李奎，李正廣，段宇，鄭淑梅，劉政君，高志成

(1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北工業(yè)大學(xué)，天津 300130;2. 河北省電磁場(chǎng)與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北工業(yè)大學(xué)，天津 300130)

0 引 言

交流接觸器是一種頻繁接通和分?jǐn)嚯娐返牡蛪嚎刂崎_關(guān)電器，在電力拖動(dòng)和自動(dòng)控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為普遍[1-2]。例如，在低壓配電系統(tǒng)中的智能控制功能[3]，以及對(duì)電機(jī)正反轉(zhuǎn)控制中，如沖床，都有很廣泛的應(yīng)用。交流接觸器在一些重要的工業(yè)場(chǎng)合有大量應(yīng)用，操作較為頻繁。交流接觸器每次開斷會(huì)引起機(jī)械應(yīng)力和電應(yīng)力的損耗，隨著損耗的持續(xù)累積，當(dāng)達(dá)到失效閾值時(shí)接觸器工作異常，可能會(huì)引起設(shè)備的意外停運(yùn)甚至損壞。因此研究接觸器的壽命狀態(tài)對(duì)提高用電設(shè)備的安全運(yùn)行水平有重要意義[4]。

可以通過預(yù)測(cè)產(chǎn)品的剩余壽命，來判斷其壽命狀態(tài)。目前，在開關(guān)電器剩余壽命預(yù)測(cè)方面國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了很多研究，也取得了很多的成果。近些年來，人工智能算法在設(shè)備狀態(tài)評(píng)估方面取得了很大的突破[5-7]，文獻(xiàn)[5]以繼電器的超程時(shí)間和吸合時(shí)間為輸入量，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法建立繼電器剩余壽命預(yù)測(cè)模型，對(duì)歸一化處理后的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，通過訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)，結(jié)果預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較小。該方法的特點(diǎn)是無需進(jìn)行條件假設(shè)和建立統(tǒng)計(jì)模型，直接輸入數(shù)據(jù)就可以預(yù)測(cè)出剩余壽命。另外，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法也可以對(duì)開關(guān)電器進(jìn)行研究分析[8]。文獻(xiàn)[8]首先得到HH52P型繼電器的超程時(shí)間，將數(shù)據(jù)分區(qū)處理并融入超程時(shí)間回歸模型中，將動(dòng)作次數(shù)N作為回歸變量，將預(yù)測(cè)變量Y作為因變量，建立兩者的回歸退化模型，得到超程時(shí)間的時(shí)序特征，實(shí)現(xiàn)繼電器壽命預(yù)測(cè)。此外，在非開關(guān)電器方面有學(xué)者建立了基于Wiener過程的性能退化模型[9]，如文獻(xiàn)[9], 以電子產(chǎn)品為例，利用自助法(Bootstrap)獲取先驗(yàn)數(shù)據(jù)并確定退化模型參數(shù)的先驗(yàn)分布，由貝葉斯方法融合退化數(shù)據(jù)確定后驗(yàn)估計(jì)，最后由剩余壽命分布確定該電子產(chǎn)品的剩余壽命。該方法適用于非單調(diào)性能退化的過程，對(duì)單調(diào)變化的退化量可以用Gamma過程來描述。利用人工智能算法進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)的關(guān)鍵在于樣本輸入量的選擇和預(yù)測(cè)模型的建立，且其性能好壞會(huì)受樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量的影響，需要較多的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練；基于概率統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)方法的重點(diǎn)是根據(jù)隨機(jī)過程建立數(shù)據(jù)模型，與人工智能的預(yù)測(cè)方法相比較，基于概率統(tǒng)計(jì)還可以得到預(yù)測(cè)結(jié)果的概率密度函數(shù)以及可靠度，更容易理解其求解的過程。

