□ 張文哲 □ 張為民， □ 林文波

1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院 上海 201804

1 研究背景

作為機(jī)械設(shè)備中的關(guān)鍵零部件，滾動(dòng)軸承是主要故障源［1］。與其它機(jī)械零部件相比，滾動(dòng)軸承壽命的離散性很大，對(duì)工況的依賴性也很大，有的軸承已經(jīng)遠(yuǎn)超設(shè)計(jì)壽命卻依然良好工作，有的軸承遠(yuǎn)未達(dá)到設(shè)計(jì)壽命卻出現(xiàn)各種故障，可見，滾動(dòng)軸承的故障診斷方法是機(jī)械故障診斷中的重點(diǎn)研究方向，在監(jiān)測(cè)軸承狀態(tài)、及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障等方面起著重要作用。好的故障診斷方法可以提高機(jī)械設(shè)備的維修效能，從而顯著地提高經(jīng)濟(jì)效益。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障中，由滾動(dòng)軸承引起的占30%左右；在感應(yīng)電機(jī)故障中，由滾動(dòng)軸承引起的占40%左右；在齒輪箱各類故障中，軸承故障率占20%左右，且僅次于齒輪［2］。

滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)通常是非平穩(wěn)、非線性的，一般將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)信號(hào)處理，但有一定局限性。另一方面，用時(shí)頻分析提取滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)故障特征的方法越來越多地應(yīng)用于軸承故障診斷中。常用的時(shí)頻分析方法有經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）［3-4］、多尺度熵（SME）算法［5］和小波包分解［6-7］等，這些方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較見表1。

表1 時(shí)頻分析方法對(duì)比

完整的滾動(dòng)軸承故障診斷過程包括信號(hào)采集、特征提取、狀態(tài)識(shí)別、故障分析、決策干預(yù)等五個(gè)基本環(huán)節(jié)，其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是特征提取和狀態(tài)識(shí)別。常見的狀態(tài)識(shí)別方法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8］、支持向量機(jī)（SVM）［9］和隱馬爾可夫模型［10］等，各方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較見表2。

表2 狀態(tài)識(shí)別方法對(duì)比

在滾動(dòng)軸承出現(xiàn)早期故障時(shí)，故障信號(hào)淹沒在噪聲信號(hào)中。為了提高信噪比，筆者首先利用小波包變換對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪，然后對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行EMD，根據(jù)本征模態(tài)函數(shù)（IMF）與降噪后信號(hào)的相關(guān)因子選擇值較大的IMF，計(jì)算篩選后的IMF分量多尺度樣本熵，確認(rèn)最佳尺度，并將該尺度下的IMF樣本熵輸入SVM，對(duì)滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行分類，這一算法的流程如圖1所示。

▲圖1 算法流程

2 基于小波包變換的信號(hào)降噪

小波分析能滿足低頻部分頻域分辨率高、高頻部分時(shí)域分辨率高的要求，但小波分析僅對(duì)分解之后的低頻部分進(jìn)行再分解，未考慮高頻部分。相比之下，小波包分析在每層都能同時(shí)對(duì)信號(hào)的低頻部分和高頻部分進(jìn)行分解，克服了小波分析不能細(xì)分高頻部分的缺點(diǎn)，應(yīng)用更為廣泛。

2.1 小波包算法

定義函數(shù)庫｛un（t）｝為由尺度函數(shù) u0（t）=φ（t）所確定的小波包。

式中：u2n（t）為尺度函數(shù)φ （t）在平方可積函數(shù)空間L2（R）的推廣；u2n+1（t）為小波函數(shù) ψ（t）在 L2（R）的推廣；hk可看作低通濾波器組因子；gk可看作高通濾波器組因子。

式（1）中小波包的尺度固定不變，則將｛2-j/2un（2-jtk）|n=0，1，2，...k，j∈Z｝作為由多尺度函數(shù) φ（t）導(dǎo)出的小波庫，j表示尺度，k表示位移，n表示振蕩因子。

