白旭芳 趙玉偉 尹洪武 額爾敦朝魯

1)(內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,通遼 028043)2)(河北科技師范學(xué)院凝聚態(tài)物理研究所,秦皇島 066004)(2018年2月19日收到;2018年5月15日收到修改稿)

1 引 言

近年來,量子點(diǎn)的奇特光學(xué)性質(zhì)和輸運(yùn)特性持續(xù)受到人們的重視,已成為材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理中的一個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域,出現(xiàn)了許多新的實(shí)驗(yàn)研究[1?4]和理論研究[5?8]工作報(bào)道.但仍有一些有價(jià)值的課題亟待研究.1)關(guān)于量子點(diǎn)存在厚度的問題.不難看出,人們對(duì)量子點(diǎn)的理論研究大多都未考慮量子點(diǎn)的厚度所帶來的影響,其結(jié)果無疑是比較粗糙的.2)關(guān)于量子點(diǎn)限定勢(shì)的描寫.在許多研究中,單參量拋物線型限定勢(shì)阱被用來描述量子點(diǎn)中電子的限定勢(shì)[9?12].然而,拋物線型限定勢(shì)阱既沒有有限的深度也沒有范圍可言,是一種過于簡(jiǎn)化了的模型,不能很好地反映真實(shí)的限定勢(shì).一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果的限定勢(shì)應(yīng)采用非拋物形的阱狀勢(shì)[13],如密度矩陣勢(shì)或非對(duì)稱三角勢(shì)[14]、高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱[15]等,其中高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱是一個(gè)很好的近似,它平滑并具有有限深勢(shì)阱和有限的阱寬.Adamowski等[16]研究了在假想高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱束縛下的兩電子量子點(diǎn)系統(tǒng),并討論了它的拋物近似.Xie[17]計(jì)算了高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱中兩電子量子點(diǎn)的能譜.谷娟和梁九卿[13]利用數(shù)值矩陣對(duì)角化的方法計(jì)算了高斯函數(shù)型限定勢(shì)束縛下施主中心量子點(diǎn)系統(tǒng)能譜并討論了其特性.但這些工作均未考慮介質(zhì)的極化效應(yīng).3)關(guān)于極化效應(yīng)對(duì)電子態(tài)的影響.當(dāng)計(jì)及量子點(diǎn)厚度時(shí),由于強(qiáng)量子受限效應(yīng)的存在,使得極化效應(yīng)表現(xiàn)得更為明顯[18,19],毫無疑問,量子點(diǎn)的厚度引起的介質(zhì)的極化效應(yīng)對(duì)量子點(diǎn)中電子態(tài)的影響不可忽視.最近,Xiao[20]研究了RbCl反對(duì)稱高斯函數(shù)型限定勢(shì)量子阱量子比特的電場(chǎng)效應(yīng),Khordad等[21]研究了非對(duì)稱高斯函數(shù)型限定勢(shì)量子阱中束縛極化子基態(tài)和壽命的溫度依賴性.4)近幾年引入高斯限定勢(shì)阱研究低維結(jié)構(gòu)電子態(tài)的性質(zhì)在量子阱結(jié)構(gòu)已有不少出色的工作報(bào)道[14,20?23],但是,相關(guān)研究在量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域甚少,尤其是研究電磁場(chǎng)對(duì)高斯函數(shù)型限定勢(shì)量子點(diǎn)中電子態(tài)變遷的影響的工作尚未報(bào)道.本文在計(jì)及量子點(diǎn)厚度和氫化雜質(zhì)束縛情形下,分別選取拋物線型限定勢(shì)阱和高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱描寫盤型量子點(diǎn)中電子的橫向限定勢(shì)和縱向限定勢(shì),采用Lee-Low-Pines-Pekar變分法研究了電子在外磁場(chǎng)作用下的量子躍遷問題.

2 理論模型與變分計(jì)算

考慮一個(gè)處于盤狀量子點(diǎn)中與介質(zhì)中的體縱光學(xué)(longitudinal optics,LO)聲子場(chǎng)相互作用的電子.建立笛卡爾坐標(biāo)系,盤的中心軸線在Oz軸上,底面處于垂直于Oz軸的x-y平面上.在坐標(biāo)原點(diǎn)處摻入一氫化雜質(zhì)并施加沿z軸方向的磁場(chǎng)B.采用拋物線型限定勢(shì)阱

描述電子在垂直于磁場(chǎng)方向的限定勢(shì),其中mb是電子的帶質(zhì)量,ρ是電子在x-y平面上的位矢,ω0為量子點(diǎn)的橫向受限強(qiáng)度,為拋物線型限定勢(shì)范圍;采用非對(duì)稱高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱

描寫電子在磁場(chǎng)方向的限定勢(shì),其中,V0表示高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱的阱深且V0＞0;L表示其阱寬,亦稱量子點(diǎn)的厚度.這樣,磁場(chǎng)中量子點(diǎn)內(nèi)電子-氫化雜質(zhì)-LO聲子場(chǎng)相互作用體系的哈密頓量可以寫為[20,21]

式中,VC(r)=?e2/(ε∞r(nóng))為庫侖勢(shì),其余各量的物理意義與文獻(xiàn)[20,21]相同.