產(chǎn)品發(fā)生失效與其性能參數(shù)逼近極限狀態(tài)有關(guān)，而產(chǎn)品性能參數(shù)逼近極限狀態(tài)，通常是一個(gè)演變過程，可用隨機(jī)過程建模的方式對(duì)其壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)[10]。Gamma過程模型是較為常用的隨機(jī)過程建模方法，該過程模型是建立在Gamma分布的基礎(chǔ)上，適用于描述連續(xù)腐蝕、磨損、疲勞等形式退化量漸變的過程。從交流接觸器的失效機(jī)理來看，交流接觸器每次開斷產(chǎn)生的電弧會(huì)對(duì)觸頭系統(tǒng)造成一定的磨損，當(dāng)觸頭系統(tǒng)磨損量累積達(dá)到失效閾值時(shí)會(huì)發(fā)生退化失效。觸頭系統(tǒng)的磨損量和燃弧的能量密切相關(guān)，因此可以利用燃弧侵蝕量作為交流接觸器性能退化參數(shù)[11]，來反映觸頭系統(tǒng)磨損的累積。交流接觸器每次的燃弧侵蝕量是獨(dú)立同分布，可以通過中心極限定理使其累積燃弧侵蝕近似服從正態(tài)分布。在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中的多種分布模型很多是相互聯(lián)系，甚至可以相互轉(zhuǎn)化的。Gamma分布曲線較為靈活，其參數(shù)α、β數(shù)值的不同可以包括指數(shù)分布、正態(tài)分布以及其它曲線等，在醫(yī)藥、天文、航海等多種領(lǐng)域有十分廣泛的應(yīng)用[12-13]。Gamma過程模型在性能退化的可靠性建模中已得到了非常廣泛的研究和應(yīng)用。Yuan將Gamma過程應(yīng)用于核電站元件的退化過程建模中[14]，為性能退化的核電站元件壽命的預(yù)測(cè)提供了更多的科學(xué)依據(jù)，并開發(fā)了一套用于校準(zhǔn)模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法；Lawless和Crowder將協(xié)變量情形的Gamma過程應(yīng)用到金屬裂紋生長(zhǎng)的建模當(dāng)中[15]。

在基于概率統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)方法中，Gamma過程更適用于單調(diào)、非負(fù)增長(zhǎng)的退化軌跡[13]，可以較好地反映退化過程中的不確定性，且可以給出退化系統(tǒng)的剩余壽命以及剩余壽命分布概率密度，在工程實(shí)際中有指導(dǎo)意義。文中通過直方圖、皮爾遜卡方檢驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖證明了可以利用Gamma過程模型對(duì)交流接觸器建立退化模型。最后，利用該模型對(duì)其進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)，并作出了誤差分析。

1 基于Gamma過程的剩余壽命模型

1.1 Gamma分布

如果一元連續(xù)隨機(jī)過程X(t)滿足：

(1)X(0)=0；

(2)X(t)有相互獨(dú)立增量，即在任意時(shí)間區(qū)間[t1，t2]，[t3，t4]，且t1

(3)從t到t+Δt時(shí)刻，增量ΔX=X(t+Δt)-X(t)服從Gamma分布，即：ΔX～Gamma(α(t+Δt)-α(t),β)；

那么稱{X(t),t≥0}這個(gè)隨機(jī)過程服從Gamma(α(t),β)分布[16]，其中α(t)為其形狀參數(shù)，β為其尺度參數(shù)。期望與方差分別為α(t)β，α(t)β2。

Gamma分布密度函數(shù)是：

(1)

將產(chǎn)品的失效閾值記為L(zhǎng)，失效時(shí)間記為T，當(dāng)退化過程到達(dá)預(yù)先設(shè)定的產(chǎn)品失效閾值L時(shí)，即：

T=inf{t|X(t)=L;t≥0}

(2)

失效時(shí)間T的分布函數(shù)：

(3)

失效概率密度函數(shù)為：

η(α(t))}zα(t)-1e-zdz

(4)

式中η(α)=?！?t)/Γ(t)=?logΓ(α)/?α,α>0。

1.2 參數(shù)估計(jì)

對(duì)模型當(dāng)中的未知參量進(jìn)行估計(jì)，α(t)是形狀參數(shù)，描述預(yù)測(cè)變量對(duì)產(chǎn)品性能的影響，一般情況下取α(t)=kt，轉(zhuǎn)換成了對(duì)k、β進(jìn)行估計(jì)[17]。假設(shè)試驗(yàn)中有m個(gè)樣品，對(duì)每個(gè)樣品進(jìn)行n次測(cè)試，Xij(i=1，2，…m，j=1，2，…n)表示第i個(gè)樣品第j次測(cè)得的累積退化數(shù)據(jù)。特征參數(shù)退化量的增量Δxij=xi(j+1)-xij服從Gamma分布，用極大似然估計(jì)的方法對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，公式如下：

