陳峰， 何廣軍

(空軍工程大學 防空反導學院， 陜西 西安 710051)

0 引言

低空目標攔截問題一直是世界各國防空領(lǐng)域的難題。超低空目標與地面、海面介質(zhì)間的電磁耦合作用形成的多徑效應(yīng)會導致雷達導引頭俯視跟蹤超低空目標時，接收的回波信號出現(xiàn)起伏閃爍，從而引起角速率跟蹤的不穩(wěn)定性，嚴重影響攔截精度，因此提高對低空目標的攔截性能意義重大[1-2]。近年來，通過對相關(guān)技術(shù)的研究跟蹤發(fā)現(xiàn)，對抗多徑、抑制雜波的根本途徑，是通過設(shè)計布儒斯特彈道，使雷達導引頭沿著最佳的彈目視線角，即布儒斯特角跟蹤目標，可從源頭上凈化雷達導引頭接收的多徑信號[2-3]。制導律中比例導引(PN)律應(yīng)用最為成熟[4]，文獻[5]基于燃料最省的原則設(shè)計了滿足終端速度約束的最優(yōu)制導律。但以上制導律的抗干擾性能較差，無法對雜波環(huán)境下的低空目標進行有效攔截。滑?？刂朴捎诰哂辛己玫聂敯粜院涂垢蓴_性能而被廣泛關(guān)注[6-7]。但一般線性滑模(LSM)控制只具有漸進的收斂特性[8-9]。為此，相關(guān)學者提出了具有有限時間收斂特性的終端滑模(TSM)控制[10-11]。但TSM控制存在兩個固有缺陷：一是容易產(chǎn)生奇異問題，二是收斂速度較慢。為了解決奇異問題，文獻[12-14]中專家相繼提出了非奇異終端滑模(NTSM)控制；為了解決收斂速度慢的問題，Zhang等[15]和Boonsatit等[16]又相繼提出了快速終端滑模(FTSM)控制?？墒沁@兩種終端滑?？刂茻o法同時解決上述兩個問題。

本文基于TSM控制的思想，設(shè)計出一種非奇異快速終端滑模(NFTSM)制導律，既解決了NTSM控制收斂速度慢的問題，又解決了FTSM控制易奇異的問題。同時，為了解決實際工程中目標機動加速度難以準確獲得的問題，設(shè)計了滑模擾動觀測器(SMDO)來估計目標加速度。引入觀測器的估計值和帶開關(guān)系數(shù)的符號函數(shù)，設(shè)計出一種復(fù)合非奇異快速終端滑模(CNFTSM)制導律。通過Lyapunov理論分析，將該復(fù)合制導律應(yīng)用于對超低空目標的攔截中，可保證彈目視線角在有限時間內(nèi)快速收斂至環(huán)境所對應(yīng)的布儒斯特角，從而降低多徑干擾對角速率測量和目標加速度估計的影響，保證攔截末端視線角速率穩(wěn)定在0附近。仿真結(jié)果表明，該復(fù)合制導律具有理想的超低空攔截性能，且收斂特性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模制導律。

1 布儒斯特角與超低空攔截

1.1 布儒斯特角

關(guān)于布儒斯特角，隋棟訓等[17]作了持續(xù)和深入的跟蹤研究，并從電磁散射理論的角度對其原理進行了剖析。布儒斯特角在防空導彈雷達導引頭中定義為雷達導引頭俯視探測超低空環(huán)境時，多徑干擾強度最小的視線角，如圖1所示。

由圖1可以看出，不同環(huán)境下的布儒斯特角是不同的，海洋和土壤環(huán)境在10°左右，沙漠環(huán)境在30°左右。

1.2 超低空攔截模型

超低空目標的飛行高度低，同時受地球曲率影響具有難被探測發(fā)現(xiàn)的特點，攔截彈需要從一定高空對目標俯沖攻擊，從而擴大雷達導引頭的視野范圍?？苟鄰礁蓴_的關(guān)鍵是控制雷達導引頭沿著布儒斯特角跟蹤目標，故只對縱向平面的攔截模型進行分析，如圖2所示。圖2中：vM、vT分別代表攔截彈與目標的速度；攔截彈和目標的彈道傾角分別為θM、θT；R為彈目相對距離；q為彈目視線角(規(guī)定圖2中的角度以逆時針方向為正)。

