馮亮友，梁志鵬，席文明

(廈門大學航空航天學院，福建廈門361005)

與計算機數(shù)控(CNC)加工裝備封閉式體系結(jié)構(gòu)不同，機器人體系結(jié)構(gòu)具有開放性，能夠與不同對象集成而形成加工系統(tǒng)，實現(xiàn)對大尺寸雕塑、復雜曲面零件、飛機組裝中的鉚釘孔等的加工[1-5]，彌補CNC加工裝備體系結(jié)構(gòu)的不足，降低加工成本.為了提高產(chǎn)品加工精度以及編程效率，降低裝備的操控和使用難度，機器人加工裝備需要采用計算機輔助設計/計算機輔助制造(CAD/CAM)數(shù)字化系統(tǒng)產(chǎn)生加工軌跡[6-9].

采用CAD/CAM數(shù)字化系統(tǒng)產(chǎn)生機器人加工軌跡時，形成2個不同的空間，即機器人軌跡生成的CAM空間和機器人進行加工的作業(yè)空間.當機器人和加工對象集成后，在CAM空間中，加工對象模型與機器人模型之間的轉(zhuǎn)換矩陣不同于作業(yè)空間中二者的轉(zhuǎn)換矩陣.當加工對象模型上的軌跡點由CAM空間映射到作業(yè)空間時，由于2個空間中對應的轉(zhuǎn)換矩陣不同而導致軌跡偏差，即CAM空間產(chǎn)生的軌跡不會正確地映射到加工對象上，該軌跡偏差最終形成機器人的加工誤差.提高軌跡精度的方法是建立CAM空間與作業(yè)空間的映射一致性，即保持2個空間的轉(zhuǎn)換矩陣一致.

現(xiàn)有研究更多地集中在機器人內(nèi)參數(shù)的標定中[10-13]，即幾何參數(shù)標定.對機器人加工裝備的外參數(shù)，即CAM空間與作業(yè)空間的映射一致性建立，關(guān)注并不多.現(xiàn)有建立映射一致性的方法一般首先建立作業(yè)空間中各對象之間的轉(zhuǎn)換矩陣模型；其次利用測量儀器測量各自對象上的特征點，并利用優(yōu)化算法提高特征點的測量精度[14-17]；再次利用測量的特征點計算各個對象之間轉(zhuǎn)換矩陣中的元素；最后，利用計算的轉(zhuǎn)換矩陣調(diào)整CAM空間中對應對象的CAD模型位姿，實現(xiàn)2個空間對應轉(zhuǎn)換矩陣的一致性.上述建立映射一致性方法中，測量儀器測量的特征點無法與各個對象的物理坐標系直接關(guān)聯(lián)，特別是無法與機器人基坐標系直接關(guān)聯(lián)，導致建立映射一致性的過程復雜，求取的轉(zhuǎn)換矩陣精度不足.Wei等[14]為了實現(xiàn)測量的特征點與機器人基坐標系之間的關(guān)聯(lián)，通過測量旋轉(zhuǎn)機器人的第一軸上的特征點，利用旋轉(zhuǎn)后特征點擬合的圓，確定第一軸的軸線，從而確定機器人的基坐標系.

本研究直接利用加工裝備中的機器人測量加工對象上的特征點，求其位姿，獲得加工對象與加工對象模型間的位姿誤差，并利用該誤差調(diào)整加工對象模型的位姿.通過CAM空間機器人運行軌跡點并檢測軌跡精度，確定調(diào)整位姿誤差后的加工對象模型位姿是否與加工對象位姿保持一致.重復測量特征點并檢測軌跡精度，實現(xiàn)加工對象模型位姿的遞歸調(diào)整，提高CAM空間與作業(yè)空間映射一致性建立的精度.

1 映射一致性

圖1中，CAM空間的機器人模型、工作臺模型和刀具模型的坐標系分別為∑xbybzb、∑xnynzn和∑xtytzt. 作業(yè)空間的機器人、工作臺和刀具的坐標系分別為∑XBYBZB、∑XNYNZN和∑XTYTZT.JT1是機器人模型與工作臺模型的轉(zhuǎn)換矩陣，JT2為機器人模型與刀具模型之間的轉(zhuǎn)換矩陣，JT3是機器人模型末端第六軸坐標系到刀具模型坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣.作業(yè)空間中，J1是機器人與工作臺之間的轉(zhuǎn)換矩陣，J2是機器人與刀具之間的轉(zhuǎn)換矩陣，J3是機器人末端第六軸坐標系到刀具坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣.

