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        掌握技巧,用好“根的判別式”

        2018-09-21 03:46:30吳玲芳
        初中生世界 2018年35期
        關鍵詞:判別式一元二次方程實數(shù)

        吳玲芳

        在學習了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后,我們又學習了一元二次方程.不同于之前學習的方程,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三種情況:有兩個相等的實數(shù)根、有兩個不相等的實數(shù)根、沒有實數(shù)根.因為一元二次方程的根與系數(shù)之間存在特殊的關系,我們不需要解方程,也能對根的情況做出判別:當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根.反之,已知方程的根的情況,我們也能得出b2-4ac的正負性.b2-4ac叫做根的判別式,這個式子用“Δ”來表示.用一元二次方程的根的判別式判別方程是否有實根、兩個實根是否相等,這是課標的要求,也是中考??嫉闹R點.如何靈活運用根的判別式?下面為大家提供了一些常見題型的解決方法.

        一、方程能解卻不必解,利用判別式判斷根的情況

        解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法.公式法是配方法的一般化.用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),配方至時,需要分類討論.只有等號右邊b2-4ac≥0時,兩邊才能開平方.并且當b2-4ac>0時,原方程有兩個不相等的實數(shù)根;當b2-4ac=0時,原方程有兩個相等的實數(shù)根;當b2-4ac<0時,由于任何數(shù)的平方都大于等于零,此時方程沒有實數(shù)根.對于給定常系數(shù)的一元二次方程,一定可以運用合適的方法求出它的根.但是如果只要了解根的情況,那么僅要算出判別式就能夠進行判別.

        例1 下列一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是( ).

        A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2

        【解析】本題考查的知識點是根的判別式與一元二次方程的根的關系.

        解答:A因為a=1,b=-2,c=0,所以b2-4ac=4-0=4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根,故此選項不合題意;B因為a=1,b=4,c=-1,所以b2-4ac=16+4=20>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根,故此選項不合題意;C因為a=2,b=-4,c=3,所以b2-4ac=16-4×2×3<0,方程沒有實數(shù)根,故此選項符合題意;D首先應化為一般形式,得到3x2-5x+2=0,所以a=3,b=-5,c=2,b2-4ac=25-4×3×2=25-24=1>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根,故此選項不合題意.

        故選:C.

        【點評】此題主要考查了根的判別式與一元二次方程的根的關系,關鍵是要準確確定a、b、c.如果方程不是一般形式,要先將方程化為一般形式,再確定a、b、c并代入判別式,計算出判別式的值,最后根據(jù)判別式的值再選.因為題目要求是沒有實數(shù)根,則判別式的值小于0即可.

        二、方程不易求解,利用判別式判斷或證明根的情況

        當一元二次方程的系數(shù)中含有字母,一般情況下較難求出方程的根.這類方程的根的情況并不會都隨著所含字母的取值的變化而變化,有時因為特殊的數(shù)量關系,我們也能利用根的判別式,再結合整式的運算法則、湊平方等方法,判斷出根的情況.

        例2 下列對一元二次方程x2+(2m+3)x+m2+3m=0根的情況的判斷,正確的是( ).

        A.有兩個不相等實數(shù)根

        B.有兩個相等實數(shù)根

        C.沒有實數(shù)根

        D.無法判斷

        【解析】本題考查了根的判別式與一元二次方程的根的關系,以及整式的運算法則.

        解答:Δ=(2m+3)2-4×1×(m2+3m)=9.

        ∴無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

        故選:A.

        【點評】因為方程的系數(shù)中含有字母,所以不要再將判別式b2-4ac寫出來,直接將各個系數(shù)代入Δ,適當?shù)鼗喚湍馨l(fā)現(xiàn)最后的結果與字母m無關,Δ=9>0,便知道方程有兩個不相等的實數(shù)根.

        例3已知關于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m=0.求證:無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

        【解析】本題考查一元二次方程的根的情況與根的判別式的關系,以及如何將一個二次三項式通過湊平方,轉化成含有完全平方式的式子.

