(中國建筑材料工業(yè)地質勘查中心陜西總隊，陜西 西安 710003)

多級壓裂技術是頁巖氣實現商業(yè)化開發(fā)的關鍵技術之一，由于頁巖天然裂縫、脆性礦物含量、地應力等復雜性，壓裂裂縫形態(tài)呈多樣化特點，使得頁巖氣井產能預測困難。目前對頁巖氣裂縫形態(tài)的描述主要包括三種：平板狀雙翼裂縫；多裂縫網絡；主裂縫與裂縫網絡系統的結合[1-3]。Cinco-Ley H等[4]、 Wattenbarger R A等[5-6]、Anderson D M等[7]基于平板狀雙翼裂縫假設建立了致密氣垂直裂縫直井產量預測及分析模型，并給出了裂縫直井線性流分析方法，Nobakht M等[8-10]將該模型應用于多級壓裂水平井；基于多裂縫網絡假設，Bello R O等[11]Moghadam S等[12]建立了雙孔線性流產能預測模型, Brown M等[13]、Ozkan E等[14]、Brohi I等[15]、徐兵祥等[16]考慮了未壓裂區(qū)對頁巖氣產量的影響，建立了頁巖復合氣藏線性流模型；對于裂縫形態(tài)為主裂縫與裂縫網絡系統結合的頁巖氣產能預測模型，目前還未發(fā)現相關報道。本文基于主裂縫與裂縫網絡并存的裂縫形態(tài)假設建立相應三孔數學模型，求得拉式空間下產量解析解，得到新的頁巖氣井產量典型曲線，并對比了其與雙孔線性流模型的差異性，為該類型裂縫形態(tài)多級壓裂水平井提供產能預測和分析模型。

1 物理模型建立

圖1為裂縫形態(tài)的三種類型。圖1a中裂縫為平板規(guī)則形狀，均勻分布在井筒兩側；圖1b中裂縫為不規(guī)則的裂縫網絡，分布在井筒周圍體積壓裂區(qū)域；圖1c既包括規(guī)則形狀的平板狀裂縫，其周圍又分布著不規(guī)則的裂縫網絡。對天然裂縫性儲層進行壓裂時，人工裂縫延伸過程中會與天然裂縫進行作用，形成復雜裂縫[17]；而支撐劑往往集中在離井筒附近較大的裂縫中，形成導流能力較大的主裂縫[1]。本文針對圖1c的裂縫形態(tài)建立模型，采用雙重介質模型描述裂縫網絡與基質系統特征，外加主裂縫一個流動系統，共包括三個流動系統。

圖1 頁巖氣多級壓裂水平井裂縫形態(tài)

2 數學模型及其求解

2.1 基本假設

圖2為多級壓裂水平井主裂縫與雙重介質模型，包括主裂縫系統、裂縫系統與基質系統，假設：

(1)氣藏為雙孔系統，基質塊為平板狀，地層均質、等厚、等溫；

(2)主裂縫均勻分布在水平井筒兩邊，垂直縫，裂縫長度、導流能力相同；

(3)產量僅受壓裂區(qū)控制，流體從基質到裂縫、裂縫到主裂縫、主裂縫到井筒的流動均為線性流動；

(4)單相氣定壓生產，不考慮水平井端部與指端流體流動；

(5)不考慮吸附氣解吸對產量影響；

(6)不考慮井筒流動阻力，不考慮表皮系數與井儲效應影響。

圖2 多級壓裂水平井模型示意圖及參數

2.2 連續(xù)性方程及邊界條件

由于氣體參數隨壓力和時間變化，采用擬壓力和擬時間來代替模型中的壓力和時間，擬壓力公式為：

(1)

擬時間為

(2)

式中，ψ為氣體擬壓力函數，MPa2/mpa·s；p為壓力，MPa；μ為粘度，mpa·s；z為壓縮因子；ta為擬時間，days；t為生產時間，days；Ct為原始條件下總壓縮系數，MPa-1。

2.2.1 雙重介質基質中的流動

假設基質為平板狀，基質系統控制方程為：

(3)

初始條件下基質壓力等于原始地層壓力，得到

ψm(z，0)=ψi

基質塊內部為不滲透，因此內邊界條件為

基質塊與裂縫接觸面處壓力相等，因此外邊界條件為

ψm(zm/2，t)=ψf

此處zm為平板基質塊寬度，m；km為基質滲透率，mD；m代表基質系統。φ為孔隙度；i表示原始條件。

2.2.2 雙重介質裂縫中的流動

雙重介質裂縫中流動控制方程為：

(4)

初始條件下裂縫壓力等于原始地層壓力，得到

ψf(x，0)=ψi

主裂縫之間存在不滲透流動邊界，因此定義內邊界條件為

裂縫系統與主裂縫系統交接處壓力相等，因此定義外邊界條件為

ψf(L/2，t)=ψF

此處L為主裂縫間距，m； f代表裂縫系統。

2.2.3 主裂縫

主裂縫系統中流體流動控制方程為：

(5)

初始條件下裂縫壓力處處相同且等于原始地層壓力，

ψF(x，0)=ψi

由于不考慮水平井筒壓力降，且假設恒定井底流壓生產，則內邊界條件為

ψF(0，t)=ψwf

假設裂縫縫端封閉，外邊界條件為

式中， wF為主裂縫寬度，m； F代表主裂縫系統。

由于主裂縫內孔隙體積較雙重介質很小，在實際壓力或產量反映中很難觀察到該裂縫的作用，故此處可不考慮流體體積變化量對壓力的影響，認為壓力的變化僅受外部裂縫系統氣體流入的影響。因此，裂縫方程可簡化成穩(wěn)態(tài)形式求解，控制方程變?yōu)?/p>