假設(shè)攔截彈與目標的速度大小為常量，則導彈與目標的相對運動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

對(2)式求導，并聯(lián)立(1)式可得

(5)

式中：aMq為攔截彈的指令加速度在垂直于視線方向上的分量，aMq=aMcosηM；aTq為目標的指令加速度在垂直于視線方向上的分量，aTq=aTcosηT.

2 NFTSM制導律設(shè)計

當導彈攔截低空目標時，為了避免多徑干擾對探測與制導精度的影響，彈目視線角需要快速收斂至布儒斯特角，避免角速率產(chǎn)生跟蹤誤差；同時也要將視線角速率穩(wěn)定在0附近，降低末端脫靶量，即

(6)

式中：常值qd為期望的布儒斯特角。

因此可選取狀態(tài)變量為

(7)

制導律設(shè)計的目的，就是將狀態(tài)變量x1、x2盡可能快速地約束至0附近的小鄰域內(nèi)，從而將彈目視線角約束至布儒斯特角。

為了保證系統(tǒng)的狀態(tài)能在有限時間內(nèi)快速收斂至平衡點，可選取快速終端滑模面為

S=x2+h1x1+h2sigα(x1)，

(8)

式中：系數(shù)h1，>0，h2>0，0<α<1；sigα(x1)=|x1|αsign(x1).

對(8)式求導，可得

(9)

(10)

式中：V(x0)為V(x)的初值。

(11)

式中：t0為初始時間。

設(shè)計NFTSM面為

S=x2+h1x1+h2g(x1)，

(12)

式中：g(x1)定義為

(13)

式中：中間變量m1=(2-α)ξα-1，m2=(α-1)ξα-2，ξ是1個很小的正常數(shù)。所設(shè)計的滑模面具有參數(shù)設(shè)計簡單，易于工程實現(xiàn)的特點。通過調(diào)節(jié)參數(shù)h2，可以控制非奇異終端項，進而控制系統(tǒng)狀態(tài)有限收斂的時間；通過調(diào)節(jié)參數(shù)h1，可以控制滑模面中線性項所占的比重，充分發(fā)揮傳統(tǒng)線性滑模收斂速度快的特點。

對(12)式求導，并聯(lián)立(5)式可得

(14)

式中：

(15)

由(15)式可知，當x1=0時，NFTSM面的設(shè)計可有效地避免奇異問題的發(fā)生。

為了提高系統(tǒng)的收斂特性，設(shè)計終端滑模趨近律為

(16)

式中：系數(shù)k1>0，k2>0，0<α1<1.

聯(lián)立(13)式、(15)式可得NFTSM制導律為

(17)

式中：aNFTSM為攔截彈的制導指令。

(17)式所示的制導律需要準確獲得目標的機動加速度，而實際中目標的機動加速度是無法準確獲得的。為此，設(shè)計了一種SMDO估計目標的機動加速度，將目標加速度的估計值引入制導律的表達式中，設(shè)計出一種CNFTSM制導律。此時，只要開關(guān)項增益系數(shù)大于目標加速度估計誤差的上界，就可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 CNFTSM制導律設(shè)計

3.1 SMDO設(shè)計

(18)

SMDO設(shè)計為

(19)

式中：觀測器系數(shù)c1>0，c2>0，p>2；、Tq分別為η、aTq的估計值。

(20)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(21)

將(21)式寫成矩陣的形式為

V=eTPe，

(22)

由于c1>0,c2>0,p>2，可得V是正定的，此時有

λmin(P)‖e‖2≤V≤λsup(P)‖e‖2，

(23)

式中：λmin(P)、λsup(P)分別為矩陣P的較小和較大特征值；‖e‖為矩陣e的歐幾里德范數(shù)。

對所構(gòu)造的V求導，可得

(24)

(24)式又可以寫成如下矩陣形式：

(25)

|e1|-1/p≥‖e‖-1/(p-1)，

(26)

聯(lián)立(23)式、(25)式和(26)式可得

(27)

當λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0時，(27)式可寫為

(28)

式中：χ=λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0.

