楊緒彪
一元二次方程對(duì)于九年級(jí)教材來(lái)說(shuō)起到了承上啟下的作用,即它把一次方程、一次函數(shù)、一次不等式上升到二次方程、二次函數(shù)及其它們的應(yīng)用.所以近幾年中考數(shù)學(xué)命題中容易題、中等題、難題都有一元二次方程的身影.下面就一元二次方程的解法做一些分析和探討,以幫助同學(xué)們較好地掌握本節(jié)知識(shí).
如果x2=a,a≥0,則x=± a,x1= a,x2=- a.
把一個(gè)一元二次方程變形為(x+h)2=k(h、k為常數(shù))的形式,當(dāng)k≥0時(shí),就可以用直接開平方法求出方程的解.
將一元二次方程變形為:(x-a)(x-b)=0的形式,得出:x1=a,x2=b.
例1 解方程:9(3x-2)2=64.
【解析】這是一道典型的解方程題,我們需要將原方程兩邊都除以9,即再直接開平方,計(jì)算即可.
解:9(3x-2)2=64
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了大家的基本運(yùn)算能力,需要認(rèn)真計(jì)算,盡量避免計(jì)算失誤導(dǎo)致的錯(cuò)誤.
例2 解方程:(x+1)(x-3)=-1.
【解析】看到這樣的題,首先分解(x+1)(x-3)為x2-2x-3.這時(shí)候有些同學(xué)反應(yīng)比較快,發(fā)現(xiàn)用配方法可以把題目解出來(lái),將原式化為x2-2x+1=3,再將式子完全平方,即可算出;而有些同學(xué)遇到這樣的題不知道用什么簡(jiǎn)單的方法,只好用求根公式算出.
【點(diǎn)評(píng)】本題可一題多解,考查了大家是否有意識(shí)判斷使用哪種方法最佳.大家如果不能判斷的話,可用公式法.
例3 方程x(x-3)=x-3的根是_______.
【解析】這是一個(gè)填空題.我們可以先將原方程寫為x(x-3)-(x-3)=0,然后提取公因式(x-3),即為(x-3)(x-1)=0,最后寫出結(jié)果:x1=3,x2=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解法.同學(xué)們要注意符號(hào),不要把答案寫成-3、-1.
例4 已知2x2-3xy+y2=0,則的值為_______.
【解析】從形式上看,本題不好解,但是認(rèn)真分析題型發(fā)現(xiàn),可以通過變形將它化為一元二次方程.
解:原方程變形為
例5 閱讀材料:為解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我們將x2-1視為一個(gè)整體,然后設(shè)x2-1=y,原方程變形為y2-5y+4=0①,解之得y1=1,y2=4.
當(dāng)y=1時(shí),x2-1=1,解得:
當(dāng)y=4時(shí),x2-1=4,解得
在由原方程得到方程①的過程中,利用換元法,達(dá)到降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想.解答問題:解方程x4-x2-6=0.
【解析】設(shè)x2=y,則原方程變形為y2-y-6=0,解之得y1=3,y2=-2,因?yàn)閤2≥0,所以x2=3,即x1= 3,x2=- 3.
備注:大家解答本題時(shí)既要換元,又要注意y值的符號(hào),做題時(shí)需要特別小心謹(jǐn)慎!
已知關(guān)于x的方程(k2-1)x-k2+k+2=0,k為實(shí)數(shù),當(dāng)k_____時(shí),方程有唯一解;當(dāng)k
______時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)k______時(shí),方程有無(wú)窮多解.
(1)方程x3-5x2+6x=0的根是( ).A.0、-2、-3 B.0、2、3
C.0、1、-6 D.0、-1、-6
(2)某商店今年1月份的銷售額是2萬(wàn)元,3月份的銷售額是4.5萬(wàn)元,從1月份到3月份,該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率是( ).
A.20% B.25% C.50% D.62.5%
參考答案:1.k≠1;k=1;k=-1.2.(1)B;(2)C.