艾合買提·阿不來(lái)提,張 文

(1. 新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830012；2. 廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門(mén)361005)

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知,近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)隨機(jī)N-策略下的排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究(見(jiàn)文獻(xiàn)[1-14]和其中引用的參考文獻(xiàn)). Yadin等[1]首次考慮了隨機(jī)N-策略下的排隊(duì)系統(tǒng)．之后很多學(xué)者廣泛地推廣了這類系統(tǒng)．例如,Kella[2]研究了帶假期的N-策略M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)．Borthakur等[3]將帶有指數(shù)性啟動(dòng)時(shí)間的M/M/1排隊(duì)模型[4]推廣到了帶有一般啟動(dòng)時(shí)間的情況．Lee等[5]研究了帶單休假和多個(gè)假期的批量到達(dá)的N-策略M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)．1991年Takagi[6]給出了關(guān)閉期的概念,有很多學(xué)者對(duì)這類排隊(duì)模型進(jìn)行了研究．Ke[7]給出了一類具有故障、啟動(dòng)及關(guān)閉期的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)并對(duì)其進(jìn)行了研究．Liu等[8]討論了帶啟動(dòng)和關(guān)閉期的N-策略下的兩種不同類型的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)．具有隨機(jī)N-策略的M/G/1排隊(duì)模型也被許多作者進(jìn)行了研究[9-10]．Feng等[9]通過(guò)向量馬爾科夫過(guò)程的方法研究了帶關(guān)閉期的隨機(jī)N-策略和休假策略的M/G/1排隊(duì)模型并且得到了該系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)的充分必要條件.

本文中在以下假設(shè)下討論該排隊(duì)模型:

1) 顧客到達(dá)時(shí)間間隔τn是相互獨(dú)立且服從同分布,服從于參數(shù)為λ-1(λ>0) 的負(fù)指數(shù)分布,即

P{τn≤t}=1-e-λt,n=1,2,….

3) 以上都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.

4) 顧客進(jìn)入系統(tǒng)后要等到服務(wù)開(kāi)始.

5) 服務(wù)基于先到先服務(wù)的規(guī)則進(jìn)行,系統(tǒng)有無(wú)限的排隊(duì)空間.

本文中根據(jù) Hille-Yosida 定理,Phillips 定理與 Fattorini 定理,證明具有多個(gè)工作休假和休假中斷的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)存在唯一非負(fù)的滿足概率條件的時(shí)間依賴解.

根據(jù)文獻(xiàn)[9],該模型可表示如下:

(1)

λpi-1(t,x),i≥2,

(2)

j=1,2,…,i-1,

(3)

i=1,2,…,

(4)

(5)

(6)

i=2,3,…,

(7)

(8)

κi0(0)=di,pi(0,x)=0,i=1,2,…,

q(0,x)=0.

(9)

μ(x)≥0,

ω(u)≥0,

交通強(qiáng)度為

為了方便,引入以下符號(hào):

Γ3=(λ,0,0,…)T,

Γ4=(μ(x),0,0,…).

取狀態(tài)空間X如下:

X={(p,κ,q)|p∈X1,κ∈Z,q∈L1[0,∞),

‖(p,κ,q)‖=‖p‖X1+|κ|+‖q‖L1[0,∞)},

其中：

X1={p∈L1[0,∞)×L1[0,∞)×…|‖p‖=

顯然，X是一個(gè)Banach空間．令

pn(x),q(u)均是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，且

對(duì)?(p,κ,q)∈D(A),定義算子A為

如果對(duì) ?(p,κ,q)∈X定義算子B為如下：

Bq=0,

D(B)=X,

則該模型即方程組(1)～(9) 可轉(zhuǎn)化成 Banach 空間X中的抽象 Cauchy 問(wèn)題,即

(d1,d2,0,d3,0,0,d4,0,0,0,…),

(10)

(p,κ,q)(0)=((0,0,…),(d1,d2,0,…,

(11)

本文中始終假定

2 主要結(jié)果

定理1算子A生成正C0-半群T(t).

i=1,2,…，

(12)

(γ+λ)κi0=πi0,i=1,2,…,

(13)

(γ+λ)κij=λκi,j-1+πij,i=2,3,…,

j=1,2,…,i-1,

(14)

(15)

(16)

i=2,3,…,

(17)

(18)

由式(12)和(15)有

(19)

(20)

由式(19)～(20)以及式(16)～(18)得

a1=p1(0)=

(21)

ai=pi(0)=

λκi,i-1,i≥2,

(22)

b=q(0)=

(23)

將式(23)帶入(21)得

(24)

如果應(yīng)用Fubini定理并且記

(25)

則式(24)和(22)可改寫(xiě)成如下

?

(26)

(27)

再由式 (23)得

(28)

這樣結(jié)合式(19)，(20)以及式(25)～(28)得到

‖(p,κ,q)‖= ‖p‖Y+|κ|+‖q‖L1[0,∞)=

(29)

式(29)表示(γI-A)-1存在并且當(dāng)γ+λ>M時(shí)

(30)

下面證明D(A) 在X中稠密.

令

L=

顯然,L在X中稠密的. 如果再令

W={p,κ,q)|p(x)=(p1(x),p2(x),…,pm(x),

0,…),

根據(jù)文獻(xiàn)[11]直接可以證明W在X中稠密. 因此只需要證明D(A) 在W中稠密即可.

取 (p,κ,q)∈W,則存在ci>0,c0>0 使得pi(x)=0,x∈[0,ci],q(x)=0,x∈[0,c0],i=1,2,…,m. 從而有

pi(x)=0,q(x)=0,x∈[0,2s],

這里

0<2s

令

其中

i=1,2,…,m,

說(shuō)明D(A) 在W中稠密,換言之,D(A) 在X中稠密.

由以上的結(jié)果以及 Hille-Yasida 定理[12]可知A生成一個(gè)C0-半群. 易知

B:X→X, ‖B‖≤λ+1

(31)

是有界線性算子,因此根據(jù)C0-半群的擾動(dòng)定理[13]可推出A+B生成C0-半群T(t). 由式(13),(14),(19),(20)知道.如果 (y,π,z) 是正向量則 (p,κ,q) 也是正向量. 因而,(γI-A)-1是正算子. 顯然,B也是正算子. 注意到

(γI-A-B)-1=

[I-(γI-A)-1B]-1(γI-A)-1.

(32)

根據(jù)式(30)容易可知,當(dāng) γ>M+1 時(shí)有

‖(γI-A)-1B‖<1,

即

[I-(γI-A)-1B]-1存在且有界,且

(33)

因此 [I-(γI-A)-1B]-1也是正算子. 進(jìn)而,由式(32) 和 (33) 知 (γI-A-B)-1是正算子. 最后根據(jù)文獻(xiàn) [14],推出

因此T(t) 也是正的. 證畢.

定理2系統(tǒng) (1)～(9) 存在唯一的非負(fù)解.

證畢.

3 結(jié) 論

本文中主要對(duì)帶關(guān)閉期的隨機(jī)N-策略的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了分析與研究. 主要工作是應(yīng)用算子理論、 Hille-Yosida定理、Phillips 定理以及 Fattorini 定理證明了 該模型存在唯一的非負(fù)解并且滿足概率條件. 本文中考慮了該模型時(shí)間依賴解方面的問(wèn)題,據(jù)我們所知,至今該模型還沒(méi)有其他結(jié)果. 因此該模型值得進(jìn)一步研究,例如,該模型時(shí)間依賴解的漸進(jìn)行為等. 這是我們下一個(gè)要討論的話題.