姜鴻雁

在學(xué)習(xí)一元二次方程時，根的判別式“b2-4ac”掌握方程根情況的“生死大權(quán)”.我們知道，不解方程，可以直接根據(jù)它的符號，判斷方程實數(shù)根的個數(shù)；反之也成立.但在解決問題的過程中，難免遇到字母系數(shù)等一些“突發(fā)事件”，稍不留神便會出錯.現(xiàn)把幾個典型錯誤列出來，進行剖析，相信你以后定能成功繞開它們！

例1 關(guān)于x的方程ax2+3x-1=0有實數(shù)根，求a的取值范圍.

【錯解1】由題意得：a≠0且b2-4ac≥0，即9+4a≥0，解得且a≠0；

【錯解2】由題意得：b2-4ac≥0，解得

【剖析錯誤】“錯解1”錯在哪？題目是“若關(guān)于x的方程……有實數(shù)根……”，本方程一定是一元二次方程嗎？可能是一元一次方程嗎？若是，一元一次方程定有實數(shù)根哦.看來“路”只有一條：分類討論！“錯解2”錯誤原因：只有在“一元二次方程”的前提下，才能用“b2-4ac”解決問題，所以顯然不對.

【正解】①當(dāng)a=0時，原方程是一元一次方程，定有實數(shù)根；②當(dāng)a≠0時，原方程是一元二次方程，因為方程有實數(shù)根，則b2-4ac≥0，即9+4a≥0，得所以且a≠0.綜上

【反思】最終答案竟然與錯解2相同！怎么回事？怎么理解“正解”把兩種情況合并的結(jié)果？運用數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸觀察是好辦法.情況②的解集可以用圖1表示（因為a不等于0，所以用“空圈”表示），恰好情況①“a=0”將圖1中的“空圈”“補上”，所以最終答案是a

圖1

變式1 關(guān)于x的方程ax2+3x-1=0有兩個實數(shù)根，求a的取值范圍.

【分析與解答】對于本題，乍一讀下來，與例1“長”得很像，是不是也需要討論？再仔細讀題，“……有兩個實數(shù)根”，既然有“兩個實數(shù)根”，則表明原方程定是一元二次方程，所以可得：a≠0且b2-4ac≥0，則a的取值范圍是且a≠0.

例2 求證：關(guān)于x的一元二次方程x2-有兩個不相等的實數(shù)根.

【剖析錯誤】眾所周知，b2-4ac的符號與方程根的情況之間存在等價關(guān)系，本題是“求證……”，即“原方程有兩個不相等的實數(shù)根”是要證明的結(jié)論，也就是證明b2-4ac＞0是目標(biāo)，而非已知條件.理順條件與結(jié)論，自然也不會出現(xiàn)一元二次不等式“解不下去”的情況.如何證明k2+k+1＞0？用配方法是很好的出路.