■河南省洛陽市汝陽一高 張海濤

解三角形是初中解直角三角形問題的直接延伸,也是三角函數(shù)和平面向量知識(shí)考查的重要載體,同時(shí)也是解決三角形中計(jì)算問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具,具有重要的應(yīng)用價(jià)值,屬于高考的必考內(nèi)容。主要通過三組公式(正弦定理、余弦定理、面積公式),通過問題導(dǎo)學(xué),激活知識(shí)構(gòu)建的前后聯(lián)系。解決問題的基本方法主要是通過邊角互化,即“化角為邊(代數(shù)恒等變換),化邊為角(三角恒等變換)”來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題,要求對公式、定理靈活運(yùn)用,能夠逆用、變形使用等,通過余弦定理建立三邊關(guān)系,通過正弦定理建立邊角關(guān)系,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題或者借助三角形的某一頂點(diǎn)的軌跡,借助圖形,如外接圓來解決。從角的思路解題較為煩瑣,但是具有通用性;從形的角度解題,通過臨界位置,可以求解最值;從三角、三邊之外的非基本元素,如高、中線、角平分線等入手,比較靈活,結(jié)合方程思想、化歸思想可以解決三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題,如有關(guān)角、邊、面積、周長的范圍問題?？傊?解三角形問題近年來試題內(nèi)容豐富多彩,集知識(shí)的交匯性、綜合性于一體,極富挑戰(zhàn)性,值得我們重視。

下面,我們依據(jù)題目的特點(diǎn)把解三角形問題大致歸納為如下幾個(gè)類型,便于讓同學(xué)們做一題而知一類,觸類旁通,提高學(xué)習(xí)效率。

第一關(guān)：邊、角、周長、面積具體求值問題

(一)求邊。

試題點(diǎn)評：解法1是運(yùn)用正弦定理“邊化角”,而使用正弦定理的一個(gè)基本條件是“齊次”,因此,結(jié)合條件a2-c2=2b得到b=就是非常自然的事情,然后再使用正弦定理并結(jié)合條件求出b;解法2則是運(yùn)用余弦定理“角化邊”,結(jié)合題目所求“直奔主題”。本題還有很多求解方法,讀者可以自行嘗試。

(二)求角。

例2 已知在△ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2（a2-b2）=2accosB+bc,則A=。

解法1(化角為邊)：由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB。

代入已知條件,得:2（a2-b2）=a2+c2-b2+bc,故a2-b2-c2=bc。

解法2(化 邊 為 角)：由2（a2-b2）=2accosB+bc及正弦定理可得:

2sinAsinCcosB+sinBsin C=2(sin2A-sin2C)=2sin(A+B)sin(A-B)=2sinCsin(A-B)。

因?yàn)閟inC＞0,故2sinAcosB+sinB=2sin(A-B),sin B=-2sinBcosA,所以cosA=-,A=。

試題點(diǎn)評：解法1是觀察所求與條件發(fā)現(xiàn)可利用余弦定理消除角,得到邊的關(guān)系,再次利用余弦定理恰好求得角A;解法2則根據(jù)所給條件兩邊為齊次結(jié)構(gòu),恰好可以利用正弦定理邊化角,對恒等式左側(cè)利用兩角正弦的平方差公式sin2A-sin2B=sin(A+B)·sin(A-B)實(shí)現(xiàn)降次,結(jié)合和差公式逆用求得角A。

(三)求周長。

例3 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面積為5,則△ABC的周長為。

所以△ABC的周長為9+21。

試題點(diǎn)評：要求周長需先求a,c,觀察所給邊角及面積三個(gè)條件發(fā)現(xiàn)恰好可以求解a,進(jìn)而根據(jù)知三求二利用余弦定理得到邊c,從而完成周長求解。

(四)求面積。

例4 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=,a=4,角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D,其中AD=3,則△ABC的面積S△ABC=。