為利用變分技術(shù)得到體系的能量本征值和本征函數(shù),首先,將哈密頓量H右邊寫成兩部分

這里

式中ωc=2eB/(mbc)為磁場(chǎng)的回旋頻率,B為磁感應(yīng)強(qiáng)度.然后,再討論變分函數(shù)U?1H0U在|Φ〉態(tài)中的期待值問題,按照變分原理,

這里

是Lee-Low-Pines幺正變換[24],其中,fk和f?k為變分參數(shù),|Φ〉是體系的試探波函數(shù).假設(shè)對(duì)于體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài),高斯函數(shù)近似成立,則依據(jù)Pekar類型變分法[25?27],分別選取體系的基態(tài)試探波函數(shù)|Φ0〉和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)|Φ1〉為

其中λ0和λ1為變分參數(shù);ψ0(ρ,z)和ψ1(ρ,z)分別表示電子軌道運(yùn)動(dòng)的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù);|0ph〉是聲子的真空態(tài),由bk|0ph〉=0確定.

將(5)式和(8)—(10)式代入(7)式中,可分別確定變分參數(shù)fk(λ0)和fk(λ1)為:

利用這些變分參數(shù),并經(jīng)過冗長(zhǎng)的計(jì)算,得到電子-氫化雜質(zhì)-LO聲子相互作用體系的基態(tài)(第一激發(fā)態(tài))平均聲子數(shù)N0(N1)和能量E0(E1)分別如下:

3 結(jié)果與討論

為了揭示極化子的基態(tài)(第一激發(fā)態(tài))平均聲子數(shù)N0(N1)和能量E0(E1)以及躍遷概率Q隨介電常數(shù)比η、磁場(chǎng)的回旋頻率ωc、電聲耦合強(qiáng)度α、高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱深V0和阱寬L以及振蕩周期t的變化規(guī)律,我們給出了數(shù)值仿真結(jié)果,如圖1—圖9所示. 圖中分別以rp,ωLO,(ωLO)?1和?ωLO作為長(zhǎng)度,ωc,t和能量的單位.

圖1分別描寫了極化子基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)平均聲子數(shù)N0和N1在不同介電常數(shù)比η下隨拋物線型限定勢(shì)阱范圍R0的變化.圖1表明,在相同條件下,N0＞N1,這一結(jié)果符合統(tǒng)計(jì)物理規(guī)律.由圖1可以看出,N0和N1隨R0的增加而減小,這是因?yàn)殡S著R0的增大,電聲相互作用由于粒子橫向運(yùn)動(dòng)空間的增大而減小,導(dǎo)致電子周圍平均聲子數(shù)減小;在給定R0下,N0和N1隨η的增加而增大,這是因?yàn)棣窃酱?電子與氫化雜質(zhì)間庫侖勢(shì)VC∝?(1?η)?1越強(qiáng),由此產(chǎn)生的晶體附加極化增大,因而推高電子周圍的平均聲子數(shù)增大.

圖1 平均聲子數(shù)N在不同介電常數(shù)比η下隨拋物線型限定勢(shì)阱范圍R0的變化Fig.1.Mean number of phonons N as a function of the range R0of the parabolic con finement potential well(PCPW)at different dielectric constant ratio η.

圖2表示聲子數(shù)N0和N1在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖2可以看出,在L的不同區(qū)域內(nèi),N0和N1隨L的變化形式有所不同.1)當(dāng)L較大時(shí),N0和N1隨L的減小而單調(diào)增大.這是因?yàn)殡S著L的減小,電聲相互作用由于粒子縱向運(yùn)動(dòng)空間被壓縮而增強(qiáng),導(dǎo)致電子周圍平均聲子數(shù)增加.2)當(dāng)L較小時(shí),N0和N1隨L的減小而增大至一個(gè)最大值.這是一種量子現(xiàn)象,量子點(diǎn)的厚度越小,量子尺寸效應(yīng)越明顯[18,19].3)N0和N1隨L的減小而增大至一最大值后又迅速減小.這意味著當(dāng)量子點(diǎn)的厚度很薄時(shí),LO聲子效應(yīng)不再占主導(dǎo)作用,此時(shí)應(yīng)該考慮表面光學(xué)聲子或界面光學(xué)聲子效應(yīng)[29],這超出了本文的研究范圍.4)在L給定時(shí),N0和N1隨V0的增加而增大.這是因?yàn)榭v向約束勢(shì)增大,意味著介質(zhì)的極化增強(qiáng),亦即電子周圍平均聲子數(shù)就增多.

