雷曉云， 張志安， 杜忠華

(南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

基于全球定位系統(tǒng)(GPS)的彈道射程修正彈(即一維彈道修正彈)首先對GPS測量值進行預處理，再將處理后的數(shù)據(jù)作為彈道控制算法的解算基礎(chǔ)，提供給初始彈道諸元。最常用的預處理算法是擴展卡爾曼濾波(EKF)最優(yōu)估計[1]，該方法能有效地降低GPS測量誤差，雖然相對于原始未經(jīng)濾波的彈道數(shù)據(jù)而言，預測誤差有明顯降低，但是由于模型簡單，對于具有高精度要求的彈道射程修正彈仍不能滿足其要求。此外，EKF的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣復雜化，計算過程涉及的參數(shù)較多，參量攝動和狀態(tài)突變會使濾波過程發(fā)散，穩(wěn)定性相對不高。文獻[2]提出采用序列最小二乘法對小數(shù)量數(shù)據(jù)樣本進行處理，獲得了相對于原數(shù)據(jù)而言更高精度的數(shù)據(jù)。文獻[3]采用小波變換原理對不同誤差進行處理，該方法對消除觀測噪聲具有很好的效果。文獻[4]結(jié)合遞歸最小二乘方法和EKF估計器辨識再入飛行器的軌道。文獻[5-9]均表明非線性處理方法在GPS數(shù)據(jù)處理上的應用非常常見。

本文根據(jù)基于GPS的彈道射程修正彈基本修正原理和牛頓插值原理，重新估計具有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)，以此改進無跡卡爾曼濾波(UKF)算法，用以預處理GPS測量數(shù)據(jù)，降低異常測量值和定位失鎖情況對濾波效果的影響，并將改進后的UKF算法融入至提出的彈道修正控制算法中。根據(jù)仿真分析確定最優(yōu)修正效果的濾波參數(shù)選擇原則，并從射擊試驗分析的角度驗證基于改進UKF算法的射程修正算法在降低GPS測量誤差對修正射程精度影響中的實際可行性，為工程應用提供一定的參考。

1 彈道射程修正控制算法

本文建立的三維質(zhì)點彈道模型如(1)式所示：

(1)

根據(jù)彈道射程修正彈的基本修正原理，可采用如下計算修正時刻(即阻力片張開時刻)的算法，其基本原理如圖1所示。圖1中，A、B、C、D表示4條修正彈道軌跡，E表示無控彈道軌跡，軌跡上標記的0、1、2、3、4、5分別表示5組不同修正時刻。

在GPS測量數(shù)據(jù)無誤差的理想條件下，從彈丸上升初始階段選擇一組GPS數(shù)據(jù)作為彈道解算的初始條件，以該條件預測無控彈道軌跡E，此時即可通過數(shù)值積分算法估算出飛行剩余時間T. 考慮分散性，將初始條件時刻作為相對起始時刻0，選擇修正時刻分別為0、T/4、T/2以及3T/4時刻，估算修正彈道軌跡A、B、C、D. 按彈道預測的順序進行彈道解算，首先計算未修正彈道，當遇到修正時刻點時停止當前計算，轉(zhuǎn)而開始計算修正彈道，計算完成后返回停滯點繼續(xù)計算未修正彈道。由于最后一個修正時刻點無需計算，該過程一共需要暫停4次，在計算未修正彈道的同時，其他4條修正彈道也被計算出來。

至此，5組修正時刻與修正量數(shù)據(jù)組均已確定，記為(tci,Δxci)，i=0,1,2,3,4，則對于任意修正量Δx(t)，采用牛頓j次插值多項式可得到如下表達式：

Δx(t)=b0+b1(t-tc1)+…+
bj(t-tc1)(t-tc2)(t-tc3)…(t-tcj),

(2)

式中，各階有限差商就是對應的系數(shù)bj，

通過(2)式可以確定一個修正時刻與修正量之間的關(guān)系式，即Δx(t)=f(t)，f(t)為(2)式等式右邊的函數(shù)式，當已知需要修正的射程量Δx時，令Δx-f(t)=0，采用二分法求自變量t即對應修正量的修正時刻。

2 GPS測量誤差對修正精度的影響

(3)

式中：xi、zi分別為第i次射擊的縱向射程和橫向射程；m為總的射擊次數(shù)。本文研究的射程修正彈，只考慮縱向射程的射擊精度xi.

