董朝陽, 馬鳴宇,2, 王 青, 周 敏

(1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100191; 2.北京電子工程總體研究所, 北京 100854; 3. 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191; 4. 北京仿真中心航天系統(tǒng)仿真重點實驗室, 北京 100854)

0 引 言

多航天器姿態(tài)協(xié)同是通過航天器之間的信息交互設計恰當的協(xié)同控制律,以使得各航天器姿態(tài)保持一致[1]。在航天器控制領域,姿態(tài)協(xié)同是很多應用的一個基本問題,具有重要的研究意義:多顆小衛(wèi)星的協(xié)同工作需要對衛(wèi)星間的相對姿態(tài)進行協(xié)調,以此可以完成復雜的任務,具有成本低、研制周期短、應用方式靈活等優(yōu)點[2];同時,在航天器交會對接、衛(wèi)星捕獲等航天作業(yè)中,姿態(tài)協(xié)同也是一項關鍵技術[3]。因此,多航天器系統(tǒng)姿態(tài)的協(xié)同控制的研究受到越來越多的關注[4-5]。協(xié)同控制一種分布式的控制方法,通?？梢苑譃椴捎谩爸?從”(leader-following)和無主(leaderless)結構的方法[6-8]?！爸?從”結構的理論證明相對簡單,也取得了很多研究成果。但其方法需要利用主航天器的狀態(tài),主航天器的失效會造成整個系統(tǒng)無法運行。無主結構的協(xié)同控制[9-10]不依賴某個特定航天器,降低了對拓撲結構的要求,更具有一般性,多航天器具體任務及應用可以在此方法基礎上發(fā)展得到。

多航天器系統(tǒng)模型由每個航天器的姿態(tài)描述和相互之間的拓撲組成。需要注意的是,在現有的大部分文獻中,對航天器姿態(tài)均采用俯仰/偏航/滾轉通道模型或四元數描述模型,存在一定的局限性:姿態(tài)方程在歐拉角360°大范圍變化時會存在奇異問題,導致基于這種模型設計的控制器也只適用于某個范圍內。四元數的姿態(tài)表示方法避免了奇異性,但四元數到旋轉矩陣的映射是雙重覆蓋的,不具有唯一性,用于控制時可能導致姿態(tài)散開,引起系統(tǒng)性能下降[11-12]。為了避免這些問題,相關文獻提出了基于特殊正交群SO(3)的姿態(tài)建模與控制方法[13-15]。采用SO(3)方法能夠從整體的角度對姿態(tài)進行描述,從而使模型得到簡化。同時,姿態(tài)與旋轉矩陣是一一對應的,相比傳統(tǒng)歐拉角區(qū)分通道設計的方法更為統(tǒng)一,且不存在姿態(tài)奇異問題,更適用于多航天器的協(xié)同控制。針對單個飛行器,文獻[16]研究了SO(3)上全局鎮(zhèn)定問題,并給出了其在姿態(tài)跟蹤控制中的應用。文獻[17]研究了面向無人機的SO(3)滑模變結構姿態(tài)控制器,實現了對無人機的大角度跟蹤。在多個體控制方面,文獻[18]提出了多剛體的姿態(tài)運動SO(3)協(xié)同控制,但要求通信拓撲是雙向的。

在實際的多航天器系統(tǒng)中,由于通信線路的負載、信息交互的不對稱性及傳輸速度的限制,航天器之間的通信拓撲是有向的。同時,通信時滯也很難避免,而時滯的出現會影響整體的協(xié)同性能,甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[19]。因此,在協(xié)同控制設計過程中,有必要考慮通信拓撲的有向性以及通信時滯的影響。對于時滯系統(tǒng)的控制問題,文獻[20]研究了無向拓撲下衛(wèi)星編隊姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制,采用一階濾波器來設計存在通信時滯的輸出反饋控制器;文獻[21]提出了魯棒濾波器來補償系統(tǒng)的輸入時滯,并在四旋翼無人機姿態(tài)控制中進行了應用,但是這種方法需要姿態(tài)小角度假設;文獻[22]研究了“主-從”拓撲形式下存在時滯的衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制;文獻[23]基于反步法提出了航天器姿態(tài)時滯控制方法,在強連通拓撲的條件下使得系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