(6)

2.3 無因次變換

定義無因次變量：

其中xF為主裂縫半長，m；qg為產氣量，m3/day；T為絕對溫度，K。

產量與壓力的關系為

(7)

根據無因次變量定義，將基質系統、裂縫系統、主裂縫系統微分方程及初始邊界條件轉換成無因次變量形式，如下：

(1)雙重介質基質系統

(2)雙重介質裂縫系統

(3)主裂縫系統

2.4 模型拉式空間解

設拉式變換式為

(8)

(1)基質系統拉式變換及求解

基質方程轉化為：

根據初始條件ψmD(tDa=0)=0，因此控制方程的通解為：

(9)

由內、外邊界條件，得到

(10)

當yD=yDe時

(11)

(2)裂縫系統拉式變換及求解

裂縫方程轉化為：

控制方程的通解為：

(12)

其中：

(13)

由內、外邊界條件，得到該方程的解為

(14)

則

(15)

(3)主裂縫系統拉式變換及求解

主裂縫方程給轉化為：

控制方程通解為：

(16)

其中：

由內、外邊界條件，得到該方程的解為

(17)

則

(18)

(4)定壓產量解

根據公式(7)產量與壓力關系，可得到定壓解：

(19)

采用Laplace數值反演Stehfest方法可計算產量。

圖3 三孔線性流模型產量典型曲線

3 新的頁巖氣三孔模型典型曲線

圖3為新的三孔模型產量典型曲線，分別給出了三個重要參數無因次裂縫導流能力CFD、竄流系數λ、儲容比ω對典型曲線形態(tài)的影響。從圖可看出典型曲線主要包括以下四個流動階段：

階段一，裂縫線性流，為主裂縫與雙重介質裂縫系統的共同作用，雙對數曲線斜率為-0.5。從圖3a可看出，CFD主要影響產量的絕對值，隨CFD值增大，產量增大，但該階段時間縮短。從圖3c可看出，隨著ω增大，裂縫內孔隙體積大，產量增大，且該階段持續(xù)時間延長。可看出CFD與ω對產量的影響均發(fā)生在這一階段。在實際生產過程中，主裂縫線性流階段發(fā)生時間很短，很難與天然裂縫作用分開，因此在數學模型求解時取二者的綜合作用。

階段二，過渡流，發(fā)生在裂縫線性流達到邊界后，為裂縫線性流進入下個流動階段的中間階段。該階段持續(xù)時間長短和產量下降幅度取決于基質系統與裂縫系統物性的差異，當λ增大，可理解為基質滲透率較大時，過渡流階段持續(xù)時間短；隨著ω減小，可理解為裂縫孔隙體積減小或基質孔隙體積增大，基質系統能更快、更有效的向裂縫系統供氣，導致該流動階段持續(xù)時間縮短。

階段三，基質線性流，這時基質孔隙內流體的流動成主導作用，雙對數曲線斜率為-0.5。由于頁巖基質滲透率很低，因此，該階段持續(xù)時間長。竄流系數λ對該階段影響較大，隨著λ增大，產量增大，且該階段持續(xù)時間縮短，能更快的進入下個階段。

階段四，邊界流，當基質內流體流動到達內邊界時，形成擬穩(wěn)態(tài)流動，在雙對數曲線上表現為曲線下滑，這時整個控制范圍內壓力均已波及到。

通過這四個階段特點可求得儲層參數和控制儲量，尤其是長時間線性流階段，能真實反映儲層流體流動特征。主裂縫與裂縫系統是難以區(qū)分的，但不影響對生產中后期產量的預測。

4 與雙孔線性流模型對比

三孔線性流模型較雙孔模型僅多了一個主裂縫系統，為了分析主裂縫的作用，下面對比二者的產量情況。取相同的λ、ω值，分別做出兩模型的典型曲線，其中三孔模型中無因次導流能力分別取CFD=1、10、50。

圖4為雙孔與三孔模型產量典型曲線，二者流動階段是一致的，但在相同的λ、ω值情況下，三孔模型較雙孔模型產量高，且隨著主裂縫無因次導流能力CFD增加，產量增大，說明主裂縫一定程度上增大了頁巖氣井產量。因此，在進行壓裂施工時，要盡可能壓裂形成主裂縫和裂縫網絡的裂縫形態(tài)，高導流能力的主裂縫對產量影響很大，尤其是早期產量。

圖4 三孔與雙孔模型產量對比(λ=0.0001, ω=0.01)

5 結語

(1)建立了頁巖氣三孔線性流模型并給出拉式空間解，該模型適用于頁巖氣多級壓裂水平井裂縫形態(tài)為主裂縫與裂縫網絡綜合的情形。

(2)基于三孔線性流模型得到了頁巖氣新的產量典型曲線，包括裂縫線性流、過渡流、基質線性流、邊界流四個流動階段。裂縫線性流為主裂縫與裂縫網絡系統的共同作用，實際井分析時難以區(qū)分，合并考慮不影響對中后期產量的預測。

(3)其它參數相同時，三孔線性流模型較雙孔模型產量高，因此，建議壓裂施工設計時，盡可能壓開主裂縫，同時誘導更多裂縫網絡的形成。