此時，根據(jù)引理1可知，系統(tǒng)軌跡能在有限時間內(nèi)進入如下收斂域：

(29)

(29)式同時也說明所設(shè)計的觀測器估計誤差能在有限時間內(nèi)收斂到該收斂域。

由于τ是1個很小的正數(shù)，通過調(diào)整觀測器的參數(shù)，使τ‖B‖/λmin(Q)<1，同時使(p-1)/(p-2)>1，從而可使上述收斂域足夠地接近0，進而提高觀測器的估值精度。

3.2 CNFTSM制導律設(shè)計

假設(shè)目標加速度的估計誤差滿足|e2|=|aTq-Tq|≤φ，φ是1個正常數(shù)，在(17)式的制導律中引入目標加速度的估計值和帶開關(guān)系數(shù)的符號函數(shù)，得到CNFTSM制導律為

(30)

定理(30)式中，當開關(guān)項增益系數(shù)滿足ε>φ時，可保證彈目視線角在有限時間內(nèi)收斂至期望的布儒斯特角附近，同時視線角速率收斂至0附近的小鄰域內(nèi)。

(31)

此時，由引理2可得，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間內(nèi)運動至滑模面。

系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面運動時，若|x1|>ξ，則有

S=x2+h1x1+h2sigα(x1)=0.

(32)

(33)

由引理2可知，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間內(nèi)收斂至收斂域|x1|≤ξ. 此時，通過(32)式可知，另一狀態(tài)變量

|x2|≤h1|x1|+h2|x1|α≤h1ξ+h2ξα.

(34)

同理，當|x1|≤ξ時，

(35)

從而可得

(36)

綜上所述，(30)式所示的制導律可保證系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂至如下收斂域：

(37)

通過對參數(shù)ξ大小的調(diào)整，可以控制狀態(tài)變量x1、x2最終收斂的精度，ξ值越小，收斂精度越高。當ξ值較小時，狀態(tài)變量x1、x2可收斂至0附近的較小鄰域內(nèi)，即彈目視線角可收斂至期望的布儒斯特角附近，從而降低多徑干擾的影響。

(30)式所示的制導律由于不連續(xù)開關(guān)項的存在，會導致抖振現(xiàn)象的發(fā)生，故采用高增益連續(xù)函數(shù)Θ(S)=S(t)/(|S(t)|+σ)代替符號函數(shù)sign(S)，以消除抖振的影響[20]，其中σ是1個很小的正常數(shù)。

此時，(30)式所示的制導律可以變形為

(38)

4 算例分析

4.1 仿真1

為了驗證所設(shè)計的CNFTSM制導律對超低空目標攔截的適用性，分別對沙漠環(huán)境下的勻速突襲目標和機動突襲目標進行攔截仿真驗證。

設(shè)目標1和目標2的初始飛行高度為Y1=Y2=10 m，初始位置為X1=X2=7 800 m，速度大小為vT1=vT2=200 m/s，初始彈道傾角為θT1=θT2=180°；攔截彈的初始水平位置XM=0 m，高度YM=3 500 m,速度大小vM=400 m/s，初始彈道傾角θM=-45°. 滑模參數(shù)設(shè)置為h1=h2=0.2，α=0.6，k1=6，k2=10，α1=0.5，ε=5，σ=0.01，收斂精度ξ=0.1. 觀測器的參數(shù)設(shè)計為c1=40，c2=200，p=2.1，R(0)=8 500 m. 沙漠環(huán)境的布儒斯特角在30°左右(這里只表示角度的大小，按照圖2標注的方向應(yīng)為負值)。

