張順平，雷文剛，李 奎

(重慶水泵廠有限責(zé)任公司國家企業(yè)技術(shù)中心，重慶 400033)

目前，在常用設(shè)計(jì)手冊(cè)里[1-4]一般只能查閱到曲軸每跨跨距、軸徑及載荷相同情況下超靜定梁各支承處的支反力計(jì)算系數(shù)，不能查閱到不同跨距、軸徑及載荷的支反力計(jì)算系數(shù)，因此給曲軸的受力分析及支承處軸承的壽命計(jì)算帶來很大難度。為了解決這個(gè)問題，本文通過對(duì)“曲軸每跨跨距、軸徑及載荷相同的超靜定梁的支反力計(jì)算”模型的擴(kuò)展，建立了“曲軸每跨跨距、軸徑及載荷各不相同的超靜定梁的支反力計(jì)算”模型，并建立了該模型下的支反力計(jì)算公式。

1 模型建立

曲柄連桿機(jī)構(gòu)常被用作將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為往復(fù)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)，而在曲軸上設(shè)計(jì)的連桿機(jī)構(gòu)則是常見的一種結(jié)構(gòu)布置形式。曲軸在旋轉(zhuǎn)過程中，每一拐的連桿受力都隨轉(zhuǎn)角的變化而變化，因此曲軸兩端及中間支承處的支反力也是隨曲軸轉(zhuǎn)角變化而變化[5]。為了能精確計(jì)算曲軸受力及曲軸支承處軸承受力，就需要根據(jù)每拐連桿隨轉(zhuǎn)角變化的力來分析計(jì)算曲軸各處的支反力。

曲軸的支承一般都是采用滾動(dòng)軸承或滑動(dòng)軸承，因此可以將曲軸支承簡化為簡支橫梁的模型。而本文討論的是四支承曲軸，因此屬于橫梁簡支超靜定的計(jì)算范疇。

為計(jì)算各支承處的支反力，本文中建立的計(jì)算模型滿足以下條件：1)曲軸上有4個(gè)支承，且輸入端為懸臂梁結(jié)構(gòu)形式；2)每跨的跨距及軸徑都不相同；3)每個(gè)載荷大小不同，且每跨最多受2個(gè)集中載荷及輸入端受1個(gè)懸臂集中載荷(如皮帶輪或外掛齒輪載荷)。

在曲柄連桿機(jī)構(gòu)[5]的受力分析中，可將曲軸支反力簡化為如圖1所示的連續(xù)梁超靜定簡支梁模型進(jìn)行計(jì)算。

圖1 三跨四支承簡支梁

該模型中符號(hào)的含義見表1。

表1 符號(hào)說明

2 受力分析與計(jì)算推導(dǎo)

2.1 標(biāo)準(zhǔn)三彎矩方程式

在材料力學(xué)及建筑結(jié)構(gòu)靜力學(xué)[1-2]中，其標(biāo)準(zhǔn)三彎矩方程如下：

(1)

2.2 虛反力計(jì)算模型

1)單跨中間1個(gè)虛擬集中載荷的虛反力。

在連續(xù)簡支梁中[2]，單跨1個(gè)虛擬集中載荷的虛反力模型如圖2所示，其虛反力分別為：

①簡支座A的虛反力。

(2)

②簡支座B的虛反力。

(3)

圖2 單跨1個(gè)虛擬集中載荷虛反力

2)單跨中間2個(gè)虛擬集中載荷的虛反力。

常規(guī)設(shè)計(jì)資料里[2-4]，對(duì)連續(xù)簡支梁只給出了“單跨對(duì)稱2個(gè)虛擬集中載荷的虛反力計(jì)算”，未對(duì)“非對(duì)稱2個(gè)虛擬集中載荷的虛反力計(jì)算”進(jìn)行分析，本文結(jié)合“單跨中間1個(gè)虛擬集中載荷的虛反力計(jì)算”，分別按“F1與作用距離a”和“F2與作用距離b”的虛反力進(jìn)行力的合成，其模型如圖3所示，結(jié)合式(2)、(3)經(jīng)過推導(dǎo)得：

①支承彎矩。

MA=MB=0

(4)

②簡支座A的虛反力。

(5)

③簡支座B的虛反力。

(6)

圖3 單跨2個(gè)虛擬集中載荷虛反力

3)單跨一端1個(gè)虛擬彎矩載荷的虛反力。

在連續(xù)簡支梁中[2]，單跨一端1個(gè)虛擬彎矩載荷的虛反力模型如圖4所示，其支承彎矩的計(jì)算公式與式(4)相同，虛反力的計(jì)算公式分別為：

①簡支座A的虛反力。

(7)

②簡支座B的虛反力。

(8)

圖4 單跨一端1個(gè)虛擬彎矩載荷虛反力

2.3 建立中間各簡支座的三彎矩方程式

圖1中，由于連續(xù)支梁兩端簡支座0和3處沒荷載[1]，因此彎矩M0=M3=0，結(jié)合式(1)可以分別列出簡支座1和2處的三彎矩方程式。

簡支座1的三彎矩方程式：

(9)

簡支座2的三彎矩方程式：

(10)

2.4 各外載荷對(duì)各簡支座的虛反力計(jì)算

1)第1跨的虛反力計(jì)算。

該跨有載荷F1和F2，按照式(4)、(5)、(6)對(duì)第1跨求其虛反力：

(11)

(12)

2)第2跨的虛反力計(jì)算。

該跨有載荷F3和F4，按照式(4)、(5)、(6) 對(duì)第2跨求其虛反力：

(13)