需要注意的是,在現有的文獻中采用SO(3)的姿態(tài)控制方法還比較少,且大多集中在個體飛行器,對于多飛行器SO(3)協(xié)同控制的研究還比較有限,同時沒有考慮存在時滯情況下的設計與穩(wěn)定性分析問題。文獻[18]提出的方法不僅要求通信為雙向的,也很難直接應用于存在時滯的情形。為此,本文針對含有通信時滯的多航天器系統(tǒng),在有向拓撲的環(huán)境下提出了基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制方法。由于SO(3)與傳統(tǒng)姿態(tài)描述不同,文中首先對SO(3)上的協(xié)同指令進行了研究,根據通信拓撲結構提出了旋轉矩陣形式的姿態(tài)指令。在此基礎上,利用SO(3)形式誤差設計標稱控制器,提出采用補償濾波器來處理系統(tǒng)中的時滯狀態(tài),共同構造了協(xié)同控制器,證明了多航天器能夠實現姿態(tài)協(xié)同。文中使用包含5個航天器的控制系統(tǒng)對所提方法進行了仿真,仿真結果與理論分析相符,驗證了基于SO(3)協(xié)同控制方法的有效性。

1 多航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)模型建立

1.1 航天器姿態(tài)運動SO(3)模型

在三維空間中,本體坐標系與慣性系之間的旋轉變換可以用一個正交變換矩陣R來表示,所有的正交變換矩陣構成了SO(3)群:

SO(3)={R∈R3×3|RRT=I3,detR=1}

(1)

任意姿態(tài)都對應一個矩陣R∈SO(3)。因此,航天器的姿態(tài)就可以用SO(3)中對應的元素R來表示。令Ω=[ω1ω2ω3]T,定義運算

(2)

為hat映射。hat映射的逆運算∨稱為vee映射,其將任意三維反對稱陣映射為三維向量,即

ω1ω2ω3]T

(3)

基于上述分析,建立航天器i的姿態(tài)運動方程為

(4)

1.2 航天器通信拓撲描述

2 基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同指令設計

(5)

(6)

(7)

在得到設計的姿態(tài)指令信號Rdi后,定義SO(3)中的相對姿態(tài)誤差和角速度誤差為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

同時,根據SO(3)的性質可知,有如下關系成立:

(14)

(15)

3 多航天器協(xié)同控制器設計

3.1 SO(3)協(xié)同控制器

在完成姿態(tài)指令設計后,本節(jié)提出了基于SO(3)的航天器協(xié)同控制器以完成對指令的跟蹤,同時實現姿態(tài)一致。

根據式(9)和式(15),航天器i的誤差方程可以表示為

(16)

進而設計如下形式的姿態(tài)協(xié)同控制器:

Mi(t)=ui(t)+ufi(t)

(17)

(18)

式中

Ξi+Δi+ufi+ui=

-kRieRi-kΩ ieΩ i+Δi+ufi

(19)

(20)

于是,記Gi(s)=Fi(s)(I3-Fi(s))-1,最終得到補償控制器為

ufi=-Gi(s)(JiseΩ i+kRieRi+kΩ ieΩ i)

(21)

3.2 姿態(tài)協(xié)同穩(wěn)定性分析

將補償濾波器Fi(s)表示成狀態(tài)空間形式可得

(22)

式中

k=1,2,3;b=[1 0]T;c=[1 0]T

Δi-kRiBReRi

(23)

式中

引理2[13]記函數

(24)

則Ψ(Ri,Rdi)的下界可表示為

(25)

下面給出關于協(xié)同穩(wěn)定性的結論。

定理1考慮N個航天器組成的系統(tǒng)(4),其通信拓撲由L給出且通信存在時滯τi(i=1,2,…,N)。若拓撲包含生成樹,那么根據所設計的姿態(tài)協(xié)同指令式(10)～式(12)和控制器式(17),多航天器系統(tǒng)是穩(wěn)定的且能夠實現姿態(tài)協(xié)同。

證明選取Lyapunov函數為

(26)

首先證明V1i的正定性。易知

(27)

(28)

記zi=[‖eRi‖‖eΩ i‖]T,結合引理2可知

(29)

(30)

V1i中的第3項的導數為

(31)

同時,由式(18)可知

(32)

(33)