設(shè)目標1進行勻速突襲；目標2進行機動突襲，其機動加速度aT2=-20sin (0.5πt)，方向垂直于目標速度方向，用以控制目標進行機動變軌。

對于攔截沙漠上勻速或機動突襲的超低空目標，多徑干擾會對視線角速率的測量值產(chǎn)生明顯的噪聲干擾，導致SMDO的估計值和攔截彈的加速度指令均受到明顯擾動。由圖4和圖5可知，CNFTSM制導律可在6 s內(nèi)將視線角快速約束至布儒斯特角30°，多徑干擾迅速降低，視線角速率的測量噪聲也隨之降到最小。從而使SMDO以良好的性能繼續(xù)對目標加速度進行估計，且視線角速率和加速度指令均穩(wěn)定在0附近，保證了圖3中攔截彈最終能以平直的布儒斯特彈道擊中目標。脫靶量分別為2.375 m和4.764 m，在有效殺傷半徑范圍之內(nèi)。

4.2 仿真2

為了驗證CNFTSM制導律的快速收斂性，在沙漠環(huán)境下對超低空機動目標進行攔截仿真驗證，目標機動方式仍然取仿真1中正弦機動方式，將其與經(jīng)典PN導引律、傳統(tǒng)LSM制導律以及NTSM制導律進行比較。

PN導引律設(shè)計為

(39)

式中：N為PN導引律的比例系數(shù)。

傳統(tǒng)LSM面選取為

S=x2+(h1+h2)x1.

(40)

NTSM面選取為

S=x2+(h1+h2)g(x1).

(41)

為了保證對比的公平性，都選取終端滑模趨近律如(16)式所示，此時得到LSM制導律為

(42)

NTSM制導律為

(43)

PN導引律的參數(shù)設(shè)置為N=3 ，其他參數(shù)的設(shè)置參照仿真1. 此處只考慮實際工程中多徑干擾對PN導引律的影響，多徑干擾對LSM制導律以及NTSM制導律的影響類似仿真1，不再贅述，只對理想條件下的收斂速度進行比較，以體現(xiàn)CNFTSM制導律在有限時間內(nèi)的快速收斂特性。仿真結(jié)果如圖9～圖13所示。

由圖10、圖11可以看出，經(jīng)典PN導引律無法將彈目視線角約束至環(huán)境所對應(yīng)的布儒斯特角。因此，實際工程中其視線角速率的測量值在攔截全過程始終受到多徑干擾的影響而出現(xiàn)雜波擾動，導致圖13中的攔截彈加速度指令始終無法穩(wěn)定在0附近，進而導致攔截末端的脫靶量達到20.042 m，遠遠超出了攔截彈有效殺傷半徑。綜上所述可知：理想條件下傳統(tǒng)LSM制導律雖然能將視線角約束至布儒斯特角，但是其只具有漸進收斂特性，脫靶量為4.623 m；NTSM制導律雖然能保證彈目視線角在有限時間內(nèi)收斂至布儒斯特角，但是收斂時間過長，脫靶量為3.419 m；而所設(shè)計的CNFTSM制導律相比于NTSM制導律而言，具有更快的有限時間收斂特性，脫靶量只有2.031 m，更適用于對低空目標的攔截。實際上，由仿真1中圖8目標加速度的估計圖容易得到，若視線角收斂越慢，則觀測器受多徑干擾的影響越久，越會降低制導精度，從而間接驗證了所設(shè)計的CNFTSM制導律相比于LSM制導律、NTSM制導律的優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文通過引入SMDO的加速度估計值和帶開關(guān)系數(shù)的符號函數(shù)，設(shè)計出一種CNFTSM制導律。該制導律既可以解決實際工程中目標加速度難以準確獲得的問題，進一步提高制導精度；又可以保證在攔截超低空目標過程中，將彈目視線角快速收斂至布儒斯特角，從而降低多徑干擾對目標跟蹤精度的影響。