精確稱取自制的花色苷產(chǎn)品0.1 g，用pH 1.0氯化鉀緩沖液稀釋至100 mL，再吸取10 mL，用氯化鉀緩沖液稀釋至 100 mL，在最大吸收波長處測定其吸光值，計算公式為：

GPS動態(tài)測量數(shù)據(jù)包含來自信號傳播過程、信號接收過程等方面的誤差[12]，本文采用的一種高動態(tài)接收機可抗過載50g以上，其水平定位精度為4 m，垂直定位精度為5 m，水平測速精度和垂直測速精度均為0.5 m/s，精度因子PDOP值小于3. 因為分析方法和預處理算法是通用的，所以以該型GPS接收機為例進行討論。根據(jù)誤差傳播理論可以計算角度精度，假設θa=θa(vx,vy,vz)，ψ2=ψ2(vx,vy,vz)，則由(4)式可計算出角度測量精度，此外在測量過程中還有過程噪聲污染數(shù)據(jù)，因此諸多影響因素會造成測量數(shù)據(jù)含有較大誤差。

(4)

表1 GPS定位誤差對修正精度的影響

根據(jù)表1可知，在修正能力范圍內(nèi)，相對同一種彈丸來說，Ex值沒有明顯規(guī)律性，Ex與修正射程之間并無明顯的關(guān)聯(lián)。表1中的偏差值由修正后的射程與預定射程之間的差值決定，對比兩種彈型在不同目標射程下的偏差值可以看出：榴彈的射程均值偏差相對于火箭彈來說更大，最大偏差值達到-13.1 m，最小值-5.1 m；而新40管火箭彈最大射程均值偏差值為4.6 m，最小值-1.5 m. 這說明對于不同的彈丸類型，GPS測量誤差對大射程彈丸的修正射程均值偏差影響更明顯，對Ex的影響也較大。仿真過程中，隨機選取測量數(shù)據(jù)中的某一組數(shù)據(jù)作為基本解算條件，如果這一條件與實際情況偏差很大，將會直接影響彈道軌跡預測的準確性。因此，GPS測量數(shù)據(jù)作為算法的初始條件，對落點精度的影響不可忽視。為了降低彈道測量數(shù)據(jù)的誤差，并提高測量數(shù)據(jù)的利用率，本文采用改進的濾波方法對GPS測量數(shù)據(jù)進行預處理，然后再確定彈道解算的基本條件。

3 基于UKF算法的彈道射程修正算法

3.1 改進UKF預處理GPS數(shù)據(jù)的基本原理

較為常見的彈道數(shù)據(jù)處理方法是EKF[13]，而相比于EKF，UKF具有最突出的兩個優(yōu)點：1)具有更高的精度而且更加穩(wěn)定；2)避免了對非線性系統(tǒng)的線性化近似處理過程。UKF采用無跡變換在估計點附近確定采樣點，然后利用這些采樣點表示高斯密度近似于狀態(tài)的概率密度函數(shù)，降低了計算負擔[13]。本文采用UKF方法來降低GPS接收機接收彈道數(shù)據(jù)的誤差。普通濾波方法在濾波噪聲參數(shù)合適時可以在一定程度上降低測量誤差。但是，在實際應用中，如何選擇合理的濾波參數(shù)一般是比較困難的，且不論測量噪聲和過程噪聲的準確獲取。如參考文獻[14]中所述：測量噪聲是一個統(tǒng)計意義上的參數(shù)，可理解為對傳感器測量數(shù)據(jù)經(jīng)過長期的概率統(tǒng)計，得出其測量方差；而過程噪聲往往與外界因素相關(guān)，如空氣、風、陽光等，在一個時變系統(tǒng)中，要準確獲取是非常困難的。實際上，針對不同的問題，濾波參數(shù)選擇的不好，濾波效果會非常差。本文在設定的粗略經(jīng)驗濾波參數(shù)基礎(chǔ)上，對普通濾波方法改進了狀態(tài)量更新的條件，避免了定位失鎖情況對彈道解算的影響。

非線性彈道方程組可表示為狀態(tài)空間方程的形式，并有觀測方程組：

(5)

式中：X為狀態(tài)量，其協(xié)方差矩陣為P；Z為觀測量；W為過程噪聲，其相應的協(xié)方差矩陣為Q；V為觀測噪聲，其協(xié)方差矩陣為R；k為時間序列；f表示系統(tǒng)的狀態(tài)方程；h表示觀測函數(shù)。令狀態(tài)量X=(x,y,z,v,θa,ψ2)T，觀測量Z=(x,y,z,v,θa,ψ2)T，觀測量數(shù)據(jù)為WGS-84坐標系通過坐標變換而得到的站心坐標系[12]中的數(shù)據(jù)，其中觀測量中的v、θa、ψ2是通過對直接測量值即速度分量變換得到的間接觀測量，則相應的觀測函數(shù)h=I6×6，I為單位矩陣。