在△ABC中根據(jù)余弦定理可得:b2+c2-bc=112。②

聯(lián)立①②可得bc=48。故S△ABC=bcsinA =12。

試題點(diǎn)評：題目給出了含有邊的三個(gè)條件,但這三個(gè)條件是“分散”的,要想求出面積,如何將條件AD=33轉(zhuǎn)化成“有用”的條件是解題的關(guān)鍵。解法1是設(shè)法求出∠ADC的正弦值,再根據(jù)△ABC是△ABD和△ADC之和,應(yīng)用正弦定理求解;解法2則是根據(jù)S=bcsin A,綜合利用題目△ABC所給條件求出bc,從而求出面積。

第二關(guān)：求解邊、角、周長、面積的范圍與最值及判斷三角形形狀問題

(一)求邊的范圍與最值問題。

例5 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且（a2+b2-c2）（acosB+bcosA）=abc,若a+b=2,則c的取值范圍為( )。

試題點(diǎn)評：觀察所給條件中的結(jié)構(gòu)acosB+bcosA,根據(jù)射影定理得到其恰好為c,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)角化邊,自然想到利用余弦定理求解角C,再次利用余弦定理得c2=4-3ab,觀察條件a+b=2想到利用基本不等式求解最大值,結(jié)合三角形三邊關(guān)系求得周長范圍。

(二)求角的范圍與最值問題。

例6 在△ABC中,若tanA,tanB,tanC依次成等比數(shù)列,則∠B的取值范圍為。

解法1(余弦定理+基本不等式)：sinCcos2B。

解法2(正弦定理+余弦定理)：

由tan2B=tanAtanC及正弦定理得:

試題點(diǎn)評：解法1中,初看題目自然想到要進(jìn)行切角化弦,得到sin2BcosAcosC=sinAsinCcos2B,兩邊角的名稱恰好互余,只能用正弦、余弦定理繼續(xù)化簡,發(fā)現(xiàn)b2=,確實(shí)復(fù)雜,繼續(xù)進(jìn)行,再看目標(biāo)是求角B的范圍,利用余弦定理將cosB轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,柳暗花明,利用基本不等式恰好得到其范圍,進(jìn)而求得角B的范圍。

(三)求周長的范圍與最值問題。

例7 在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=1,A=2C,則△ABC的周長的取值范圍為。

(四)求面積的范圍與最值問題。

例8 在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,若a2+b2+2c2=8,則面積的最大值為。

解法3：由題意和余弦定理得8=a2+b2+2(a2+b2-2abcosC)=3(a2+b2)-4abcosC≥2ab(3-2cosC)。

試題點(diǎn)評：本題難度較大,僅僅給出邊的關(guān)系,要求面積的最大值,結(jié)合面積公式包含的元素——兩邊及其夾角的正弦,自然想到通過通過兩個(gè)定理轉(zhuǎn)化為邊或角的函數(shù),利用不等式性質(zhì)求解其最大值,或者轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,利用定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)的連線的斜率的范圍求解。

(五)三角形形狀的判定問題。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.無法確定

由圖2中A可知，添加酶的試驗(yàn)組中，辣椒堿、辣椒二氫堿和辣椒紅色素的含量均較空白組高。且由圖2中B可知，3種物質(zhì)的含量隨酶添加量的增大而增大，在酶添加量為0.3%(W/W)時(shí)，辣椒堿、辣椒二氫堿的含量達(dá)到最大值。在酶添加量為0.2%(W/W)時(shí)，辣椒紅色素的含量達(dá)到最大。分析原因可能是，當(dāng)酶添加量較低時(shí)，底物過量，酶解不完全，致使辣椒中的有效成分溶出率不高，隨著酶添加量的增加，酶解作用增加，辣椒中關(guān)鍵物質(zhì)的溶出率也隨著增加，而當(dāng)酶添加過量時(shí)，由于酶與底物的結(jié)合飽和，3種物質(zhì)的含量不會(huì)繼續(xù)增長。

試題點(diǎn)評：判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考,可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀,也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過三角變換,得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系,從而判斷三角形形狀。

