羅昱穎 瀘州天立國(guó)際學(xué)校

引言：隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，高層建筑不斷涌現(xiàn)，而電梯是高層建筑中必不可少的交通設(shè)備高效，因此高效的電梯運(yùn)行模式顯得尤為重要。對(duì)于一些上班族和學(xué)生黨來(lái)說(shuō)，既想要睡懶覺(jué)，又想上班、上學(xué)不遲到，那么從家到公司、學(xué)校所需等待和乘坐電梯的時(shí)間就決定了你是否能準(zhǔn)時(shí)搭上公交車(chē)，是否能躲過(guò)遲到的魔爪。本文通過(guò)對(duì)我們生活中最常采用的隨機(jī)運(yùn)行模式和奇偶層運(yùn)行模式進(jìn)行建模分析找到電梯運(yùn)行模式的優(yōu)化方案。

1 模型假設(shè)及參量描述

1.1 電梯運(yùn)行規(guī)則假設(shè)

（1）樓層數(shù)為（F+1）（F≥1）

（2）電梯上行時(shí)均在第一層達(dá)到滿(mǎn)載，最大客容量為P，下行時(shí)不再裝載客人

（3）每位乘客在各層下電梯的概率相等，且相互獨(dú)立

（4）電梯需要向各層運(yùn)送的乘客數(shù)為c，設(shè)各層人數(shù)相等，即電梯需要運(yùn)送的總乘客數(shù)為（F+1）c

1.2 電梯運(yùn)行時(shí)間假設(shè)

（1）不考慮電梯啟動(dòng)與制動(dòng)時(shí)的加速和減速過(guò)程，即電梯已勻速v運(yùn)行

（2）電梯運(yùn)行時(shí)在相鄰兩層樓間所經(jīng)時(shí)間為t1

（3）設(shè)電梯在每層停留以供乘客出入的時(shí)間與乘客量無(wú)關(guān)，為時(shí)間t2（該時(shí)間已包含電梯?？繒r(shí)門(mén)的打開(kāi)和關(guān)閉所需時(shí)間）

（4）設(shè)電梯完成一次全部輸送所需的總時(shí)間T

將所用變量列為表一：

變量 含義 單位F+1 樓層總數(shù) 無(wú)單位P電梯的最大客容量 人c電梯向各層運(yùn)送的乘客數(shù) 人（F+1）c 電梯完成一次完整輸送所運(yùn)送的乘客數(shù) 人v電梯運(yùn)輸?shù)暮愣ㄋ俣?米每秒t1 電梯在相鄰樓層運(yùn)送所需時(shí)間 秒t2 電梯在每層停靠所需時(shí)間 秒T電梯運(yùn)送所有乘客的總時(shí)間 秒

2 常見(jiàn)電梯運(yùn)行模式比較

在我們生活中最常見(jiàn)的兩種電梯運(yùn)行模式則是隨機(jī)和奇偶層運(yùn)行，為簡(jiǎn)化描述同時(shí)不失一般性，假設(shè)有兩臺(tái)電梯同時(shí)運(yùn)行。如果一個(gè)電梯交通系統(tǒng)能滿(mǎn)足高峰期的交通需求，那么該交通系統(tǒng)就能滿(mǎn)足任意時(shí)間段的運(yùn)輸工作。因此，這里我們考慮如何在電梯使用的高峰期，盡快的將乘客運(yùn)送至目的樓層，以電梯運(yùn)送所有乘客的總時(shí)間T最短，依據(jù)“電梯運(yùn)行周期與運(yùn)行總時(shí)間之比等于電梯在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)送的乘客與乘客總數(shù)之比”的“比例”原則，對(duì)電梯常見(jiàn)運(yùn)行方式進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2.1 隨機(jī)運(yùn)行方案

此方案允許電梯上行時(shí)在任意樓層?？浚芍獌膳_(tái)電梯理論的平均運(yùn)行周期為（2Ft1+Ft2），乘客總數(shù)為2P，一個(gè)周期內(nèi)實(shí)際運(yùn)送的乘客數(shù)為Fc，所用時(shí)間為T(mén).依照上述的比例原則有：

化簡(jiǎn)得：

2.2 奇偶層運(yùn)行方案

該方案要求兩臺(tái)電梯向上運(yùn)行時(shí)，一臺(tái)?？科鏀?shù)層，另一臺(tái)?？康谝粚雍团紨?shù)層，現(xiàn)討論F的奇偶性

（1）當(dāng)F為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)+1為偶數(shù)，運(yùn)行奇數(shù)層的電梯運(yùn)行周期為（F-1）(2t1+t2/2),運(yùn)行偶數(shù)層的電梯運(yùn)行周期為【2Ft1+(F+1)t2/2】,所以電梯運(yùn)送所有乘客的時(shí)間即為完成運(yùn)送至偶數(shù)層的乘客所用的時(shí)間，仿照①式可得：

