逄雨欣, 王德輝, 譚希麗

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長(zhǎng)春 130012; 2. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結(jié)果

定義1[1]對(duì)于有限族隨機(jī)變量ε1,ε2,…,εm, 如果

Cov{f(ε1,…,εm),g(ε1,…,εm)}≥0,

(1)

則稱其為PA(positively associated)的. 其中f,g為m上任意按分量增的函數(shù), 且保證式(1)中的協(xié)方差存在. 如果其任意有限子族為PA的, 則隨機(jī)變量列{εn,n≥1}也稱為PA的.

由定義1和定義2可知, PA隨機(jī)變量列一定是LPQD的, 反之則不一定成立. PA隨機(jī)變量在多元分析、 可靠性理論和滲透模型等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 對(duì)PA隨機(jī)變量的研究已取得了許多結(jié)果[3-8]. Newman[3]給出了其中心極限定理; Newman等[4]得到了其不變?cè)恚?Dabrowski[5]提出了泛函型重對(duì)數(shù)律； Prakasa Rao等[6]證明了PA序列的隨機(jī)指標(biāo)中心極限定理和Berry-Esseen界.

定義3定義隨機(jī)變量X與Y之間的Kolmogorov距離為

dK(Tn,T(Z1,Z2))→0,n→∞,

(2)

且{Nn,n≥1}和{Xn,n≥1}獨(dú)立. {δn=n-θ,n≥1}是一正數(shù)序列, 0<θ<1/2, 則存在正數(shù)c1和c2, 使得對(duì)充分大的n, 有

dK(Tn,T(Z1,Z2))≤c1·n-min{θ,1-2θ,1/5}+c2εn,

(3)

其中:εn是{Nn,n≥1}的Berry-Esseen界;Tn和T(Z1,Z2)同定理1.

由于LPQD序列是一種比PA序列更弱的序列, 因此本文將定理1和定理2推廣到LPQD序列上, 即討論LPQD序列的隨機(jī)指標(biāo)中心極限定理和Berry-Esseen界.

本文恒設(shè){Nn,n≥1}是一列非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量序列, 且與{Xn,n≥1}獨(dú)立, 并假設(shè)下列條件成立：

(H6) 假設(shè)對(duì)n充分大有

(4)

其中Z1和Z2同定理1. 在上述條件下, 本文主要結(jié)果如下:

定理3設(shè){Xn,n≥1}為一嚴(yán)平穩(wěn)LPQD隨機(jī)變量序列, 滿足條件(H1)和(H2). {Nn,n≥1}為一非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量序列, 滿足條件(H4)和(H5), 且{Nn,n≥1}與{Xn,n≥1}獨(dú)立, 則式(2)成立, 其中Z1和Z2同定理1.

2 主要結(jié)果的證明

引理1記P(Nn=k)=pn,k. 在假設(shè)條件(H1)下, 有

證明： 與文獻(xiàn)[6]中引理2.1的證明類似, 故略.

引理2[6]設(shè){Un,U,n≥1}為一隨機(jī)變量序列, 滿足U的分布函數(shù)是α-Lipschitz連續(xù)的(α>0).V是與{Un,U,n≥1}獨(dú)立的隨機(jī)變量, 滿足E|V|<∞. 設(shè)g:→, 則對(duì)任意的常數(shù)及任意的z∈, 有

引理3[2]設(shè){Xn,n≥1}為一嚴(yán)平穩(wěn)LPQD隨機(jī)變量序列, 且

則

其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).

2.1 定理3的證明

首先, 證明

dK(Tn,Tn(Z1))→0,n→∞.

(7)

利用全概率公式及{Xn,n≥1}與{Nn,n≥1}的獨(dú)立性, 可知

其次, 證明

(Z1))→0,n→∞.

(8)

由條件(H2)有

因此, 由引理1、 條件(H4),(H5), 有

(9)

由條件(H4),(H5)及Markov不等式, 有

(10)

(11)

從而由式(9)及Slutsky定理, 有

(12)

下面證明

(Z1),T(Z1,Z2))→0,n→∞.

(13)

注意到

定理3證畢.

2.2 定理4的證明

首先, 估計(jì)dK(Tn,Tn(Z1)). 與定理3類似, 有

由引理5, 有

(15)

與定理3推導(dǎo)類似, 由Markov不等式及條件(H4)～(H6)知, 當(dāng)n充分大時(shí), 有

(16)

由式(14)～(16), 有

(17)

顯然

J3≤cδn≤cn-θ.

(19)

由式(12)及式(4)有

J4≤cεn.

(20)

由式(18)～(21), 有

(Z1))≤cn-θ+cεn+cn2θ-1.

(22)

聯(lián)合式(17),(22),(23), 并利用三角不等式可得結(jié)論. 定理4證畢.