閻 慧 臻, 劉 燕, 苗 苗

( 大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)的一個重要分支，也是生態(tài)學(xué)中數(shù)學(xué)應(yīng)用最多的一個分支。二維Lotka-Volterra模型是描述兩種群相互作用的最為經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，按其生態(tài)意義可分為三類：捕食與被捕食模型(例如食草動物與草、天敵與害蟲)、競爭模型(例如虎群與豹群、莊稼和野草)及互惠模型(例如蜜蜂與花朵)。許多學(xué)者對Lotka-Volterra模型做了大量的研究[1-4]，這些研究大都是針對模型非平凡解的定性分析。由解的唯一性定理可知，任一初值為正的解在有限時間內(nèi)都不可能變?yōu)榱?，換句話說，無論種群數(shù)量為多少，生物體內(nèi)的毒素有多少，在有限時間內(nèi)種群都不可能絕滅，這顯然與實際不符。在現(xiàn)實中，如果種群數(shù)量過少或環(huán)境中毒素濃度過高，種群都將無法生存而迅速絕滅。為了使模型能更真實地反映實際，馬知恩等[5]研究了種群在有限時間內(nèi)的絕滅和持續(xù)生存問題，提出了β絕滅與β持續(xù)生存的概念。文獻(xiàn)[6]研究了污染環(huán)境中一維Lotka-Volterra模型的β絕滅與β持續(xù)生存問題，給出了種群β絕滅與β持續(xù)生存的充分條件。文獻(xiàn)[7]研究了一類個體模型在有限時間內(nèi)的絕滅與持續(xù)生存問題，給出了個體β絕滅與β持續(xù)生存的充分條件。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別研究了二維Lotka-Volterra 捕食與被捕食系統(tǒng)和競爭系統(tǒng)的β絕滅與β持續(xù)生存問題。本文在以上研究的基礎(chǔ)上討論了兩種群Lotka-Volterra互惠生態(tài)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的絕滅與持續(xù)生存問題，給出了兩種群β絕滅與β持續(xù)生存的一些充分條件。

1 數(shù)學(xué)模型及定義

考慮二維Lotka-Volterra系統(tǒng)：

式中：a11>0，a22>0，即兩種群x1(t)，x2(t)都滿足密度制約。兩種群在一個相同的自然環(huán)境中生存，按其生態(tài)意義，它們之間的相互作用可分以下3種情況：

(1)捕食與被捕食

當(dāng)系統(tǒng)(N)中的參數(shù)a12>0，a21<0，此時x1(t) 為被捕食者(即食餌)，x2(t)為捕食者。并假設(shè)r11>0，r21<0，此時捕食者x2(t)僅以食餌x1(t)為食。

(2)相互競爭

當(dāng)系統(tǒng)(N)中的參數(shù)r11>0，r21>0，a12>0，a21>0，此時兩種群中每一個種群的存在都會抑制另一個種群的增長。

(3)互惠共存

當(dāng)系統(tǒng)(N)中的參數(shù)a12<0，a21<0，此時兩種群中每一個種群的存在都會促進(jìn)另一個種群的增長。并假設(shè)r11>0，r21>0，即兩種群除相互為食外，同時還有其他的食物來源。

對應(yīng)于以上3種情況，系統(tǒng)(N)被分為3類：捕食與被捕食模型、競爭模型、互惠模型。

為便于書寫，給出下面記號：

令

Δ=detA=a11a22-a12a21

Δ1=a22r11-a12r21

Δ2=a11r21-a21r11

并假設(shè)Δ>0，Δ1>0，Δ2>0，此時系統(tǒng)(N)中的兩種群x1(t)，x2(t)是永久持續(xù)生存的[10]。

2 主要結(jié)果

定理1考慮互惠模型(N)

證(1) 用反證法，假設(shè)t∈[0，+∞) 時，x1(t)>β。

由式(1)及式(2)式可得

令

由上極限的性質(zhì)知，對于任意給定的ε1>0，ε2>0，必存在T>0，當(dāng)t≥T時，

r11-a12〈x2〉≤λ1+ε1r21-a21〈x1〉≤λ2+ε2

將其代入式(3)及式(4)得

即

由引理知：

由ε1、ε2的任意性知：

所以

即

所以種群x1(t)必在有限時間內(nèi)β絕滅。

(2)的證明類似于(1)(略)。

定理2考慮互惠模型(N)

(1)對于種群x1(t)，

(2)對于種群x2(t)，

證明(1)(Ⅰ) 因為x1(0)>β，所以由x1(t)的連續(xù)性知存在δ>0，當(dāng)t∈0，δ時，x1(t)>β。

下面說明x1(t)>β可無限延拓下去。否則，設(shè)x1(t)>β僅能延拓到某個半開半閉區(qū)間[0，η)上，則x1(η)=β。

在[0，η]上

因為x1(0)>β，所以由微分方程的比較定理可知，x1(t)>β，t∈[0，η]。

所以x1(η)>β，矛盾！

故x1(t)>β可無限延拓下去，即：x1(t)>β，t∈[0，+∞)。

所以x1(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存。

證因為x1(T)>β，所以存在δ1>0，使得t∈[T，T+δ1]時，x1(t)>β。

(ii)證明(i)中不等式可無限延拓下去。否則，設(shè)(i)中不等式只能延拓到某個半開半閉區(qū)間[0，η)上。由(i)的證明可知：

在[0，η]上

a11x1(β-x1)

因為x1(0)>β，所以由比較定理可得：x1(t)>β，t∈0，η，所以x1(η)>β，矛盾！

由(i)(ii)的證明可知：種群x1(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存。

(2)的證明類似于(1)(略)。

3 結(jié) 論

對于種群x2(t)的分析完全類似于種群x1(t)(略)。

4 數(shù)值模擬

Matlab繪圖程序如下：

a11=2;

a22=4;

a12=-3;

a21=-1;

r11=1;

r21=1;

beta=2;

ds=@(t，s)[s(1)*(r11-a11*s(1)-a12*s(2));s(2)*(r21-a21*s(1)-a22*s(2))];

s0=[4;1];

tf=100;

[t，s]=ode45(ds，[0 tf]，s0);

b=beta*ones(size(t));

%繪圖

axis([0 tf 0 6.5]);

hold on

plot(t，s);

plot(t，b，′r′);

執(zhí)行程序后得x1(t)、x2(t)的圖形如圖1所示。

圖1 種群β絕滅示意圖

由圖1可以看出，x1(t)、x2(t)在有限時間內(nèi)均β絕滅，與定理1的結(jié)論一致。

(1)取β=1，x1(0)=4，x2(0)=1，執(zhí)行Matlab程序得x1(t)的圖形如圖2所示。

圖2 種群x1(t) β持續(xù)生存示意

由圖2可以看出，x1(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存，與定理2中(1)(Ⅰ)的結(jié)論一致。

圖3 種群x1(t)的β持續(xù)生存示意圖

由圖3可以看出，x1(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存，與定理2中(1)(Ⅱ)的結(jié)論一致。

(3)取β=0.9，x1(0)=1，x2(0)=6，執(zhí)行Matlab程序得x2(t)的圖形如圖4所示。

圖4 種群x2(t)的β持續(xù)生存示意

由圖4可以看出，x2(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存，與定理2中(2)(Ⅰ)的結(jié)論一致。

由圖5可以看出，x2(t)永遠(yuǎn)β持續(xù)生存，與定理2中(2)(Ⅱ)的結(jié)論一致。

圖5 種群x2(t)的β持續(xù)生存示意圖