(5)

由公式(5)分別對(duì)k和β求偏導(dǎo)并等于零可以列出似然函數(shù)方程組，從而可以求出k、β的估計(jì)值。求出參數(shù)估計(jì)值之后，再通過公式(3)可以求出失效時(shí)間分布函數(shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中該方法求解出的失效時(shí)間分布函數(shù)比較復(fù)雜，不易處理。為了避免這個(gè)難題，可以利用B-S(Birnbaum-Saunders)分布的方法來逼近壽命T的分布[18]，并將L用L-L0代替，可得到剩余失效時(shí)間分布公式：

(6)

式中 Ф(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；c=(β/(L-L0))1/2；d=(L-L0)/kβ；L0為試品運(yùn)行到T0時(shí)刻時(shí)燃弧累積侵蝕量。概率密度函數(shù)為：

(7)

進(jìn)而得到服從Gamma分布的試品剩余壽命：

(8)

2 實(shí)例分析

2.1 交流接觸器電性能退化模型

交流接觸器電性能退化失效機(jī)理主要是由于觸頭系統(tǒng)達(dá)到了系統(tǒng)所能承受的電弧電流的侵蝕量而失效，大量文獻(xiàn)表明侵蝕量與i2t成正比[19-20]，并且呈線性增加。在交流正弦電流下，不考慮其它因素對(duì)交流接觸器壽命的影響，觸頭單次動(dòng)作產(chǎn)生侵蝕量定義為：

(9)

式中ej為觸頭第j次分?jǐn)喈a(chǎn)生的電弧侵蝕量；λ為電弧侵蝕常數(shù)，大小受到觸頭材料、結(jié)構(gòu)及滅弧系統(tǒng)的影響；j=1,2,3…n為觸頭開斷次數(shù)；ij表示第j次的分?jǐn)嚯娏?。交流電弧電流的熄滅是在電流過零點(diǎn)，不考慮電弧重燃的現(xiàn)象，若φj為起弧相角，在相角π處滅弧，則求積分為：

(10)

2.2 交流接觸器電壽命仿真預(yù)測(cè)

根據(jù)交流接觸器動(dòng)作的特點(diǎn)，可以對(duì)其每次的標(biāo)幺值進(jìn)行模擬仿真。利用Monte-Carlo方法可以對(duì)起弧相角為隨機(jī)分?jǐn)喾绞较碌碾妷勖囼?yàn)過程進(jìn)行模擬仿真，仿真出三組數(shù)據(jù)，分別看做三個(gè)試品各自觸頭中首次達(dá)到失效閾值那一相的電弧侵蝕數(shù)據(jù)。

隨機(jī)分?jǐn)嘞嘟窍路抡娣椒ㄈ缦拢?/p>

(1)在(0,π)上產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)相角φj；

(2)通過公式(10)計(jì)算觸頭的電弧侵蝕量ej；

(3)計(jì)算觸頭的累積磨損量Ej，當(dāng)Ej小于閾值L時(shí)，重復(fù)上述步驟；當(dāng)Ej大于等于閾值L時(shí)，跳出程序，該結(jié)果即交流接觸器的電壽命；

(4)將前3個(gè)步驟重復(fù)三次，可以得到三臺(tái)試品的電壽命仿真數(shù)據(jù)，流程圖如圖1，表1為累積電弧侵蝕量仿真數(shù)據(jù)。

圖2為不同參數(shù)下Gamma分布的形狀曲線，由圖可以看出當(dāng)α與β的比值較大時(shí)Gamma分布密度曲線近似于正態(tài)分布。

用Gamma分布密度曲線與交流接觸器累積電弧侵蝕量仿真數(shù)據(jù)頻率直方圖進(jìn)行擬合，并通過皮爾遜卡方檢驗(yàn)法和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖來證明Gamma分布對(duì)交流接觸器性能退化過程建模的實(shí)用性。根據(jù)交流接觸器累積燃弧仿真數(shù)據(jù)可以做出頻率直方圖，并畫出Gamma分布密度函數(shù)曲線，如圖3所示。

圖1 仿真過程流程圖

表1 交流接觸器累積電弧侵蝕量仿真數(shù)據(jù)