圖1 CAM空間與作業(yè)空間的坐標系系統(tǒng)Fig.1 Coordinate system of CAM space and work space

要建立CAM空間與作業(yè)空間的映射一致性，就是要保持兩個空間中對應轉(zhuǎn)換矩陣一致，即需要建立以下的關(guān)系

(1)

其中，J1、J2、J3、JT1、JT2、JT3為4×4的轉(zhuǎn)換矩陣.假設開始標定前，CAM空間中工作臺模型坐標系與機器人模型坐標系重合，作業(yè)空間中工作臺坐標系與機器人坐標系重合，則

(2)

其中JT0和J0分別為開始標定時CAM空間與作業(yè)空間中機器人與工作臺之間的轉(zhuǎn)換矩陣.然而，在工作臺實際安裝時，并不與機器人坐標系重合，即J0和J1不相等，假設作業(yè)空間中機器人坐標系依次繞Z、Y和X軸旋轉(zhuǎn)γ、β和α角，再依次沿X、Y、Z軸平移pX、pY、pZ距離得到工作臺坐標系，則

J1=J0·R(Z,γ)·R(Y,β)·R(X,α)·T(X,px)·T(Y,py)·T(Z,pz)，

(3)

其中，R(Z,γ)·R(Y,β)·R(X,α)是繞Z、Y、X軸旋轉(zhuǎn)α、β、γ角度的4×4階位姿坐標轉(zhuǎn)換矩陣，T(X,px)、T(Y,py)、T(Z,pz)是沿X、Y、Z軸平移px、py、pz距離的4×4階位姿坐標轉(zhuǎn)換矩陣.

欲使CAM空間中工作臺模型的位姿與作業(yè)空間中的工作臺位姿一致，需要對工作臺模型的初始坐標系進行旋轉(zhuǎn)和平移.將式(1)和(2)代入式(3)得

JT1=JT0·R(Z,γ)·R(Y,β)·

R(X,α)·T(X,px)·T(Y,py)·T(Z,pz).

(4)

式(4)表明，只要在CAM空間中實現(xiàn)與作業(yè)空間中的相同變換，就可以建立2個空間的映射一致性.本質(zhì)上，CAM空間和作業(yè)空間中的同一對象具有位姿調(diào)整的可互換性.當工作臺安裝到作業(yè)空間中時，只要測得工作臺相對機器人的轉(zhuǎn)換矩陣，就可以利用該矩陣調(diào)整工作臺模型相對機器人模型的位姿.相反，也可以通過測量工作臺模型與機器人模型之間的轉(zhuǎn)換矩陣，然后利用該矩陣調(diào)整作業(yè)空間中的工作臺位姿.與調(diào)整模型相比，調(diào)整實際對象要困難得多，也無法保證映射一致性建立的精度.由于2個空間中的對象位姿調(diào)整具有互換性，下文中，將利用對象模型與對象的位姿誤差表示對象模型的位姿誤差.

對于機器人末端的刀具，由于存在電主軸連接塊的制造和安裝誤差以及刀具的安裝誤差，使得J3不等于JT3，導致刀具末端的工具中心點(tool center point，TCP)坐標系產(chǎn)生偏移.在變姿態(tài)加工時，不精確的TCP將產(chǎn)生軌跡誤差.由于刀具安裝在機器人末端，無法直接利用機器人測量J3轉(zhuǎn)換矩陣.在測量J1時，首先在機器人末端安裝標定探針，以機器人為基準，標定工作臺的位姿.然后，再在機器人末端安裝刀具，以標定后的工作臺為第二基準，測量機器人第六軸坐標系與刀具坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣J3，即

(5)

T(X,px1)·T(Y,py1)·T(Z,pz1)，

(6)

其中，R(X,α1)、R(Y,β1)、R(Z,γ1)是繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)α1、β1、γ1角度的4×4階位姿坐標轉(zhuǎn)換矩陣，T(X,px1)、T(Y,py1)、T(Z,pz1)為沿X、Y、Z軸平移px1、py1、pz1距離的4×4階位姿坐標轉(zhuǎn)換矩陣.

