袁蕾

摘要：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，在職教數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)難點(diǎn)。職業(yè)學(xué)校尤其是文科類職業(yè)學(xué)校的學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有畏懼心理，從而缺乏興趣。本文采用了小組合作的教學(xué)模式，針對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式這一內(nèi)容的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并在設(shè)計(jì)中加入了信息化教學(xué)的元素，以此來(lái)調(diào)動(dòng)課堂氣氛和提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式；小組合作式教學(xué)；信息化教學(xué)

中圖分類號(hào)：O1-645 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）32-0253-03

一、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，個(gè)人學(xué)習(xí)目標(biāo)的激勵(lì)是一個(gè)方面，另一方面是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在興趣。如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，尤其是職校的學(xué)生？傳統(tǒng)的“填鴨式”教育模式顯然很難達(dá)到這一要求。在新的教育理念指導(dǎo)下，如今的課堂倡導(dǎo)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作式學(xué)習(xí)，以此來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，創(chuàng)造正能量的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

對(duì)于職校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在課堂上獨(dú)立學(xué)習(xí)有一定的困難。原因有三：①本身對(duì)學(xué)習(xí)缺乏興趣，沒(méi)有學(xué)習(xí)的動(dòng)力；②自主學(xué)習(xí)能力較弱，獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力欠缺；③遇到困難容易出現(xiàn)厭倦情緒。鑒于以上三點(diǎn)，若在課堂上讓學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)，很難達(dá)到理想的效果。相反，小組合作式自學(xué)模式更容易被學(xué)生接受。學(xué)生樂(lè)于接受討論的形式。討論降低了思考的難度，增加了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

二、教材分析

江蘇教育出版社（鳳凰職教）的教材上，共給出了四組誘導(dǎo)公式：2kπ+α、π+α。同高中教材相比減少了公式，且推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有使用單位圓的原理，而是將 看成一個(gè)銳角，由此找出、π+α、角的終邊，并用任意角的三角函數(shù)的定義加以推導(dǎo)。這種方法降低了難度，學(xué)生更易理解，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了可能。教材中所涉及的例題主要為計(jì)算和化簡(jiǎn)，難度不大，學(xué)生完全可以通過(guò)自主學(xué)習(xí)理解和掌握，有利于小組討論式課堂的進(jìn)行。

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)記住相關(guān)公式，還要揭示證明思路的探究過(guò)程。一方面保證理論學(xué)習(xí)的完整性，另一方面有利于學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶。

三、教學(xué)策略

（一）小組合作式教學(xué)

傳統(tǒng)的教育模式中，三角函數(shù)的教學(xué)步驟通常分為三步：①教師揭示公式的推導(dǎo)過(guò)程；②教師講解公式的記憶方法；③學(xué)生運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。本課的難點(diǎn)是公式的記憶和靈活運(yùn)用。按部就班的推導(dǎo)公式，學(xué)生會(huì)覺(jué)得無(wú)味。講解公式的記憶方法時(shí)，學(xué)生又會(huì)有畏難情緒。計(jì)算和化簡(jiǎn)時(shí)，學(xué)生往往不能正確使用公式。為解決這些問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和課堂參與度，設(shè)計(jì)讓學(xué)生用小組合作的方式學(xué)習(xí)。同時(shí)，職業(yè)學(xué)校大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，一般課前都不會(huì)做預(yù)習(xí)工作。因此學(xué)生的分組討論，可以從公式的推導(dǎo)開(kāi)始。這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn)。

1.公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生以小組合作的方式自行推導(dǎo)，這樣既能鍛煉學(xué)生的思維能力，也能加深對(duì)公式的印象。為了降低難度，讓探索變得可操作，首先由教師先示范2kπ+α這組公式的推導(dǎo)過(guò)程，然后學(xué)生根據(jù)教師的推導(dǎo)過(guò)程，自行討論其他公式的推導(dǎo)。

2.應(yīng)用公式計(jì)算環(huán)節(jié)。由于公式本身比較直觀，因此哪些角可以用誘導(dǎo)公式計(jì)算，學(xué)生很容易就能判斷出來(lái)。為了讓學(xué)生主動(dòng)思考，增加課堂的趣味性，設(shè)計(jì)讓學(xué)生以小組討論的方式自主出題，自行解答。這樣改變了傳統(tǒng)的教師出學(xué)生做的教學(xué)模式，讓學(xué)生真正成為課堂的主人。當(dāng)然，由于思路的局限性，學(xué)生自主出的題目有時(shí)候并不能達(dá)到教師的要求，這時(shí)教師可以對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，讓學(xué)生拓展思路，讓角的范圍更加廣闊。

3.應(yīng)用公式化簡(jiǎn)環(huán)節(jié)。這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師給出題目后，學(xué)生分組討論解題方法和步驟，比起學(xué)生獨(dú)立完成，大大降低了學(xué)習(xí)的難度，也能充分調(diào)動(dòng)課堂氣氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（二）結(jié)合信息化技術(shù)