根據(jù)建立的非線性狀態(tài)空間方程組，改進后的UKF流程見圖2，其中：α為控制采樣點分布狀態(tài)的參數(shù)，一般取值在1×10-4～1之間；β為非負權(quán)系數(shù)，對于單變量狀態(tài)量一般取0，對于高斯分布一般取2；λ為放縮比例參數(shù)；n為狀態(tài)量維數(shù)；i表示第i個采樣點；w為采樣點相應的權(quán)值；e為誤差常數(shù)；h為離散化步長。對算法做如下改進：在更新最優(yōu)狀態(tài)量前，比較觀測量Z(k+1)和觀測量的預測估計值之間的差異，根據(jù)二者之間的差異辨識接收的觀測值是否具有粗大誤差，或是否處于GPS定位失鎖的情況。如果估計值與實際觀測值之間的偏差大于容忍范圍，則Z(k+1)被認為是異常測量值，不能直接參與狀態(tài)量的估計，這種情況下，根據(jù)k-2、k-1和k3個時刻的測量預測值，插值推算出k+1時刻的等效測量值來代替原來具有粗大誤差的測量值。常用的插值法有Hermite插值、Lagrange插值、牛頓插值等，其中：Hermite插值適用于要求在某些點處的函數(shù)值與原表達式相等且導數(shù)值也相等的情況；Lagrange插值屬于多項式插值法，可迭代性比較差，計算復雜，每添加1個點，公式需重新計算，使計算量增加。對于本文的解算要求，只要求函數(shù)值相等，而牛頓插值法具有承襲性，每增加1個點，無需重復計算公式，故牛頓插值法是針對本文情況的最佳選擇。k+1時刻的等效測量值采用(6)式計算，其中a11、a12、a13為插值系數(shù)，t(k)表示第k個時間步長。

(6)

通過上述對觀測量的改進，可以判別出觀測值是否存在粗大誤差以及GPS是否處于失鎖狀態(tài)。直觀看來，該方法無法處理在初始時刻就出現(xiàn)具有粗大誤差的測量值情況，因此在k取為1和2時如果出現(xiàn)具有粗大誤差的測量值時，需要另外處理，該種情況下將不對狀態(tài)量進行更新。如果出炮口后就出現(xiàn)GPS長時間無可用有效GPS測量數(shù)據(jù)的情況，基于GPS的射程修正彈就失去意義，但仍然可以采用延時修正策略進行彈道修正，本文暫不考慮該情況的發(fā)生。

已知接收機在3個坐標方向上的容許標準偏差σx、σy、σz時，狀態(tài)更新的決定條件可表達為：|Z(k+1)-(k+1|k)|

以新40管火箭彈的彈道為例，假設過程噪聲協(xié)方差矩陣、測量噪聲協(xié)方差矩陣以及初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣相同，仿真計算彈丸位置在站心坐標系3個坐標分量的誤差δx、δy、δz，如圖3所示，其中“Ls-Le”表示定位丟失的數(shù)據(jù)段，“Gs-Ge”表示數(shù)據(jù)異常段，估計彈道偏差表示真實彈道與估計彈道的坐標差值，測量彈道偏差表示真實彈道與測量彈道的坐標差值。

圖3(a)～圖3(c)中在3個坐標方向上，測量彈道偏差和EKF估計彈道偏差在“Ls-Le”段存在明顯的波峰，表明3個方向上的測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)了偏差，而且一般EKF算法并不能有效地降低測量誤差，其估計誤差與測量彈道偏差的變化基本一致，但是在正常接收數(shù)據(jù)的階段，EKF算法仍然可以在一定程度上降低測量數(shù)據(jù)誤差。3條曲線中，改進的UKF估計彈道偏差變化平穩(wěn)，且比測量彈道偏差和EKF估計彈道偏差要小。另外，“Gs-Ge”段只在x軸方向和y軸方向出現(xiàn)，說明出現(xiàn)了定位失鎖或者有粗大誤差數(shù)據(jù)，經(jīng)過濾波處理，EKF估計彈道偏差在“Ls-Le”段和“Gs-Ge”段仍然出現(xiàn)了很大的偏差，與測量誤差幾乎一致，在數(shù)據(jù)正常接收階段，EKF算法亦可以降低測量誤差；而縱觀整個時間軸，3個方向上的UKF估計偏差不僅變化平穩(wěn)，而且小于測量彈道偏差和EKF估計彈道偏差。圖3(d)中，從“Ls-Le”段明顯看出，觀測彈道在此階段沒有接收到動態(tài)數(shù)據(jù)，如果沒有數(shù)據(jù)處理的過程，而彈道解算的初始數(shù)據(jù)恰好選擇在這一段，則將無法解算出正確的修正時刻；然而觀察圖3中改進UKF算法的估計彈道可知，在“Ls-Le”段和“Gs-Ge”段仍然可以正常預測出彈道數(shù)據(jù)，由此解決了信號丟失的情況，而且在GPS重新定位后彈道并沒有大的偏差，說明信號丟失時算法預測的彈道數(shù)據(jù)具有一定的可信度，而EKF估計彈道與真實彈道之間的偏差仍然較大。