圖2 Gamma分布圖

圖3 Gamma分布、正態(tài)分布頻率直方圖

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷中的一類重要問題，皮爾遜χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可以反映實(shí)際數(shù)據(jù)與原假設(shè)分布之間擬合的優(yōu)劣程度，根據(jù)分組結(jié)果計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即：

(11)

表2 皮爾遜卡方檢驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是根據(jù)樣本得到的分布函數(shù)，通過計(jì)算累積分布函數(shù)，收斂到概率1，計(jì)算公式為式(12)。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖是階梯狀圖形，反映了樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)分布情況，將接觸器累積電弧侵蝕的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖和Gamma分布函數(shù)曲線疊放在一起，可以看出Gamma分布與仿真數(shù)據(jù)的擬合程度。

(12)

式中x(1)，x(2)，…，x(l)，為累積侵蝕量從小到大的排序：x(1)≤x(2)≤…≤x(l)，如圖4為三個(gè)試品經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和Gamma分布函數(shù)擬合圖。

仿真數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布曲線和Gamma分布函數(shù)曲線擬合程度很好，幾乎完全重合，進(jìn)一步說明可以用Gamma過程對(duì)交流接觸器性能退化過程進(jìn)行建模，并進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)方法如下：

利用單個(gè)試品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立剩余壽命預(yù)測(cè)模型，以試品1為例。試品1的壽命為30 089次，三個(gè)試品失效閾值均為H=150，對(duì)試品進(jìn)行實(shí)時(shí)壽命預(yù)測(cè)，并進(jìn)行誤差分析。根據(jù)極大似然函數(shù)方程組可以估算出Gamma分布參數(shù)α、β，再由公式(7)、公式(8)預(yù)測(cè)出剩余壽命如表3。表3為在相應(yīng)的動(dòng)作次數(shù)階段進(jìn)行的壽命預(yù)測(cè)。

圖4 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和Gamma分布函數(shù)圖

表3 試品1預(yù)測(cè)參數(shù)及剩余壽命

當(dāng)試品1運(yùn)行到30 000次時(shí)，應(yīng)用概率密度函數(shù)即公式(7)，預(yù)測(cè)出的剩余電壽命為92，如圖5所示。此時(shí)，試品1的實(shí)際剩余壽命為89次，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值只相差3次。

圖5 試品1剩余壽命概率密度函數(shù)

對(duì)三個(gè)試品進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)及相對(duì)誤差計(jì)算，畫出相對(duì)誤差圖，如圖6所示，其中相對(duì)誤差計(jì)算公式為：

由圖6可以看出，相對(duì)誤差曲線比較平穩(wěn)，在接近其壽命終結(jié)時(shí)相對(duì)誤差會(huì)有一個(gè)明顯的上升趨勢(shì)。這是因?yàn)楫?dāng)動(dòng)作次數(shù)越接近其壽命終結(jié)時(shí)，分母上的實(shí)際剩余壽命急劇下降，此時(shí)相對(duì)誤差會(huì)大大增加。由圖可知，相對(duì)誤差較為平穩(wěn)且?guī)缀醵荚?0%以下，滿足了工程的需求，接近交流接觸器的實(shí)際壽命，提高了其剩余壽命的預(yù)測(cè)精度。

圖6 剩余壽命預(yù)測(cè)相對(duì)誤差

3 結(jié)束語

交流接觸器在工業(yè)及電機(jī)控制等領(lǐng)域的發(fā)展中具有很重要的作用。利用交流接觸器累積燃弧侵蝕量的仿真數(shù)據(jù)建立了基于Gamma過程的剩余壽命模型，并得出以下結(jié)論：

(2)通過分析相對(duì)誤差曲線，得出相對(duì)誤差比較平穩(wěn)且?guī)缀醵荚?0%以下，極個(gè)別結(jié)果在20%以下，滿足工業(yè)發(fā)展的要求，提高了交流接觸器剩余壽命的預(yù)測(cè)精度；

(3)只論述了用Gamma分布對(duì)累積燃弧侵蝕量的擬合以及剩余壽命預(yù)測(cè)的過程，下一步的工作將是利用正態(tài)分布與Gamma分布分別對(duì)交流接觸器剩余壽命預(yù)測(cè)效果的比較。