馬亮亮, 譚千蓉, 劉冬兵

(攀枝花學院 數(shù)學與計算機學院, 四川 攀枝花 617000)

近年來,隨著人們對微積分學的認識和研究的不斷深入,分數(shù)階微分方程引起了越來越多的關注.隨著分數(shù)階微分方程自身理論的迅速發(fā)展、完善，以及它在數(shù)學、物理、化學、生物、環(huán)境、工程建模、金融和應用軟件等學科的廣泛應用,分數(shù)階微分方程數(shù)值算法的研究也日益廣泛[1-4].作為分數(shù)階微分方程的一個重要分類,分數(shù)階對流-擴散方程可描述自然環(huán)境、工程裝備和生物中的多種物理現(xiàn)象(如氣體擴散、液體滲透、熱傳導和半導體材料中的雜質傳播等).然而，現(xiàn)實的工程問題往往很難找到其解析解,因此只能通過求解其數(shù)值解的途徑來獲取該問題的信息.目前,常用的數(shù)值求解分數(shù)階對流-擴散方程的方法主要有有限差分法、有限元法、有限體積法和譜方法等.在這些方法中,有限差分法以其求解問題時的易操作性、易理解和容易編程,在科學研究和工程計算中得到了廣泛的應用.因此,建立精確、穩(wěn)定、高效的有限差分格式和求解算法,對于分數(shù)階對流-擴散方程問題的解決具有重要意義.關于分數(shù)階微分方程(特別是分數(shù)階對流-擴散方程)問題的求解,已經有了多種有限差分格式[5-8].

變階算子的概念是近年來發(fā)展起來的,它的出現(xiàn)帶來了分數(shù)階微分方程研究領域中新的范例[9].目前,在文獻中出現(xiàn)的變階算子的定義主要有Riemann-Liouville變階算子、Caputo變階算子、Marchaud變階算子、Coimbra變階算子和Grünwald變階算子等[10-14].當應用不同類型的變分數(shù)階導數(shù)算子解決變分數(shù)階微分方程時,就會誕生各種各樣的數(shù)值方法,且事實表明,對于復雜情形,變分數(shù)階微分方程的計算可為描述復雜事物、地理問題等提供更有效的數(shù)學架構[15-18].

本文考慮如下類型的非線性空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程:

(1)

u(x,0)=u0(x), 0≤x≤L,

(2)

u(0,t)=u(L,t)=0, 0≤t≤T,

(3)

xRβ(x,t)是階數(shù)為β(x,t)的廣義Riesz分數(shù)階導數(shù)[20],

xRβ(x,t)u(x,t)=

關于變階分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法,沈淑君[9]給出了變時間分數(shù)階擴散方程的一種數(shù)值模擬方法;于春肖等[18]通過對變分數(shù)階導數(shù)算子進行離散化處理得到了一種求解變分數(shù)階擴散方程的隱式差分解法;馬維元等[20]提出了一種變階非線性分數(shù)階擴散方程的全隱式差分格式;Zhuang等[21]給出了帶非線性源項變分數(shù)階對流- 擴散方程的顯式和半隱式差分格式;Lin等[22]給出了變階非線性分數(shù)階擴散方程的顯式差分格式.本文針對一類非線性變階空間-時間分數(shù)階對流- 擴散方程,在已有文獻的基礎上提出一種全隱式有限差分格式,并分析其穩(wěn)定性和收斂性,最后通過數(shù)值算例驗證該差分格式的有效性與可行性.