需要注意的是，為了便于刀具模型的調(diào)整，需要對刀具(即工作臺)相對機器人的第六軸坐標系∑X6Y6Z6進行變換，依據(jù)式(5)，可以得到刀具相對第六軸的轉(zhuǎn)換矩陣

(7)

求出J3后，就可以對刀具模型進行旋轉(zhuǎn)與平移變換，使得JT3=J3.

當機器人末端刀具標定完成后，就可以利用末端刀具測量作業(yè)空間中的點，求取對象的位姿，測量的空間點坐標為

(8)

其中，(X，Y，Z)是空間點的坐標.

為了便于建立2個空間的映射一致性，將標定對象的姿態(tài)和位置分開進行求解.假設已知標定對象上的3個點K、L、M的坐標向量為pK、pL、pM，并且這3個點組成一個直角三角形，見圖2所示，則可以依據(jù)這3個點求得3點所在特征面的姿態(tài)，即

圖2 映射一致性建立原理Fig.2 The principle to establish mapping consistency

(9)

(10)

o=n×a，

(11)

這樣，可以得到

(12)

(13)

其中，R′(X,Δα2),R′(Y,Δβ2),R′(Z,Δγ2)是繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)Δα2、Δβ2、Δγ2角的姿態(tài)坐標轉(zhuǎn)換矩陣.

對于位置標定，建立以下的方程

(14)

式中：I是3×3單位陣；pb是CAM空間中標定對象上的點坐標，pB是作業(yè)空間中同一位置點的坐標，為3×1的列向量；Δxb、Δyb、Δzb是沿CAM空間中的特征面坐標系形成的相對坐標系坐標軸的平移距離.在旋轉(zhuǎn)和平移對象模型時，機器人軌跡隨模型一起旋轉(zhuǎn)和平移.讓機器人再次運行調(diào)整位姿后的軌跡點，再次判斷機器人末端刀具的頂點與作業(yè)空間中的3個點位置誤差是否大于設定值，如果軌跡誤差大于設定值，則重復上述標定過程，如果軌跡誤差小于設定值，則標定結(jié)束.

圖3 映射一致性實現(xiàn)過程Fig.3 Mapping consistency implementation process

映射一致性本質(zhì)是求取仿真空間中機器人模型相對作業(yè)對象模型的轉(zhuǎn)換矩陣以及作業(yè)空間中機器人相對作業(yè)對象的轉(zhuǎn)換矩陣，并使這2個對應矩陣相等.例如，在工作臺模型上沿兩個直角邊分別設置x、y坐標軸，并在這2個坐標軸上分別取1個點，從而和∑xyz坐標系的原點構(gòu)成直角三角形的3個頂點.如果將這3個點映射到作業(yè)空間形成軌跡點，機器人運行軌跡點后，其運行軌跡平行于工作臺直角邊，則工作臺模型和工作臺之間的姿態(tài)一致，而如果運行軌跡不平行于工作臺直角邊，則需要調(diào)整工作臺模型的姿態(tài)，重新映射軌跡點，直至運行的軌跡平行于工作臺直角邊.為了便于問題的說明，圖3中，在作業(yè)空間的工作臺上設置參考坐標系∑x′y′z′，其與工作臺模型上設置的坐標系∑xyz位姿一致.在仿真空間的模型上取3個點k、l、m，向量pk l與工作臺模型坐標系x軸重合，向量pk m與工作臺模型坐標系y軸重合.將該3點映射到作業(yè)空間形成軌跡點K、L、M，向量PKL與作業(yè)空間中X軸重合，向量PKM與作業(yè)空間中Y軸重合，如果∑XYZ與參考坐標系∑x′y′z′重合，則完成映射一致性建立，否則調(diào)整工作臺模型姿態(tài).運行軌跡點后，經(jīng)測量計算，調(diào)整仿真空間工作臺，使其繞自身z軸旋轉(zhuǎn)3°.再次將調(diào)整后的k、l、m點映射到作業(yè)空間，并運行映射的軌跡點，此時參考坐標系的y′軸處于作業(yè)空間坐標系的YOZ面內(nèi).z軸調(diào)整后，再繞y軸旋轉(zhuǎn)2.3°，第3次將調(diào)整后的k、l、m點映射到作業(yè)空間，并運行映射的軌跡點，此時，參考坐標系的x′軸與作業(yè)空間X軸重合.y軸調(diào)整后，繞x軸旋轉(zhuǎn)3.5°時，第4次將調(diào)整后的k、l、m點映射到作業(yè)空間，并運行映射的軌跡點，此時2個坐標系完全重合.實際上，每次調(diào)整時存在測量誤差，需要重復以上調(diào)整過程.再次繞z、y、x軸旋轉(zhuǎn)0.75°、0.36°、0.48°后，2個坐標系間的姿態(tài)誤差均小于設定值0.02°，至此，工作臺姿態(tài)調(diào)整結(jié)束.在標定好姿態(tài)的工作臺模型上取1個特征點，映射到作業(yè)空間中，形成軌跡點，讓機器人運行該軌跡點，測量實際軌跡點和理論軌跡點間的位置偏差，即沿工作臺坐標軸X、Y、Z的偏差分別為5，-2.5 和3 mm.在仿真空間中，分別沿x、y、z軸移動-5，2.5，-3 mm.再次將調(diào)整后的特征點映射到作業(yè)空間中，形成軌跡點，讓機器人運行該軌跡點，測量實際軌跡點和理論軌跡點間的位置偏差均小于設定值0.2 mm.至此，建立了仿真空間工作臺模型與作業(yè)空間工作臺之間的映射一致性.

姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣以第1次調(diào)整為例，由于繞相對坐標系旋轉(zhuǎn)，故旋轉(zhuǎn)矩陣按z、y、x順序右乘，設繞仿真空間坐標軸z、y、x旋轉(zhuǎn)角度分別為γ、β和α，則由式(13)得：

(15)

其中γ、β和α分別為3.5°、2.3°、3°.

由式(14)得位置轉(zhuǎn)換矩陣為：

(16)

其中Δxb、Δyb、Δzb分別為-5，2.5和-3 mm.

2 實驗結(jié)果

加工系統(tǒng)包括機器人、安裝于機器人末端的電主軸、電主軸連接塊、電主軸上的刀具、安裝雕塑毛坯的工作臺、雕塑毛坯、控制系統(tǒng)等，見圖4所示.雕塑毛坯的形狀為長方體，材料為石膏.

圖4 機器人加工系統(tǒng)Fig.4 Robot processing system

由于電主軸連接塊制造和安裝要求精度高，所以沒有對J3矩陣中的平移量進行標定，而是直接利用電主軸連接塊的CAD模型參數(shù)、刀具尺寸和標定好的姿態(tài)設置刀具坐標系(也是TCP坐標系).然后，利用安裝了刀具的機器人標定工作臺和雕塑毛坯.

采用同樣的方法對雕塑毛坯進行標定，由于雕塑毛坯是長方體形狀，直接取前側(cè)長方形的兩個直角邊上的點以及兩個直角邊的交點作為測量點.同樣，經(jīng)過3次重復標定后，機器人的軌跡誤差產(chǎn)生了振蕩，此時停止標定.

為了驗證映射一致性建立效果，如圖5所示在石膏毛坯上加工4組開口通槽，通槽采用雙側(cè)加工方法，每側(cè)分別加工通槽的3/5，通過雙側(cè)加工后測量不同加工側(cè)槽的錯開誤差，就可以檢測映射一致性建立的精度.通過測量，4組槽側(cè)面的錯開誤差分別為0.68，0.71，0.73和0.69 mm.

圖5 映射一致性精度測量實驗Fig.5 Mapping consistency accuracy measurement experiment

完成映射一致性的精度驗證后，利用機器人加工裝備加工雕塑.如圖6所示的雕塑模型，在加工前，利用ArtCAM軟件(英國，Delcam公司)產(chǎn)生雕塑加工的刀軌跡，然后將刀軌跡連同雕塑CAD模型一起導入安川機器人的離線編程軟件MOTOSIMEG(日本，MotoMan公司)中，利用標定的轉(zhuǎn)換矩陣設置工作臺模型以及加工對象模型在CAM空間的位姿，由離線編程軟件將刀軌跡轉(zhuǎn)換成機器人加工軌跡.需要注意的是，在采用ArtCAM產(chǎn)生刀軌跡前，需要設置雕塑CAD模型的坐標系，刀軌跡導入離線編程軟件時，保持雕塑CAD模型的坐標系和標定完的雕塑毛坯模型坐標系重合，并且雕塑CAD模型被毛坯模型所包含.

圖6 機器人加工軌跡生成方法Fig.6 Robot machining trajectory generation method

該雕塑采用了多側(cè)加工方法，每側(cè)刀軌跡產(chǎn)生方法相同，依據(jù)雕塑CAD模型坐標系和雕塑毛坯坐標系重合的條件，將多側(cè)加工的軌跡進行拼合，對雕塑進行完整的加工.圖6中只顯示了兩行轉(zhuǎn)換完成的機器人精加工軌跡.

