率ωc2=10 π rad/s。

系統(tǒng)負載切換和轉(zhuǎn)速切換仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 加速、加載仿真波形

系統(tǒng)首先以3 rad/s角速度、0.7 N·m負載啟動，經(jīng)歷兩次20 rad/s階躍加速后滿載14 N·m，再以40 rad/s階躍加速兩次，電機最終達到約123 rad/s機械角速度。每幅圖中都包含了實際值和觀測值，其重合度較高，可見系統(tǒng)具有良好的觀測、控制性能。

系統(tǒng)低速反轉(zhuǎn)模式的仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 低速反轉(zhuǎn)不穩(wěn)定仿真

在滿載14 N·m穩(wěn)定運行一段時間后，本研究設(shè)置給定角速度為40 rad/s，0，-40 rad/s和-20 rad/s。仿真發(fā)現(xiàn)當速度設(shè)置為-20 rad/s時，系統(tǒng)離開式所述的穩(wěn)定區(qū)域，仿真結(jié)果發(fā)散，系統(tǒng)不能穩(wěn)定，由此驗證了前文對于觀測器穩(wěn)定性的分析。

5 實驗及結(jié)果分析

搭建矢量控制的電機實驗平臺，系統(tǒng)觀測器仍然選用電壓電流模型。實驗平臺如圖10所示。

圖10 實驗平臺

實驗平臺包含逆變器、dSpace1103 PPC board和SynRM負載電機。實驗采樣、控制周期Ts=1/6 000 s。實驗電機的參數(shù)與表1基本一致。

系統(tǒng)半載加速實驗的結(jié)果如圖11所示。

圖11 半載加速實驗結(jié)果

電機負載7 N·m，以轉(zhuǎn)速300 r/min穩(wěn)定運行后，系統(tǒng)參考轉(zhuǎn)速給到1 200 r/min時，電機經(jīng)加速后最終達到穩(wěn)態(tài)。由于設(shè)置了斜坡給定，限制最大加速度，電機的加速過程也是斜坡形式，電機最終能穩(wěn)定運行在給定轉(zhuǎn)速，且系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程良好，實現(xiàn)了無速度傳感器的矢量控制方案。

系統(tǒng)低速反轉(zhuǎn)不穩(wěn)定的實驗結(jié)果如圖12所示。

圖12 低速反轉(zhuǎn)不穩(wěn)定實驗結(jié)果

初始時刻，系統(tǒng)空載時可低速反轉(zhuǎn)運行；加載時刻，輸出電流增大，系統(tǒng)離開式(29)的穩(wěn)定區(qū)域，磁鏈估算器不穩(wěn)定，直接影響轉(zhuǎn)速環(huán)、q軸電流，使其發(fā)生振蕩。為了防止系統(tǒng)跑飛，只設(shè)定輕載2 N·m運行并限制最大反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，因此系統(tǒng)發(fā)散速度相對較慢，在3 s之后，其振蕩幅度接近恒定。而圖9中仿真是滿載的情況，其發(fā)散速度會快一些，且振蕩幅度偏大。

6 結(jié)束語

(1)本文根據(jù)同步磁阻電機數(shù)學模型，詳述了其基于轉(zhuǎn)子位置定向的矢量控制方案，給出了一套雙環(huán)控制器參數(shù)設(shè)計的標準流程；為實現(xiàn)無速度傳感器控制，設(shè)計了磁鏈觀測器，著重分析了電壓電流模型磁鏈觀測器的穩(wěn)定性，數(shù)學推導出了固有的不穩(wěn)定區(qū)間；

(2)利用Matlab/Simulink建立了系統(tǒng)仿真模型，仿真實現(xiàn)了無速度傳感器矢量控制，并且表明了不穩(wěn)定區(qū)間的存在性；搭建了基于dSPACE半實物仿真的實驗平臺，實現(xiàn)了上述控制方案，在正轉(zhuǎn)區(qū)電機系統(tǒng)可實現(xiàn)調(diào)速、調(diào)功率；在反轉(zhuǎn)區(qū)觀測器存在不穩(wěn)定區(qū)間，影響系統(tǒng)正常工作。

實驗結(jié)果表明：在低速反轉(zhuǎn)區(qū)使用電壓-電流模型存在缺陷，證明了理論分析的正確性。