宋 瑩, 孫 寧

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的退出問(wèn)題, 即考慮位于確定型動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)吸引域中的軌線在隨機(jī)噪聲驅(qū)動(dòng)下離開(kāi)吸引域退出點(diǎn)的概率分布和退出時(shí)間, 該問(wèn)題在原子與分子物理、 化學(xué)動(dòng)力學(xué)、 濾波理論以及群體遺傳學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-8]. 文獻(xiàn)[1,9]研究表明, 如果粒子所處的介質(zhì)是熱平衡狀態(tài)的, 則化學(xué)鍵粒子的變化可用如下Langevin方程描述:

引理1[1,9]當(dāng)β充分大時(shí), 系統(tǒng)(1)-(2)等價(jià)于Kramers-Smoluchowski方程:

dx=-

(3)

其中s=βs′.

(4)

τε=inf{t≥0|xε(τ)∈?Ω,xε(0)=x∈Ω}.

引理2[2]方程(4)首次退出時(shí)間τε的期望Exτε=vε(x)滿足如下邊值問(wèn)題:

文獻(xiàn)[3]利用奇異攝動(dòng)方法構(gòu)造了方程(4)首次退出時(shí)間的漸近展開(kāi)式; 文獻(xiàn)[10]給出了上述結(jié)果有效性的理論證明; 文獻(xiàn)[11]對(duì)具有光滑勢(shì)壘和尖翹勢(shì)壘的退出點(diǎn)問(wèn)題給出了化學(xué)反應(yīng)速率公式, 簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[1]結(jié)果的條件, 并將其推廣到高維情形; 文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步對(duì)非特征邊界以及特征邊界兩種情形運(yùn)用匹配漸近展開(kāi)法得到了首次退出時(shí)間的漸近表達(dá)式. 上述關(guān)于方程(4)退出問(wèn)題的漸近分析研究只得到了退出時(shí)間的零階近似, 本文利用奇異攝動(dòng)方法給出方程(4)退出問(wèn)題的一階近似.

引理3[13]設(shè)x∈n(n≥2), f(x),g(x)是光滑標(biāo)量函數(shù), 且f(x)在x0處取得最大值, 則

其中Hf(x0)表示f在x0處的Hessian矩陣的行列式.

2 主要結(jié)果

對(duì)方程(4)做如下假設(shè)：

(H1)b(x)是Ω上的光滑向量場(chǎng), 且φ在?Ω上的最小值點(diǎn)都是孤立的;

(H2) 系統(tǒng)

dx(t)=b(x)dt

(7)

在Ω中有唯一漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)x0, Ω是x0的吸引域, 且

做變換

vε(x)=C(ε)eK/εu(x),

當(dāng)ε→0時(shí), 方程(8)退化為

b·u=0,x∈Ω.

(10)

為求方程(5)的內(nèi)部解, 做n維球坐標(biāo)變換:

其中: 0≤r<+∞; 0≤θ1,θ2,…,θn-2≤π, 0≤θn-1≤2π. 則

其中

記(θ1,…,θn-1,r)=(θ,r), 再做變換y=-dist(x,?Ω)=r-R,x∈Ω, 則邊值問(wèn)題(8)-(9)變?yōu)?/p>

其中:γ為?Ω的外法向量;σ為?Ω的切向量. 顯然, (x1,…,xn)∈?Ω對(duì)應(yīng)于y=0. 設(shè)

定理1設(shè)系統(tǒng)(4)滿足(H1),(H2), 且當(dāng)(x1,…,xn)∈?Ω時(shí),b·γ<0. 則系統(tǒng)(4)從x0∈Ω出發(fā)的解x(t)首次退出時(shí)間期望Exτε的漸近表達(dá)式為

其中:

證明： 由上述分析知, 邊值問(wèn)題(11)-(13)在?Ω附近存在邊界層, 且邊界層厚度為O(ε). 令y=εz, 則邊值問(wèn)題(11)-(13)變?yōu)?/p>

設(shè)邊值問(wèn)題(16)-(18)的解有如下形式:

u=u0+εu1+ε2u2+….

(19)

將式(19)代入式(16), 并對(duì)比ε的同次冪系數(shù)得

由邊值條件(17),(18)得

方程(20)滿足邊值條件(22)的解為

u0(θ,z)=1-e-b10(θ)z.

將u0(θ,z)代入方程(21), 并利用邊值條件(23)解得

從而

下面確定常數(shù)C(ε)和K. 將方程(5)兩端同乘e-φ/ε并寫(xiě)成散度的形式, 得

εe-φ/εvε=-e-φ/ε.

(24)

對(duì)式(24)在區(qū)域Ω上積分, 并由散度公式, 得

(25)

由引理3, 當(dāng)ε→0時(shí), 有

(26)

又

故

(27)

證畢.

假設(shè):

(H3) Exτε在?Ω的切方向是慢變的.

定理2設(shè)系統(tǒng)(4)滿足(H1)～(H3), 且當(dāng)(x1,…,xn)∈?Ω時(shí),b·γ=0. 則系統(tǒng)(4)從x0∈Ω出發(fā)的解x(t)首次退出時(shí)間期望Exτε的漸近表達(dá)式為

其中:

設(shè)邊值問(wèn)題(28)-(30)的解有如下形式:

u=u0+μu1+….

(31)

將式(31)代入方程(28), 并對(duì)比μ的同次冪系數(shù)得

由邊值條件(29),(30)知,

方程(32)滿足邊值條件(34)的解為

將解u0(θ,z)代入方程(33), 并利用邊值條件(35)得

于是

從而

下面確定常數(shù)C(ε)和K. 由式(25),(26)及

可得

證畢.