1 數(shù)值逼近和全隱式有限差分格式

1.1非線性變階空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程的數(shù)值逼近為了數(shù)值求解方程(1)～(3),首先對求解的區(qū)域進行網格剖分.考慮區(qū)域[0,L]×[0,T],給定等距剖分,選取正整數(shù)M、N,并令h=L/M,=T/N.記xi=ih,i=0,1,2,…,M,tn=nτ,n=0,1,2,…,N;0=x0

u(xi,tn+1-jτ)=

u(xi,tn+1-jτ)+O(τp),

(4)

其中p為正整數(shù).為方便研究,取p=1,則(4)式變?yōu)?/p>

(5)

其中

(6)

其中

可以遞推計算

此外,廣義Riesz分數(shù)階導數(shù)xRβ(x,t)采用變階的移位Grünwald-Letnikov公式進行離散:

(7)

(8)

其中

1.2全隱式有限差分格式為了得到方程(1)～(3)的全隱式有限差分格式,給出如下約定,令

將(5)～(8)式代入方程(1),考慮如下形式的全隱式有限差分格式:

(9)

與此同時,初值和邊界條件分別等價地記作

(10)

(11)

進一步，(9)式可以改寫成如下的形式:

(12)

2 全隱式有限差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

定理1假設方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,則當τ充分小時,全隱式有限差分格式(9)～(11)是穩(wěn)定的.

因此,全隱式有限差分格式(9)～(11)是穩(wěn)定的.

定理2假設方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,則當τ充分小時,全隱式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范數(shù)收斂到初邊值問題(1)～(3)的解,且收斂階為O(τ+h).

定理2得證,故全隱式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范數(shù)收斂到初邊值問題(1)～(3)的解,且收斂階為O(τ+h).

3 數(shù)值實例

考慮如下的非線性變階空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程

B(x,t)xRβ(x,t)u(x,t)+f(u,x,t),
0≤x≤1, 0≤t≤1,

其中

β(x,t)=2-sin(xt), 1<β(x,t)<2;

初值條件u(x,0)=10x2(1-x),0≤x≤1;邊值條件為u(0,t)=u(1,t)=0,0≤t≤1.當ρ=1,δ=0時,此方程有精確解u(x,t)=10x2(1-x)(t+1)2.

下面將通過圖1、圖2和表1提供的數(shù)據(jù)信息來驗證文中的全隱式有限差分方法的可行性與有效性.取定時間步長τ=0.000 1,空間步長h=0.02.圖1是在t=0.01時刻由全隱式有限差分格式(9)～(11)計算得到的數(shù)值解與精確解的平面圖,可以看出由全隱式有限差分方法得到的數(shù)值解可以很好地與精確解吻合,從而表明了文中所使用方法的可行性和有效性.圖2是利用全隱式有限差分格式(9)～(11)計算得到的數(shù)值解與空間軸、時間軸之間的三維立體圖,易得全隱式有限差分方法(9)～(11)所得數(shù)值解都可很好地逼近上述方程的精確解,表明文中所提出的全隱式有限差分格式是穩(wěn)定的,繼而表明了該方法求解非線性變階空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程問題的精確性與有效性.

圖 1 數(shù)值解與精確解比較圖

圖 2 三維立體圖

表 1 全隱式有限差分格式的誤差及收斂率

‖eN(h,τ)‖∞/‖eN(h2,τ2)‖∞‖eN‖∞/(h+τ)-0.218 796 4832.036 368 0660.214 888 9352.095 256 6470.205 119 4402.215 268 4820.185 186 9801.999 007 5500.185 278 9201.992 002 2710.186 022 800

4 結束語

論文主要研究非線性變階空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程的初邊值問題,通過對變分數(shù)階導數(shù)算子的離散化處理,提出了求解該類問題的全隱式有限差分方法;而后,利用離散的能量方法證明了該方法的收斂性和穩(wěn)定性;最后,通過一個數(shù)值例子驗證了文中全隱式有限差分方法求解非線性變階空間-時間分數(shù)階對流-擴散方程初邊值問題的可行性與實用性.

致謝攀枝花學院校級科研項目(2016ZD010、2014YB38、2013YB05和2012YB21)、攀枝花學院院級科研創(chuàng)新項目(Y2013-04)及攀枝花學院教育教學研究與改革青年項目(JJ1682)對本文予以了資助，謹致謝意.