3.2 改進射程修正算法

根據(jù)一維彈道修正的基本原理，將3.1節(jié)圖2所示基于改進UKF的彈道數(shù)據(jù)處理算法融合于修正算法中，則基于UKF的修正控制算法解算步驟如下：

步驟1初始化P(0)、X(0)以及數(shù)據(jù)接收起始時刻ts0.

步驟2確定t0時刻的狀態(tài)向量X(0)=(x(t0),y(t0),z(t0),v(t0),θa(t0),ψ2(t0))T，假設ωx、ωz為0；將其作為彈道解算的初始條件，通過修正算法確定粗略估計修正時刻tc0，在時間段ts0～tc0之間進行彈道數(shù)據(jù)的濾波處理。

步驟3通過改進UKF算法處理接收的N組彈道數(shù)據(jù)，滿足N<(ts0-tc0)fGPS+1，fGPS為接收機頻率。

步驟4由步驟3可得到狀態(tài)量在N+1時刻的最佳估計值，將其作為彈道修正算法新的解算初始條件來求解最優(yōu)的修正時刻值tc.

由圖2可知，在UKF算法中預測sigma點集時，對于非線性狀態(tài)方程進行了離散化采樣處理，因此需要對離散化步長進行選取。第4節(jié)仿真分析將確定GPS數(shù)據(jù)處理算法中離散化步長h以及最佳預處理的彈道數(shù)據(jù)樣本數(shù)N.

4 仿真與試驗分析

4.1 仿真分析

以新40管火箭彈為仿真研究對象，為了模擬實際得到的具有誤差的彈道數(shù)據(jù)，設彈道數(shù)據(jù)產(chǎn)生的初始條件X(0)=(0 m, 0 m, 0 m, 130 m/s, π/4 rad, 0 rad)，ωx=0 m/s，ωz=0 m/s，彈丸自身基本參數(shù)設置參照前文。在給定的初始條件下仿真計算得到無控彈道的射程為957.8 m，在以下算例中，設定目標射程為800 m，則粗略估計的修正時刻為7.58 s，產(chǎn)生理想彈道數(shù)據(jù)的步長分別為0.10 s、0.15 s、0.20 s，則N的最大值分別為76、53、41. 對于離散化步長的取值問題，由于篇幅所限，在此直接給出仿真分析的結(jié)論：當離散化步長h取值與GPS數(shù)據(jù)更新周期相等時，UKF算法處理彈道數(shù)據(jù)后再進行落點預測，其射程均值偏差和Ex都有明顯降低。因此，為了最大化UKF算法處理彈道數(shù)據(jù)的優(yōu)勢，建議將h取值為GPS數(shù)據(jù)更新周期。

為進一步驗證上述結(jié)論，仿真計算設置射角為25°，離散化步長h的取值與GPS數(shù)據(jù)更新的周期相等，分別等于0.10 s、0.15 s以及0.20 s，彈道數(shù)據(jù)處理前后預測的落點射程均值偏差和Ex的變化如圖4所示。從圖4(a)中可以明顯看出，離散化步長h的取值與GPS數(shù)據(jù)更新的周期相等時，采用改進UKF算法處理彈道數(shù)據(jù)后再進行落點射程預測，其偏差遠遠小于直接利用含有誤差的彈道數(shù)據(jù)進行預測的射程偏差，而且Ex也遠小于后者。

4.1.1 預處理數(shù)據(jù)組數(shù)N的選擇

根據(jù)分析，h=1/fGPS時可以最大化改進UKF算法的優(yōu)勢，因此在討論N(處理的數(shù)據(jù)組數(shù))的取值時，以GPS更新頻率為10 Hz情況討論，h取值0.10 s作為算例的已知條件。根據(jù)N<(ts0-tc0)fGPS+1的條件可知N<76，本文選擇N為5～50來研究N取值對預測的落點精度和Ex的影響，并以每5組為增量變化N值。仿真結(jié)果如圖5所示。圖5(a)為采用改進UKF算法處理彈道數(shù)據(jù)后再預測彈道落點的射程均值和采用未經(jīng)處理的彈道數(shù)據(jù)預測彈道落點射程均值，以及理想彈道落點射程均值的對比；圖5(b)為對應不同預測方法得到的Ex對比變化圖。