式中,kδ、δi為某正常數。進一步通過式(17)、式(18)和式(33)可得

(34)

根據以上分析,V1i對時間t求導數可得

≤

(35)

將式(35)進行化簡,記

(36)

(37)

則有

≤-μ1‖eRi‖2-(k-κ3)‖xfi(t)‖2+

(38)

再選取Lyapunov函數V2i為

(39)

(40)

進而,對V2i求導數并進行化簡得到

(41)

式中

(42)

(43)

(44)

≤-μ1‖eRi‖2-μ2‖eΩ i‖2-(k-κ3)‖xfi(t)‖2-

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

證畢

注4通過航天器建模(4)和控制器(17)設計過程可以看出,提出的SO(3)協(xié)同控制方法允許各航天器的參數是不同的,即適用于航天器異構的情況。

4 多航天器協(xié)同控制仿真驗證

在本節(jié)中,考慮由5個航天器組成的系統(tǒng),對所設計的協(xié)同控制方法進行仿真。各個航天器的參數和初始條件如表1所示。

表1 航天器參數和初始條件

初始姿態(tài)對應的R陣為

航天器之間的通信拓撲如圖1所示。對應的邊的權重為a14=1,a23=1,a32=0.3,a35=0.7,a41=0.5,a43=0.5,a51=1。通信時滯設置為0.1 s。由此可以通過式(10)～式(12)得到姿態(tài)協(xié)同指令。

圖1 航天器通信拓撲Fig.1 Communication topology between spacecraft

在姿態(tài)協(xié)同控制器中,選取kRi=5,kΩ i=12.5,Ffi=diag{10,10,10}。在協(xié)同控制系統(tǒng)設計與仿真的過程中均使用的是基于SO(3)的方法,采用選擇矩陣R對姿態(tài)進行描述。在圖2～圖4中為了便于結果呈現,將R轉換成俯仰、偏航、滾轉角度進行表示。由圖2～圖4可知,在各個航天器姿態(tài)初始值相差較大的情況下,仿真開始后能夠以較快的速度收斂到共同值,實現了姿態(tài)協(xié)同。

圖2 多航天器俯仰角變化曲線Fig.2 Illustration of the pitch angles of spacecrafts

圖3 多航天器偏航角變化曲線Fig.3 Illustration of the yaw angles of spacecrafts

圖4 多航天器滾轉角變化曲線Fig.4 Illustration of the roll angles of spacecrafts

為了具體描述協(xié)同誤差的收斂情況,在仿真中定義:

(50)

圖5 協(xié)同誤差和跟蹤誤差收斂曲線Fig.5 Illustration of the consensus and tracking errors

進一步為了說明控制輸入的變化,文中在圖6和圖7中以航天器4和航天器5為例,給出了其控制力矩曲線,其他航天器控制輸入與此相似。由仿真結果可知,提出的控制器保證了姿態(tài)協(xié)同和系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在時滯存在的情況下能夠滿足設計要求,基于SO(3)的姿態(tài)協(xié)同控制是有效的。

圖6 航天器4的控制輸入Fig.6 Control inputs of the 4th spacecraft

圖7 航天器5的控制輸入Fig.7 Control inputs of the 5th spacecraft

5 結 論

本文研究了多航天器系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)同問題,在考慮通信拓撲為有向圖且存在時滯的情形下,提出了基于SO(3)的協(xié)同控制方法。相比傳統(tǒng)俯仰、偏航和滾轉區(qū)分通道或四元數的表示形式,文中采用SO(3)中的旋轉矩陣建立了航天器姿態(tài)協(xié)同控制模型。進一步,利用相鄰航天器的狀態(tài)信息,給出了SO(3)相對姿態(tài)誤差的定義和協(xié)同指令設計方法。在此基礎上,采用濾波器對系統(tǒng)通信時滯進行了補償,設計了SO(3)協(xié)同控制器實現對指令的跟蹤,保證多航天系統(tǒng)姿態(tài)達到一致。提出的方法允許航天器是異構的,更符合實際的工程應用,而通過指定“主航天器”、加入特定跟蹤指令等方法,本文研究的協(xié)同控制方法也可以推廣到姿態(tài)指向協(xié)同和同步跟蹤地面點等具體應用情形。仿真結果驗證了提出的基于SO(3)的協(xié)同控制方法的有效性。