(14)

3)第3跨的虛反力計(jì)算。

該跨的載荷有F5,F6及F7對(duì)簡支座3的彎矩MF7=-F7a。因此先分別求出每個(gè)載荷對(duì)該跨的虛反力，然后將簡支座A和B的虛反力合成。

①該跨載荷F5和F6對(duì)簡支座A、B的虛反力，按照式(4)、(5)、(6) 對(duì)第3跨求其虛反力：

(15)

(16)

②該跨載荷MF7=-F7a對(duì)簡支座A、B的虛反力，可按照式(7)、式(8) 對(duì)第3跨求其虛反力：

(17)

(18)

根據(jù)式(15)～(18)，即可以求出該跨總的虛反力：

(19)

(20)

2.5 各簡支座彎矩的計(jì)算

將式(11)～(20)代入式(9)和式(10)中求解得到各簡支座的彎矩：

2.6 各簡支座支反力的計(jì)算

根據(jù)外載荷F1～F7及式(21)中的各彎矩，可以求解各簡支座的支反力。

1)簡支座0處支反力計(jì)算。

在簡支座1處將連續(xù)簡支梁截?cái)啵∽筮厳U件進(jìn)行分析。因?yàn)镽0l1-F1(l1-a1)-F2(l1-b1)=M1,所以有

(22)

式中：Ri為支座i處的支反力，i=0,1,2,3。

2)簡支座1處支反力計(jì)算。

在簡支座2處將連續(xù)簡支梁截?cái)?，取左邊桿件分析得：

R0(l1+l2)+R1l2-F1(l1+l2-a1)-F2(l1+l2-b1)-F3(l2-a2)-F4(l2-b2)=M2

所以有

(23)

3)簡支座2處支反力計(jì)算。

在簡支座3處將連續(xù)簡支梁截?cái)?，取右邊桿件分析。因M3=-F7a，分析得：

R0(l1+l2+l3)+R1(l2+l3)+R2l3-F1(l1+l2+l3-a1)-F2(l1+l2+l3-b1)-F3(l2+l3-a2)-F4(l2+l3-b2)-F5(l3-a3)-F6(l3-b3)=M3

所以有

R2=

(24)

4)簡支座3處支反力計(jì)算。

在簡支座2處將連續(xù)簡支梁截?cái)?，取右邊桿件進(jìn)行分析。因R3l3-F3a3-F6b3-F7(l3+a)=M2，所以有

(25)

3 公式驗(yàn)證

3.1 驗(yàn)證方法

1)按《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》中特例進(jìn)行驗(yàn)證。

令F1=F3=F5=F，F(xiàn)2=F4=F6=F7=0，b1=b2=b3=a=0，I1=I2=I3=I，l1=l2=l3=l，a1=a2=a3=l/2。將按本文公式計(jì)算得到的結(jié)果與按《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》[4]計(jì)算得到的值進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果見表2。

表2 與《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》算得支反力的比對(duì)結(jié)果

2)用MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件進(jìn)行驗(yàn)證。

令F1=1 000N，F(xiàn)2=1 500N，F(xiàn)3=2 000N，F(xiàn)4=2 500N，F(xiàn)5=3 000N，F(xiàn)6=3 500N，F(xiàn)7=1 200N，l1=l2=l3=150mm，a=200mm，a1=a2=a3=50mm，b1=b2=b3=105mm，第1跨外徑do1=90mm、內(nèi)徑di1=45mm，第2跨外徑do2=105mm、內(nèi)徑di2=45mm，第3跨外徑do3=120mm、內(nèi)徑di3=45mm，懸臂端外徑do4=90mm、內(nèi)徑di4=45mm。分別用MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件與本文計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算比對(duì)，其比對(duì)情況如下：

①通過轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件MADYN2000建立模型，模型及計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 MADYN2000軟件建模及計(jì)算結(jié)果

②比對(duì)兩種計(jì)算方法獲得的支反力結(jié)果。

本文公式與MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件計(jì)算得到的支反力比對(duì)結(jié)果見表3。

表3 與MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)

3.2 驗(yàn)證結(jié)果分析

《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》中是直接給出支反力系數(shù)，沒有給出計(jì)算公式，因此采用特例驗(yàn)證方式驗(yàn)證了本文公式的正確性。

由于MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件采用的是有限元計(jì)算分析法，在計(jì)算時(shí)邊界條件有細(xì)微差異，導(dǎo)致結(jié)果也有一定偏差，但二者的計(jì)算結(jié)果是高度吻合的。

本文計(jì)算公式是用三彎矩方程求解簡支梁理論推導(dǎo)出來的，該公式的計(jì)算結(jié)果與《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》結(jié)果完全吻合，且與MADYN2000轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)專用軟件計(jì)算結(jié)果高度吻合，由此可知，本文計(jì)算公式是完全正確的。

4 結(jié)束語

本文介紹的不等跨變軸徑四支承曲軸支反力分析計(jì)算方法，為四支承曲軸支反力計(jì)算提供了快速、精確的計(jì)算依據(jù)，也為以后曲軸及軸承受力分析提供了可靠的數(shù)據(jù)，具有較高的工程實(shí)際意義。由于本文只是從理論上進(jìn)行研究，與實(shí)際應(yīng)用可能還存在一些差異，以后可結(jié)合工程實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證以獲得修整系數(shù)，使其達(dá)到與工程實(shí)際應(yīng)用的高度吻合。