化簡(jiǎn)有：

（2）當(dāng)F為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)+1為奇數(shù)，運(yùn)行奇數(shù)層的電梯運(yùn)行周期為（2Ft1+Ft2/2）,運(yùn)行偶數(shù)層的電梯運(yùn)行周期為【2（F-1）t1+Ft2/2】,所以電梯運(yùn)送所有乘客的時(shí)間即為完成運(yùn)送至奇數(shù)層的乘客所用的時(shí)間，仿照①式可得：

3 電梯運(yùn)行模式的優(yōu)化設(shè)計(jì)

研究了上述兩種運(yùn)行模式后，我們不妨想象一下如果將樓層分成幾個(gè)板塊，再分別由電梯運(yùn)送，會(huì)不會(huì)使電梯的運(yùn)送時(shí)間更短，現(xiàn)對(duì)電梯新的運(yùn)行模式作假設(shè)：以（Fm+1）（0＜m＜1）層為界分為上下兩段，一臺(tái)電梯運(yùn)行第一層至第（mF+1）層，另一臺(tái)則運(yùn)行第一層，第（Fm+2）層至第（F+1）層，同理可得：

化簡(jiǎn)上述兩式得：

由⑧⑨可知，當(dāng)m增大時(shí),T1增大，T2減小，所以T1是關(guān)于m的增函數(shù)，T2是關(guān)于m的減函數(shù)，令T1=T2,解得

現(xiàn)對(duì)m的大小進(jìn)行分類(lèi)討論

當(dāng)m＞n時(shí),T1＞Tn＞T2,T=T1

當(dāng)m＜n時(shí),T1＜Tn＜T2,T=T2

當(dāng)m=n時(shí),T有最小值，此時(shí)運(yùn)送所有乘客的總時(shí)間最短，即

依據(jù)以上對(duì)三種模型求得的時(shí)間，觀察可得分段運(yùn)行模式最優(yōu)。

4 電梯對(duì)臨時(shí)需求的響應(yīng)

電梯根據(jù)各層的用戶(hù)通過(guò)面板發(fā)出的臨時(shí)指令需要做出響應(yīng)，各樓層發(fā)出向上或者向下的指令的概率，在一天中絕大多數(shù)的時(shí)刻服從均勻概率密度函數(shù)，在上下班等高峰段擇更接近于正態(tài)分布的概率極大值點(diǎn)。電梯根據(jù)任意時(shí)間片段內(nèi)的指令之和，綜合做出對(duì)應(yīng)的運(yùn)行行為。樓層信息通過(guò)各層不同的賦值，可以通過(guò)計(jì)算判斷對(duì)特定的指令，到底是向下運(yùn)行或向上運(yùn)行，在有兩臺(tái)以上電梯時(shí)，是否由同一臺(tái)電梯并向上或向下運(yùn)行至樓層的最大或最小樓層，期間出現(xiàn)的所有樓層信息都加入到電梯對(duì)臨時(shí)需求的決策內(nèi)，每到一樓層就判斷臨時(shí)的需求中是否有包含該樓層，有則在該層停留，并移除該層需要再?？康男畔?，無(wú)則繼續(xù)運(yùn)行，運(yùn)行至最值處，重新從臨時(shí)乘梯的需求中找出最值，并判斷向上或向下運(yùn)行，如此循環(huán)。當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有需求信息后，電梯選擇在合適的樓層?？康却欢螘r(shí)間，并實(shí)時(shí)的監(jiān)測(cè)是否存在需求。

5 電梯故障響應(yīng)決策

電梯運(yùn)行的過(guò)程故障率是極低的，可靠性很高，但是設(shè)計(jì)者必須考慮故障時(shí)的處理方法，以避免在極小概率情況下的安全和財(cái)產(chǎn)損失。

考慮一個(gè)具體的情形：有4部以上的電梯，同時(shí)有3部以下的電梯發(fā)生了故障。由于電梯總體上上下人是同時(shí)進(jìn)行的，這在現(xiàn)實(shí)中可以實(shí)現(xiàn)，用不同的時(shí)間起點(diǎn)去描述電梯的騎士運(yùn)行時(shí)間，即把電梯記錄故障的時(shí)刻設(shè)置不同步就可以了，也就是電梯系統(tǒng)運(yùn)行中可能最多會(huì)有3個(gè)不同的故障，這時(shí)我們的辦法是，對(duì)故障發(fā)生的樓層進(jìn)行重要性的大小排序，一次只去解決一個(gè)故障，注意在響應(yīng)這個(gè)故障后，電梯已經(jīng)運(yùn)行到了新的位置。解決完這個(gè)故障后，將這個(gè)故障在需要處理得故障清單中清除，然后再對(duì)余下剩下的電梯故障重新排序，然后繼續(xù)以上的過(guò)程，直到所有的故障得以消除或者解決。人數(shù)變化時(shí)需要等待正在改變?nèi)藬?shù)的電梯運(yùn)行完才能變化，也就是說(shuō)，一次只能一個(gè)電梯改變其內(nèi)的人數(shù)，其后的電梯運(yùn)行到任務(wù)樓層后只能停在原地等待，改變完的電梯會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。