第三關(guān)：多知識(shí)點(diǎn)融合問題

(一)求參數(shù)問題。

例10 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+sinB+λsinAsinB=0,且a+b=2c,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。

解：由a+b=2c結(jié)合正弦定理可得sinA+sinB=2sinC。

(二)與向量結(jié)合的問題。

例11 若G為△ABC的重心,且AG⊥BG,則sinC的最大值為。

解法1(向量夾角+基本不等式)：

試題點(diǎn)評：解法1通過賦值,結(jié)合三角形法則及直角三角形斜邊中線性質(zhì)及重心性質(zhì)巧妙構(gòu)造方程組,得到根據(jù)整體性把握,立刻會(huì)想到利用基本不等式去解決;解法2的解題思路殊途同歸,重在利用據(jù)數(shù)量積為0轉(zhuǎn)化得到結(jié)論再利用不等式解決。

(三)求比值問題。

解法2(余弦定理+余弦函數(shù)有界性)：

第四關(guān)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題

(一)求解高度問題。

圖1

例13 如圖1,飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),已知飛機(jī)所在處的海拔為20210m,速度為270m/s,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過100s后又看到山頂?shù)母┙菫?0°,則山頂?shù)暮０螢椤?/p>

圖2

答案：6710m

解析：如圖2。

AB=270×100=27

000

(m),在等腰三角形ABC中,BC=AB=27

000

試題點(diǎn)評：求解高度問題應(yīng)注意:(1)在測量高度時(shí),要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi),視線與水平線的夾角;(2)準(zhǔn)確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖;(3)運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求得問題的答案,注意方程思想的運(yùn)用。

(二)測量距離問題。

圖3

例14 如圖3所示,從氣球A測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度是60

m,則河流的寬度BC等于( )。

答案：C

圖4

試題點(diǎn)評：求解距離問題應(yīng)注意:(1)選定或確定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知?jiǎng)t直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解。(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理。

(三)解決測量角度問題。

例15 甲船在A處觀察到乙船在它北偏東60°的方向,兩船相距akm,乙船正在向北行駛,若甲船的速度是乙船的3倍,則甲船應(yīng)取北偏東θ方向前進(jìn),才能盡快追上乙船,此時(shí)θ=。

圖5

答案：30°

解析：如圖5所示,∠CAB=60°-θ,∠B=120°,設(shè)追上乙船的時(shí)間為x,則BC=x,AC=x,在△ABC中,根據(jù)正弦定理得即,解得sin(60°-θ)=,又60°-θ為銳角,所以60°-θ=30°,θ=30°。

試題點(diǎn)評：求解測量角度問題應(yīng)注意:(1)明確方位角的含義;(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步;(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用。

第五關(guān)：能力提升專訓(xùn)

2.如果不等式ksin2B+sinAsin C＞19sinBsinC對任意△ABC都成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為。

解(正弦定理+三邊關(guān)系)：

解：設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的所對的邊,由題意得b=c+1,a＞2。

所以△ABC的周長為:

4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且BC邊上的高為取得最大值時(shí),內(nèi)角A的值為。

圖6

圖7

解：先考慮一般情況,如圖8所示。

設(shè)∠PAC=α,∠PAB=β,PA=a,其中α,β為常數(shù),∠APC=x(x為變量)。

圖8

圖9

解法2(引入變量構(gòu)造方程組)：如圖9,取D,E兩點(diǎn),使AD=BD,作DE⊥AC于點(diǎn)E,設(shè)DE=3t,則CD=5t,CE=4t,AE=66t,AD=BD=15t。

解法3(利用正弦定理及積化和差公式)：

10.在△ABC中,ccosB+3bcosC=0,則角A的最大值為。

11.△ABC中,A,B,C成等差數(shù)列,a2+c2=kb2,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.等腰或直角三角形

圖10

解法2：如圖11所示,AE為△ABC外接圓的直徑。

(1)D與O不重合,則AE⊥BC,△ABC為等腰三角形;

圖11

圖12

A.2.2 B.2

C.1.8 D.1.6