        ∴無論實數(shù)m取何值,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

        【點評】審題時結合條件和結論綜合考慮.本題既然要證明有兩個不等的實數(shù)根,那么通常是利用根的判別式來求解.只有判別式大于0,方程才有兩個不相等的實數(shù)根.所以首先要寫出根的判別式,化簡后發(fā)現(xiàn)Δ是關于m的二次三項式,可以通過湊平方將它轉化,得到Δ=(m+1)2+8,這樣的含有m的式子的平方再加上一個常數(shù)的式子是大于0的,從而能夠完成證明.

        三、已知方程的根的情況,利用判別式求字母的值或取值范圍

        方程的系數(shù)中含有字母,已知方程的根的情況,可以根據(jù)對應的判別式的情況,利用方程或不等式求出其中字母的取值或取值范圍.但是在這類問題中,由于一元二次方程的二次項系數(shù)不為0,當二次項系數(shù)含有字母時需要注意.審題時,應厘清已知條件中的方程是有解還是無解,當方程有實數(shù)根時,應考慮能否是一元一次方程.在一元二次方程的條件下,必須看清是“兩個根”還是“兩個相等的實數(shù)根”,抑或是“兩個不等的實數(shù)根”.

        例4 關于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個實數(shù)根,則k的取值范圍是( ).

        A.k≤-4 B.k<-4 C.k≤4 D.k<4

        【解析】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式的關系,以及解一元一次不等式的方法.

        解答:根據(jù)題意得根的判別式42-4k≥0,解一元一次不等式得k≤4.

        故選:C.

        【點評】本題中一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系數(shù)中出現(xiàn)了字母,不要直接用b2-4ac表示判別式,而要將對應的系數(shù)直接代入判別式,避免混淆.根據(jù)判別式的意義得Δ=42-4k≥0,然后解不等式即可.

        例5 關于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有兩個實數(shù)根,則k的取值范圍是( ).

        A.k≥0 B.k≤0

        C.k<0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1

        【解析】本題考查了一元二次方程的定義、根的判別式與一元二次方程的根的關系,以及解一元一次不等式的方法.

        解答:由題意得k+1≠0且Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,即k≤0且k≠-1.

        故選:D.

        【點評】根據(jù)一元二次方程的定義,可知一元二次方程的二次項系數(shù)不為0,則有k+1≠0.有兩個實數(shù)根包括不等和相等兩種情況,所以Δ=(-2)2-4(k+1)≥0.然后求出兩個不等式的公共部分即可.

        變式1關于x的方程(k+1)x2-4x+1=0有兩個相等的實數(shù)根,則k的取值_______.

        【解析】本題考查了一元二次方程的定義、根的判別式與一元二次方程的根的關系,以及解一元一次方程的方法.

        解答:根據(jù)題意,得根的判別式為42-4(k+1)=0,解一元一次方程得k=3.因為k=3,所以k+1≠0,符合一元二次方程的定義.

        【點評】因為方程有兩個相等的實數(shù)根,所以該方程一定是一元二次方程,所以解題方法類似例5,但是我們審題時一定要看清要求,是“有兩個根”還是“有兩個相等的實數(shù)根”,這樣,對于判別式的范圍才能用對不等號,才能求出字母的值.

        變式2關于x的方程(k+1)x2-2x+1=0有實數(shù)根,則k的取值_______.

        【解析】本題考查了方程的定義、一元二次方程的定義、根的判別式、解一元一次不等式的方法以及分類討論的思想方法.

        解答:根據(jù)題意,該方程可能是一元一次方程,也可能是一元二次方程.

        若該方程為一元二次方程,則:k+1≠0且Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,k≤0且k≠-1.

        若該方程為一元一次方程,則:k+1=0且方程有解.即k=-1.

        綜上所述,k≤0.

        【點評】由于題中已知方程有實數(shù)根,二次項系數(shù)中含有字母,所以不能確定該方程是一元一次方程還是一元二次方程,因此先分情況討論,再綜合分析.二次項系數(shù)指的是一般形式下的情況,如果方程不是一般形式,必須將其轉化為一般形式,觀察x2的系數(shù),使其不為0,從而解決問題.

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