比如電梯樓層是0-21層，當(dāng)鍵盤(pán)監(jiān)測(cè)到22以上的輸入時(shí)，則不做出任何響應(yīng)，在0-21層中，只需對(duì)監(jiān)聽(tīng)到的值進(jìn)行特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算就可決定接下去如何運(yùn)行。

只有一個(gè)電梯時(shí)發(fā)生故障時(shí)無(wú)法解決電梯的調(diào)度的，因此2部以上的電梯不僅是運(yùn)力的需要，也是故障容錯(cuò)機(jī)制的必要。理論上2部電梯就會(huì)很好的運(yùn)行，并且在電梯變多后，不僅帶來(lái)運(yùn)力的線(xiàn)性提升，還帶來(lái)運(yùn)行控制方法成倍的復(fù)雜化。因?yàn)橐恍┎l(fā)問(wèn)題使策略容易出現(xiàn)較為復(fù)雜的情形，這時(shí)總的原則同以上所述。

6 電梯?？坎呗?/h2>

并非所有的時(shí)刻電梯在都在同時(shí)被需求，實(shí)際的情況很有可能是這樣：考慮電梯樓層不特別高，在相對(duì)有限的時(shí)間內(nèi)能完成一次完整的運(yùn)行，電梯只在一個(gè)樓層停，這樣乘電梯的每個(gè)人都在這個(gè)樓層走到自己想去的樓層。那么怎么知道電梯每次在哪個(gè)樓層停下來(lái)呢？在一樓的時(shí)候每個(gè)乘客選擇自己的目的層，電梯可以快速的自動(dòng)計(jì)算出應(yīng)停的樓層。這個(gè)應(yīng)停的樓層應(yīng)該保證這次乘坐電梯的所有乘客的爬樓梯層數(shù)之和最少（包括上下樓）。

7 問(wèn)題分析及數(shù)學(xué)建模

該問(wèn)題本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題。首先為這個(gè)問(wèn)題找到一個(gè)合適的抽象模型。從問(wèn)題的場(chǎng)景中可以看出，有兩個(gè)因素會(huì)影響到最后的結(jié)果：乘客的數(shù)量及需要停的樓層。因此，我們可以從統(tǒng)計(jì)到達(dá)各層的乘客數(shù)目開(kāi)始分析。

假設(shè)樓層總共有N層，電梯停在第x層，要去第i層的乘客數(shù)目總數(shù)為total[i],這樣，所爬樓梯的總數(shù)就是∑{total[i]*| i - x|}(i =1 , 2 , …… ,N-1,N)。因此我們的任務(wù)就是找到一個(gè)整數(shù)x使得∑{total[i]*| i - x|}(i = 1 , 2 , ……N-1, N)的值最小。及求函數(shù)：

數(shù)學(xué)求解

方法一：

先考慮最簡(jiǎn)單的解決方案，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，可以第一層開(kāi)始枚舉x一直第N層，然后計(jì)算如果電梯在第x層停的話(huà)所有乘客總共要爬多少層樓。這是最為直觀簡(jiǎn)潔的一個(gè)解法。

方法二：

現(xiàn)在我們來(lái)更仔細(xì)的分析一下這個(gè)問(wèn)題，看看怎么樣優(yōu)化一下。假設(shè)電梯停在第i層樓，我們計(jì)算出所有乘客總共爬樓梯的層數(shù)是Q。如果有N1個(gè)乘客想去的樓層在第i層之下，有N2個(gè)乘客正好想去的樓層是第i層，有N3個(gè)乘客想去的樓層在第i層之上。這個(gè)時(shí)候，考慮一種具體的情形：如果電梯改停在i-1層，所有目的地在第i-1層以下的乘客可以少爬1層，總共少爬N1層，所有在i層及以上的乘客要多爬一層，總共多爬N2+N3層，這時(shí)總共需要爬Q-N1+N2+N3。

反之，如果電梯在i+1層停所有目的地在第i層以上的乘客可以少爬1層，總共少爬N3層，所有在i層及以下的乘客要多爬一層，總共多爬N1+N2層，這時(shí)總共需要爬Q+N1+N2-N3層。

可見(jiàn)，當(dāng)N1＞ N2+N3 時(shí)，電梯在第i-1層樓停更好；當(dāng)N1+N2＜N3 時(shí)，電梯在i+1層停更好。其他情況在第i層更好。

通過(guò)以上的討論，電梯的運(yùn)行策略需要考慮的角度較多，可以根據(jù)不同的情形建立數(shù)學(xué)方程，并且從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行解決。

8 結(jié)束語(yǔ)

本文討論了電梯運(yùn)行中的規(guī)律和可能采取的運(yùn)行策略。并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了討論和比較，給出了優(yōu)化運(yùn)行的方法。