徐 穎，黃天民，胡忠雪，曾 莊

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756)

0 引 言

1965年，美國(guó)加利福尼亞大學(xué)控制論教授Zadeh[1-2]首先發(fā)表了題為《模糊集》的論文。但模糊集僅通過(guò)隸屬度刻畫論域中某元素對(duì)于某集合的隸屬程度，過(guò)于單一且不能描述具有非此非彼性的問(wèn)題。于是，在模糊集的基礎(chǔ)上，1986年，保加利亞學(xué)者Atanassov[3]提出直覺模糊集，增加了一個(gè)新的屬性參數(shù)—非隸屬度，更細(xì)膩地去描述模糊概念，既突破了傳統(tǒng)的二值邏輯束縛又可以描述具有非此非彼性的問(wèn)題。直覺模糊集成為處理和描述具有不確定性和未知性問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。

直覺模糊熵是度量直覺模糊集不確定性和未知性的重要工具。1996年，Burillo[4]等首先提出用直覺模糊熵來(lái)刻畫直覺模糊集的不確定性和未知性。2001年，Szmidt[5]等利用距離度量，提出另一種直覺模糊熵的計(jì)算公式。隨后，王毅[6]等發(fā)展了Szmidt直覺模糊熵。2006年，Zeng[7]等基于相似度量，提出了直覺模糊熵的計(jì)算公式。2009年，彭芳艷[8]等基于不確定度和未知度，提出了直覺模糊熵的計(jì)算公式。后來(lái)，許多學(xué)者又相繼提出了新的直覺模糊熵[9-18]。雖然諸多學(xué)者提出了直覺模糊熵的計(jì)算公式，但一些計(jì)算公式存在一定的局限性。

本文利用余弦函數(shù)構(gòu)造直覺模糊熵的計(jì)算公式，驗(yàn)證該公式滿足直覺模糊熵公理化定義。最后將所提出的公式與現(xiàn)有的直覺模糊熵公式應(yīng)用于實(shí)例，說(shuō)明所提出公式的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[13]設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉為直覺模糊集IFSs，其中uAxi和vAxi分別為X中元素xi關(guān)于A的隸屬度和非隸屬度，即uA:X→0,1,xi∈X→uAxi∈0,1,vA:X→0,1,xi∈X→vAxi∈0,1,且滿足條件0≤uAxi+vAxi≤1。

定義2[13]設(shè)X中的任一直覺模糊集，若πAxi=1-uAxi-vAxi,xi∈X,則稱πAxi為元素xi屬于A的猶豫度或者不確定度，顯然0≤πAxi=1-uAxi-vAxi≤1,xi∈X。

定義3[11]實(shí)值函數(shù)E:IFSsX→0,1稱為直覺模糊熵，若滿足如下公理化要求：

1)EA=0?A是分明集；

2)EA=1?uAxi=vAxi=0,?xi∈X;

3)EA=EAC;

5)當(dāng)πAxi=πBxi時(shí)，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,?xi∈X,或當(dāng)πAxi=πBxi時(shí)，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,?xi∈X,πAxi≥πBxi,則EA≥EB。

2 直覺模糊熵計(jì)算公式

根據(jù)公理化定義3，定義如下的直覺模糊熵計(jì)算公式：設(shè)A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉,A∈IFSsX,X=x1,x2,…,xm,

(1)

直覺模糊熵是度量直覺模糊集不確定性和未知性的重要工具。該計(jì)算公式通過(guò)隸屬度與非隸屬的絕對(duì)值來(lái)刻畫直覺模糊集的不確定性對(duì)直覺模糊熵的影響，通過(guò)猶豫度來(lái)刻畫直覺模糊集的未知性對(duì)直覺模糊熵的影響，較全面地度量了直覺模糊集的模糊性。而且利用余弦函數(shù)來(lái)構(gòu)造直覺模糊熵的計(jì)算公式較容易體現(xiàn)出隸屬度和非隸屬的絕對(duì)值不變時(shí)，直覺模糊熵是關(guān)于猶豫度的增函數(shù)；在猶豫度不變時(shí)，直覺模糊熵是關(guān)于隸屬度和非隸屬的絕對(duì)值的減函數(shù)。

定理1 式(1)E(A)是一個(gè)直覺模糊熵。

3 與現(xiàn)有直覺模糊熵的比較

例1[11]設(shè)有直覺模糊集A1=〈x,0.1,0.9〉x∈X,A2=〈x,0.1,0.7〉x∈X,A3=〈x,0.2,0.7〉x∈X,A4=〈x,0.1,0.5〉x∈X,A5=〈x,0.2,0.5〉x∈X,A6=〈x,0.2,0.4〉x∈X,

A7=〈x,0.4,0.5〉x∈X,A8=〈x,0.3,0.4〉x∈X,A9=〈x,0.3,0.3〉x∈X,A10=〈x,0.5.0.5〉x∈X,A11=〈x,0,0〉x∈X。用文獻(xiàn)[11]和[12]以及本文的直覺模糊熵計(jì)算公式對(duì)直覺模糊集的不確定性和未知性進(jìn)行度量，得到的結(jié)果如表1所示。

表1 三種直覺模糊熵計(jì)算結(jié)果的比較

通過(guò)分析數(shù)據(jù)可知，文獻(xiàn)[11]的方法無(wú)法區(qū)分直覺模糊集A4，A5，A7，文獻(xiàn)[17]改進(jìn)的直覺模糊熵計(jì)算公式是文獻(xiàn)[11]的推廣，于是文獻(xiàn)[17]中的計(jì)算公式也存在局限性；文獻(xiàn)[12]的方法在區(qū)分A7，A8時(shí)，A7的直覺模糊熵比A8的直覺模糊熵要大，不符合實(shí)際也不符合直覺，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法能夠較好地對(duì)直覺模糊集的不確定性和未知性進(jìn)行度量。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)直覺模糊熵公理化要求，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)優(yōu)勢(shì)，提出直覺模糊熵的計(jì)算公式。通過(guò)實(shí)例對(duì)比文獻(xiàn)[11]和[12]中的直覺模糊熵計(jì)算公式，可以發(fā)現(xiàn)本文所提出的直覺模糊熵公式能夠更好地度量直覺模糊集的不確定性和未知性。但在公理化定義的規(guī)范化上，研究還不夠深入，需進(jìn)一步完善。