圖2 平均聲子數(shù)N在高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱不同阱深V0下隨其阱寬L的變化Fig.2.Mean number of phonons N as a function of the well width L at different well depth V0of the asymmetric Gaussian functional con finement potential well(AGFCPW).

圖3表示了基態(tài)(第一激發(fā)態(tài))能量E0(E1)在不同介電常數(shù)比η下隨拋物線型限定勢(shì)阱范圍R0的變化.由圖3可以看出,E0和E1隨R0的減小而增大,這是因?yàn)橐话銇碚fE0＜0,E1＜0,但是拋物線型限定勢(shì)阱VP＞0且在給定R0下,E0和E1隨η的增加而減小,這是因?yàn)樵诤瑲浠s質(zhì)的晶體或納米結(jié)構(gòu)中,電子被庫侖勢(shì)(VC＜0)束縛于氫化雜質(zhì)中[30?32],且η越大,氫化雜質(zhì)對(duì)電子的限定勢(shì)VC∝?(1?η)?1越強(qiáng),致使電子的能量越低.

圖4描述了能量E0(E1)在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖4可以看出,|E0|＞|E1|,|E0|和|E1|隨L的增加而增大,增大的幅度隨L的增加而趨緩;同時(shí),在給定L下,|E0|和|E1|隨V0的增加而增大.這是由于高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱函數(shù)VG(z)＜0,而且|V(z)|隨L或V0增加而增大所致.

圖5描述了躍遷概率Q在不同介電常數(shù)比η下隨拋物線型限定勢(shì)范圍R0的變化.由圖5可以看出:Q隨R0的縮小而減小.這是因?yàn)殡S著拋物線型限定勢(shì)阱范圍的減小,電子在x?y平面內(nèi)的受限增大,致使電子狀態(tài)的穩(wěn)定性提高而改變它的難度增大.當(dāng)R0較小(R0＜2.2rp)時(shí),Q隨R0的減小而減小的幅度較大;當(dāng)R0較大(R0＞2.2rp)時(shí),Q隨R0的減小而減小的幅度很小.在給定R0下,Q隨η的增大而減小.這是因?yàn)棣窃酱?氫化雜質(zhì)對(duì)電子的庫侖限定勢(shì)VC∝?(1?η)?1越強(qiáng),致使電子態(tài)的變化越難.

圖3 基態(tài)(第一激發(fā)態(tài))能量E0(E1)在不同介電常數(shù)比η下隨范圍R0的變化Fig.3.The ground(the first excited)state energy E0(E1)as a function of the range R0of the PCPW at different dielectric constant ratio η.

圖4 基態(tài)(第一激發(fā)態(tài))能量E0(E1)在不同阱深V0下隨阱寬L的變化Fig.4.The ground(the first excited)state energy E0(E1)as a function of the well width L at different well depth V0of AGFCPW.

圖6表示了概率Q在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖6可以看出,在L的不同區(qū)域內(nèi),Q隨L的變化形式有所不同:當(dāng)L較大(L＞1.3rp)時(shí),Q隨L的減小而單調(diào)減小,這一結(jié)果與圖5所示的Q隨拋物限定勢(shì)范圍R0的縮小而減小的規(guī)律相似;但是,當(dāng)L較小(L＜1.3rp)時(shí),Q隨L的變化而振蕩變化.這是一種量子現(xiàn)象,因?yàn)榘凑樟孔永碚?阱寬L越小,量子尺寸效應(yīng)越加明顯.比較圖6與圖5不難看出,圖6給出的躍遷概率Q隨高斯限定勢(shì)范圍L的變化規(guī)律,無論從量子力學(xué)理論看,還是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13]的檢驗(yàn)看,都比圖5給出的躍遷概率Q隨拋物限定勢(shì)范圍R0的變化規(guī)律更加合理和符合實(shí)際.不過,當(dāng)限定勢(shì)范圍(R0和L)的取值較大時(shí),二者的變化規(guī)律基本一致,這是因?yàn)楫?dāng)z/L?1時(shí),高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱可以用拋物線型限定勢(shì)阱近似.總之,對(duì)量子點(diǎn)限定勢(shì)下的電子態(tài)及其變化而言,不考慮量子點(diǎn)的厚度所帶來的影響,其結(jié)果無疑是比較粗糙的,亦即無論是對(duì)量子點(diǎn)輸運(yùn)性質(zhì)還是光學(xué)性質(zhì)的研究,考慮量子點(diǎn)厚度的影響是有實(shí)際意義的;與此同時(shí),高斯函數(shù)型限定勢(shì)比拋物線型限定勢(shì)更能精確地反映量子點(diǎn)真實(shí)的限定勢(shì).由圖6還可以看出,對(duì)于給定的L,Q隨V0的增加而減小.這是因?yàn)閂G(z)＜0時(shí),V0越大,電子的能量越低,電子的狀態(tài)就越穩(wěn)定.