在利用ArtCAM產(chǎn)生刀軌跡后，對產(chǎn)生的刀軌跡進行了優(yōu)化處理，使得機器人能夠采用最大輪廓法對雕塑進行粗精加工.所謂最大輪廓法就是只保留雕塑CAD模型最大輪廓內(nèi)部的加工軌跡點，刪除最大輪廓外部的加工軌跡點并對抬刀點進行相應處理.這樣，當采用多側(cè)加工后，其加工的雕塑和未加工的毛坯自動分離，從而提高加工效率，減少刀具磨損.

由于該雕塑形狀復雜，采用機器人左右雙側(cè)粗加工和第三側(cè)精加工的多方向加工方法如圖7所示，從完成雙側(cè)粗加工后的雕塑外形可以看出，在左右側(cè)的加工分界面上，即最大輪廓上，左右側(cè)粗加工部分對準較好(圖7(a)).另外，通過測量分離面兩側(cè)對應的加工面誤差，即最大輪廓兩側(cè)對應加工軌跡誤差(圖7(b))，再次驗證映射一致性建立的有效性，其不同加工側(cè)之間的誤差為0.72 mm.

(a) 粗加工后的雕塑外形；(b) 粗加工完成后，與雕塑分離的毛壞.圖7 粗加工后兩側(cè)加工軌跡對準情況Fig.7 The processing path alignment on both sides after roughing

(a) 雙側(cè)加工拼合處局部圖；(b) 第三側(cè)精加工過渡處局部圖；(c) 雕塑全局圖.圖8 多方位精加工后的效果及加工后的雕塑Fig.8 Multi-directional finishing effect and the sculpture after processing

圖8是多方位精加工完成后的雕塑局部和全局圖，可以看出左右側(cè)加工拼合處(最大輪廓位置)未產(chǎn)生明顯臺階(圖8(a)).圖8(b)是第三側(cè)精加工結(jié)果，主要是嬰兒臉部和母親胸部之間的部分加工，見圖6的加工軌跡.由于上述部分形狀復雜，在一個很小的區(qū)域中，加工近60 mm深度.為了避免干涉，采用了機器人變姿態(tài)加工，即在機器人運行加工軌跡時，機器人的姿態(tài)連續(xù)變化，避免刀具和雕塑的干涉.由于建立映射一致性，能夠精確放置TCP坐標系，通過軟件仿真后，加工過程沒有產(chǎn)生因TCP放置不精確而產(chǎn)生的加工軌跡偏移，其局部加工區(qū)域與前期加工區(qū)域過渡平滑，其界面上沒有明顯折線出現(xiàn).完成加工后的雕塑見圖8(c).

3 結(jié) 論

本研究利用加工裝備中的機器人作為測量工具，建立CAM空間與作業(yè)空間映射一致性的數(shù)學模型，對CAM空間與作業(yè)空間中的各對象之間的轉(zhuǎn)換矩陣進行了標定，實現(xiàn)了2個空間的映射一致性.利用映射一致性建立時的參數(shù)對CAD/CAM數(shù)字化系統(tǒng)生成的刀軌跡進行轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生機器人加工軌跡并對產(chǎn)品進行加工，提高機器人的加工精度.該方法特別適合于在工廠環(huán)境中應用，也便于軟件算法實現(xiàn)自動化標定.與前期未建立映射一致性的機器人加工裝備加工的雕塑比較，其雙側(cè)對準誤差從20 mm降低到0.7 mm，并且建立映射一致性后，可以精確地放置TCP坐標系，避免變姿態(tài)加工時的加工軌跡偏移.

在遞歸調(diào)整對象模型的位姿時，當軌跡精度達到0.7 mm時，再次標定將產(chǎn)生軌跡誤差的振蕩，無法進一步提高標定精度.軌跡誤差產(chǎn)生振蕩的原因是機器人存在內(nèi)參數(shù)誤差，內(nèi)參數(shù)誤差包括機器人幾何參數(shù)誤差和零位誤差，使得機器人測量的特征點精度無法提高.未來，將對機器人的內(nèi)參數(shù)進行標定，然后再利用標定了內(nèi)參數(shù)的機器人測量對象上的點坐標，進一步提高映射一致性的精度.