學(xué)生小組討論最重要的是結(jié)果的反饋。學(xué)生有沒(méi)有積極地參與討論、討論中出現(xiàn)什么了問(wèn)題、在哪一部分出現(xiàn)了問(wèn)題，都可以在反饋的結(jié)果中看出。針對(duì)小組反饋的情況，教師可以及時(shí)進(jìn)行講解和指導(dǎo)。在過(guò)去沒(méi)有多媒體的教學(xué)中，學(xué)生討論的結(jié)果都寫在紙上，教師通過(guò)巡視了解每個(gè)小組的討論情況。弊端是，教師巡視比較費(fèi)時(shí)，而且每小組的討論結(jié)果只有教師能看到，其他小組的同學(xué)是看不到的。當(dāng)教師需要對(duì)某一小組的結(jié)果進(jìn)行講解時(shí)，需要將這個(gè)小組的討論內(nèi)容在黑板上重新展示出來(lái)。如今的多媒體技術(shù)，顯然可以很好地解決這一問(wèn)題。思路一：機(jī)房教學(xué)。機(jī)房教學(xué)最容易實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，學(xué)生可以在電腦上交作業(yè)，教師通過(guò)教師機(jī)控制學(xué)生電腦展示結(jié)果。這樣一方面節(jié)約了時(shí)間，另一方面監(jiān)督了學(xué)生的學(xué)習(xí)，同時(shí)也可以將每一組的討論結(jié)果展示出來(lái)，讓所有同學(xué)看到。當(dāng)然這一方法也有弊端。首先對(duì)機(jī)房的配備有一定的要求，其次學(xué)生必須熟悉數(shù)學(xué)符號(hào)的輸入方法，最后教師對(duì)學(xué)生討論結(jié)果的修改存在很大的難度，很難將電腦和板書(shū)有效地結(jié)合起來(lái)。因此，這里采用傳統(tǒng)和現(xiàn)代相結(jié)合的方法。思路二：傳統(tǒng)的教室教學(xué)。學(xué)生依然在傳統(tǒng)的教室上課，還是將小組討論的結(jié)果寫在紙上，但可以將討論結(jié)果用手機(jī)拍照，并通過(guò)qq、微信等平臺(tái)上傳到教師電腦。教師將上傳的結(jié)果在投影上展示，并在黑板上進(jìn)行講解和分析。其優(yōu)點(diǎn)是：①不需要專門配備機(jī)房和相關(guān)軟件；②學(xué)生小組討論的結(jié)果可以及時(shí)展示，并加以比較，一方面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，另一方面對(duì)小組活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)督；③教師可以對(duì)學(xué)生討論的結(jié)果結(jié)合板書(shū)進(jìn)行講解；④討論結(jié)果上傳后，教師可以在課后對(duì)每個(gè)小組的課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，從而在全局上把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

例如，在公式推導(dǎo)部分，學(xué)生可以模仿教師的例子，推導(dǎo)其余的誘導(dǎo)公式。得出推導(dǎo)的結(jié)果后，將過(guò)程和結(jié)果寫下，并用手機(jī)拍照傳給教師。這樣，一方面能夠讓教師及時(shí)了解每小組討論的情況，另一方面也方便教師將結(jié)果展示給其他小組的學(xué)生。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）課前準(zhǔn)備

將班級(jí)人數(shù)劃分，學(xué)生根據(jù)每組的人數(shù)自由組合，并在課前排好課桌，以小組為單位圍坐一圈。每小組將教材收好，放到指定位置。

（二）教學(xué)過(guò)程

1.公式的推導(dǎo)。教師：首先告知學(xué)生本堂課的課題，并和學(xué)生明確今天的學(xué)習(xí)形式——小組討論式自主學(xué)習(xí)，指定規(guī)則。然后，幫助全班同學(xué)復(fù)習(xí)需要用到的相關(guān)知識(shí)：任意角的三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值。為了讓學(xué)生明白誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法，第一組2kπ+α的誘導(dǎo)公式由教師講解并板演。板演結(jié)束后，教師提出問(wèn)題：另外三組誘導(dǎo)公式能否用類似的方法推導(dǎo)？為幫助學(xué)生自主推導(dǎo)，教師總結(jié)剛才的推導(dǎo)過(guò)程，并用PPT給出推導(dǎo)過(guò)程：①畫(huà)出角的終邊；②找到終邊上一點(diǎn)P；③根據(jù)任意角的三角函數(shù)值的定義，寫出所求角的三角函數(shù)值；④將所求角的三角函數(shù)值與α角的三角函數(shù)值作比較，得出公式。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)教師的提示，分小組進(jìn)行討論。

教師活動(dòng)：小組間巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

學(xué)生活動(dòng)：每小組將推導(dǎo)的過(guò)程寫在紙上，拍照上傳給教師。教師根據(jù)上傳的時(shí)間和準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)比。

教師活動(dòng)：教師對(duì)每小組的推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，并選擇性的展示學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程，同時(shí)加以簡(jiǎn)單的講解。