由圖5可知：1)UKF算法處理彈道數(shù)據(jù)后再進行彈道落點預測可降低射程均值偏差和Ex；2)當N≤10時，有如圖6所示的結(jié)果，UKF算法處理后得到的射程均值偏差和Ex波動較大，且Ex相對于N>10時大，但仍然滿足結(jié)論1，出現(xiàn)這種情況的原因在于算法收斂速率的限制；3)在一定范圍內(nèi)N的變化對UKF算法效果的影響不是非常明顯。圖5(a)和圖5(b)中改進UKF算法處理的變化均較平緩，表明N的取值在超過某個閾值后，對于落點精度的影響不是很大，故N的選擇在實際運用中將更加靈活。

4.1.2 基于改進UKF修正算法的修正精度分析

根據(jù)基于UKF修正算法的原理可知，最優(yōu)彈道數(shù)據(jù)估計狀態(tài)量(N+1)將作為彈道解算的初始條件來解算修正時刻c，而原算法只能利用觀測到的彈道數(shù)據(jù)作為解算初始條件。為了驗證改進后的算法確實可以降低測量數(shù)據(jù)的誤差，假設仿真次數(shù)為100次，即m=100，進行Monte Carlo仿真分析，對比第2節(jié)表1中分析的GPS定位誤差對修正精度的影響，圖7所示結(jié)果是通過改進UKF算法處理彈載數(shù)據(jù)后，預測的修正射程均值偏差和Ex與數(shù)據(jù)處理前的對比。由圖7可以看出，在目標射程變化時，修正射程均值偏差和Ex的變化都比原算法更加平穩(wěn)，且有明顯的降低。

4.2 試驗分析

根據(jù)仿真分析的結(jié)論，在實際試驗中采用3.2節(jié)所提基于UKF的修正算法對彈載測量數(shù)據(jù)進行處理，分別進行無控飛行和修正彈道試驗。彈丸發(fā)射流程如下：首先通過智能火控系統(tǒng)給彈上GPS系統(tǒng)及彈載計算機裝定星歷、環(huán)境信息及目標信息，裝定成功后斷開連接器，啟動彈上電源，4～5 s后彈載GPS系統(tǒng)完成定位，可隨時根據(jù)智能火控系統(tǒng)指令發(fā)射彈丸。設定修正射程為850 m，彈載GPS接收機數(shù)據(jù)接收頻率為10 Hz，根據(jù)從彈載存儲系統(tǒng)中讀回的數(shù)據(jù)做出如圖8、圖9所示的彈道軌跡圖，其中對于無控飛行測量數(shù)據(jù)，UKF算法對全部數(shù)據(jù)進行處理，另外圖9中根據(jù)最優(yōu)估計彈道數(shù)據(jù)預測了理想修正彈道軌跡。圖10為修正試驗彈落地狀態(tài)。由于新40管火箭彈在出炮口后有一段助推加速階段，此階段擾動較大，GPS開始接受數(shù)據(jù)起始點在加速階段完成后的某一時刻。由無控飛行彈道軌跡的對比可知，改進的UKF處理彈道數(shù)據(jù)確實在一定程度上降低了測量數(shù)據(jù)誤差。而由UKF處理后的最優(yōu)估計彈道參數(shù)預測的修正彈道落點可以很準確地定位到目標處。修正彈丸落點與發(fā)射點實測距離約860 m，從測量彈道軌跡的變化趨勢和最后靶場落點距離來看，彈丸較準確地落在預定目標距離范圍內(nèi)。當然，由于未考慮橫風等其他擾動因素影響，這一試驗結(jié)果與仿真結(jié)果存在一定誤差，但可以證明本文的改進算法應用在射程修正算法上可以減小GPS測量誤差造成的影響。

5 結(jié)論

基于GPS的彈道射程修正彈基本修正原理，本文在預處理GPS測量數(shù)據(jù)過程中，采用UKF算法，對定位丟失情況和異常測量數(shù)據(jù)進行了判別和修正，將改進后的UKF算法應用到修正控制算法中。通過仿真分析，確定了最優(yōu)濾波參數(shù)。實際射擊試驗表明，改進后的算法應用在射程修正算法中，可以減小GPS測量誤差造成的影響，對該類彈藥工程設計有一定的幫助。