圖5 躍遷概率Q在不同介電常數(shù)比η下隨拋物線型限定勢(shì)阱范圍R0的變化Fig.5.The transition probability Q as a function of the range R0of PCPW at different dielectric constant ratio η.

圖6 躍遷概率Q在高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱不同阱深V0下隨阱寬L的變化Fig.6.The transition probability Q as a function of the well width L at different well depth V0of the AGFCPW.

圖7表示了概率Q在不同耦合強(qiáng)度α下隨介電常數(shù)比η的變化.由圖7可以看出,Q隨η的增大而減小的幅度隨α的減小而增大,這是因?yàn)棣猎酱?意味著電聲相互作用越強(qiáng),致使電子周圍聲子平均數(shù)越多,電子的自陷越深,電子態(tài)發(fā)生躍遷的難度就越大.由此可見,在研究量子點(diǎn)中電子態(tài)的變化時(shí)不能忽略聲子(介質(zhì)的極化)效應(yīng)的影響.

圖7 概率Q在不同耦合強(qiáng)度α下隨介電常數(shù)比η的變化Fig.7.The probability Q as a function of the dielectric constant ratio η at different electron-phonon coupling strength α.

圖8描述了概率Q在不同耦合強(qiáng)度α下隨磁場(chǎng)的回旋頻率ωc的變化.由圖8可以看出,當(dāng)ωc=0時(shí),Q=0,Q隨ωc的增大而周期性振蕩上升,這都表明施加外磁場(chǎng)是電子態(tài)發(fā)生量子躍遷的必要條件.由圖8還可以看出,Q隨ωc的增大而周期性振蕩上升的形態(tài)受到α的顯著影響,Q的振蕩周期隨α的增大而增加,而振蕩的幅度隨α的增大而減小.

圖9分別表示了躍遷概率Q在不同介電常數(shù)比η和不同磁場(chǎng)的回旋頻率ωc下隨振蕩周期t的變化.由圖9可以看出,Q隨t的變化而做周期性振蕩.這是因?yàn)殡娮榆S遷概率Q的時(shí)間演化規(guī)律由(16)式描寫所致,從物理上講,這是電子狀態(tài)隨時(shí)間的變化必須滿足其波動(dòng)方程(薛定諤方程)的必然結(jié)果.由圖9不難發(fā)現(xiàn),Q隨t做振蕩變化的形態(tài)受到η和ωc的顯著影響:Q振蕩的幅度和周期均隨η的增大而減小;Q振蕩的幅度和頻率均隨ωc增大而增加.

圖8 概率Q在不同耦合強(qiáng)度α下隨磁場(chǎng)的回旋頻率ωc的變化Fig.8.The probability Q as a function of the resonant frequency ωcof the magnetic field at differentelectronphonon coupling strength α.

圖9 概率Q在(a)不同介電常數(shù)比η和(b)不同磁場(chǎng)的回旋頻率ωc下隨振蕩周期t的變化Fig.9.The probability Q as a function of the period t of oscillation at different(a)dielectric constant ratio η and(b)resonant frequency ωcof the magnetic field.

4 結(jié) 論

在計(jì)及氫化雜質(zhì)和厚度效應(yīng)下,分別選取拋物線型限定勢(shì)阱和高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱描寫盤型量子點(diǎn)中電子的橫向限定勢(shì)和縱向限定勢(shì),采用Lee-Low-Pines-Pekar變分法研究了電子在磁場(chǎng)作用下的量子躍遷.數(shù)值結(jié)果表明:高斯函數(shù)型限定勢(shì)比拋物線型限定勢(shì)更能精準(zhǔn)反映量子點(diǎn)中電子真實(shí)的限定勢(shì);量子點(diǎn)的厚度對(duì)電子的躍遷概率的影響不凡;電聲耦合強(qiáng)度α、介電常數(shù)比η、磁場(chǎng)強(qiáng)度B、非對(duì)稱高斯函數(shù)型限定勢(shì)阱的阱深V0、阱寬L對(duì)電子的能量、聲子平均數(shù)、能量以及躍遷概率的影響顯著.