2.公式的記憶。教師：在推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)α為銳角，從而畫(huà)出了、π+α和的終邊。終邊的位置決定了三角函數(shù)值的正負(fù)。因此，誘導(dǎo)公式的記憶可以與象限對(duì)應(yīng)起來(lái)。復(fù)習(xí)口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)口訣記憶公式，并進(jìn)行比賽。參賽同學(xué)由其他組指定，并接受挑戰(zhàn)。

3.公式在計(jì)算中的運(yùn)用。教師：舉例誘導(dǎo)公式2kπ+α、在計(jì)算中的運(yùn)用，提問(wèn)“、π+α在計(jì)算中可以解決哪些角的求值問(wèn)題（限定角的范圍為[0°|360°]”，要求學(xué)生舉例。

學(xué)生活動(dòng)：小組討論有哪些角可以用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算，每小組舉出3個(gè)例子，并寫出具體的計(jì)算過(guò)程。

教師：對(duì)學(xué)生的討論結(jié)果在投影上展示，并加以評(píng)講。對(duì)學(xué)生未能涉及的角進(jìn)行補(bǔ)充。教師引導(dǎo)，有些角需要通過(guò)多次誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算，例如300°和570°。教師板演上述兩個(gè)角的計(jì)算過(guò)程，并請(qǐng)學(xué)生小組討論，舉出三個(gè)例子。

學(xué)生活動(dòng)：討論需要多次運(yùn)用誘導(dǎo)公式的角，并舉例。寫出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程，拍照并上傳到教師電腦。

教師：對(duì)每小組的討論結(jié)果在投影展示，并加以評(píng)講。教師提出，剛才所舉的例子都是角度制的，事實(shí)上角也可以用弧度制來(lái)表示。此時(shí)，計(jì)算過(guò)程又如何？教師舉例并板演計(jì)算過(guò)程， π和 π。教師板演中，整個(gè)計(jì)算過(guò)程都是使用的弧度制。板演結(jié)束后，學(xué)生分組討論并舉例。

學(xué)生活動(dòng)：討論并舉例弧度制表示的角求三角函數(shù)值，舉出3個(gè)例子，寫出計(jì)算過(guò)程，上傳教師電腦。

教師：對(duì)學(xué)生上傳的結(jié)果進(jìn)行展示并點(diǎn)評(píng)，對(duì)例題加以講解。

4.公式在化簡(jiǎn)中的運(yùn)用。教師：給出兩道化簡(jiǎn)題，

（1） ；

（2）

學(xué)生活動(dòng)：分組討論并寫出化簡(jiǎn)過(guò)程，上傳教師電腦。

教師：對(duì)學(xué)生上傳的結(jié)果進(jìn)行展示，并加以評(píng)講。

五、教學(xué)后記

由于整個(gè)課堂是以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)為主，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到一定的困難。以下歸納了課堂上出現(xiàn)的問(wèn)題，并給出了解決方案。

1.在公式推導(dǎo)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生畫(huà)出終邊后，在取點(diǎn)P時(shí)無(wú)從下手，因此無(wú)法推導(dǎo)公式。這時(shí)候教師需要加以提醒：為找出所求角與角α的三角函數(shù)值的關(guān)系，能否將需要取的點(diǎn)P與α角終邊上的點(diǎn)P建立聯(lián)系？學(xué)生在提醒后，基本能根據(jù)對(duì)稱性找出P，從而推導(dǎo)出公式。

2.在利用誘導(dǎo)公式求相關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，教師在舉例過(guò)程中考慮到學(xué)生對(duì)角度制比較熟悉，所以所舉的例子都是角度制的。由此，學(xué)生所舉的例子也都是角度制的，這完全在設(shè)計(jì)之中。其目的是讓學(xué)生先對(duì)角度制有所熟悉，然后再延伸到弧度制。畢竟角的弧度制對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，使用起來(lái)不夠熟練。但是，教學(xué)中難免會(huì)出現(xiàn)有學(xué)生直接想到弧度制的角，從而舉例計(jì)算。這時(shí)候，教師可以順?biāo)浦?，將角度制和弧度制的?jì)算題混合起來(lái)。

3.-α角的誘導(dǎo)公式的運(yùn)用是難點(diǎn)。學(xué)生在認(rèn)識(shí)公式時(shí)，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。但將公式運(yùn)用到計(jì)算和化簡(jiǎn)時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生“將負(fù)號(hào)提出去”這種錯(cuò)誤的想法。這就要求教師在遇到涉及的例題時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)公式，讓學(xué)生加深印象。如果在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生設(shè)計(jì)的例題沒(méi)有涉及這個(gè)公式，或者有類似的例題但學(xué)生普遍不能正確運(yùn)用公式時(shí)，教師必須插入布置例題環(huán)節(jié)，讓學(xué)生強(qiáng)化。

在本課的設(shè)計(jì)中，采用了小組討論的教學(xué)模式，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。課堂教學(xué)時(shí)，又結(jié)合了多媒體技術(shù)，既提高了課堂教學(xué)的效率，又檢驗(yàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，同時(shí)也為教師教學(xué)效果的評(píng)價(jià)提供了依據(jù)。