2.2 小波包降噪步驟

小波包分解對(duì)信號(hào)特征具有局部細(xì)化的能力，可以降低噪聲對(duì)信號(hào)的干擾，提高信噪比。筆者基于小波包變換進(jìn)行信號(hào)降噪，通常有以下幾個(gè)步驟［11］：① 選擇一個(gè)合適的小波基，確定小波分解層數(shù)n，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行n層小波包分解；② 對(duì)于給定熵值，計(jì)算最佳小波包分解樹，確定最優(yōu)小波包分解基；③選擇適當(dāng)?shù)拈撝祵?duì)最佳小波包分解樹各個(gè)分解尺度下的小波因子進(jìn)行閾值量化處理；④ 對(duì)小波包分解的第n層的尺度因子和閾值量化處理后的小波因子進(jìn)行重構(gòu)。

以上步驟中，閾值大小及閾值量化處理方法比較關(guān)鍵，直接關(guān)系到小波包降噪的質(zhì)量。

3 信號(hào)EMD

EMD將復(fù)雜信號(hào)分解為若干IMF分量之和，每個(gè)IMF分量在任意時(shí)刻都只有唯一頻率成分，能夠反映信號(hào)內(nèi)部的振蕩模式。IMF分量必須滿足以下兩個(gè)條件：①在時(shí)域范圍內(nèi)，信號(hào)序列局部極值點(diǎn)和過零點(diǎn)個(gè)數(shù)相等或者差值為1；② 在任意時(shí)刻，由信號(hào)局部極大值和極小值確定的上下包絡(luò)線的平均值為0。

篩分信號(hào)需要基于如下假設(shè)：任意復(fù)雜信號(hào)均由若干獨(dú)立的IMF分量組成；所有IMF分量均具有數(shù)量相等的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，或者數(shù)量相差為1；由極值點(diǎn)形成的上下包絡(luò)線關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。

對(duì)于滾動(dòng)軸承降噪信號(hào) x（t），EMD流程如下。

（1）找出x（t）的所有局部極值點(diǎn)，利用三次樣條插值，由局部極大值和局部極小值分別構(gòu)成上下包絡(luò)線。

（2）將上下包絡(luò)函數(shù)的均值記為m1（t），將原始信號(hào)與上下包絡(luò)函數(shù)均值序列之差記為 h1（t），即 h1（t）=x（t）-m1（t），若 h1滿足 IMF 分量的條件，則 h1（t）是原始信號(hào)的第一個(gè)IMF分量，否則用h1（t）代替上式中的x（t），重復(fù) k 次得到 h1k（t）=h1（k-1）（t）-m1k（t）。 直到 h1k（t）滿足條件，令 c1（t）=h1k（t），則 c1（t）為 x（t）的第一個(gè)IMF分量。

（3） 在 x（t）中剔除 c1（t），得到余項(xiàng) r1（t），將其作為原始信號(hào)，重復(fù)前兩個(gè)步驟，得到第二個(gè)IMF分量c2（t）。 如此循環(huán) n 次，直到rn（t）呈單調(diào)趨勢(shì)或者|rn（t）|很小時(shí)停止循環(huán)，得到n個(gè)IMF分量，循環(huán)過程如下：

因此，原始信號(hào)可以表示為：

式中：rn（t）為殘余項(xiàng)，表示信號(hào)的平均趨勢(shì)。

4 MSE算法

作為非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)，MSE被廣泛用于滾動(dòng)軸承故障診斷中，取得了不錯(cuò)的效果。

假設(shè)一組原始信號(hào) X=｛x1，x2，x3，...，xN｝，信號(hào)長(zhǎng)度為N，其MSE算法過程如下。

（1）對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行粗粒化處理。給定嵌入維數(shù)m 與相似容限 r，構(gòu)建粗粒序列

式（7）中τ∈N，稱為尺度因子，每個(gè)粗粒序列的長(zhǎng)度為原始信號(hào)的長(zhǎng)度與尺度因子的商，因此當(dāng)τ=1時(shí)，就是原始信號(hào)。

式中：L為粗粒序列的長(zhǎng)度。

（4）對(duì)于任意一個(gè)m維向量，都有L-m個(gè)距離。給定相似容限 r，對(duì)于每一個(gè) i，統(tǒng)計(jì) dij＜r的個(gè)數(shù) n，計(jì)算其與距離總數(shù)的比值，記為，則有：

求其對(duì)所有 i的均值，記為 Bτ，m（r），則有：

（5） 將維數(shù)增加到 m+1，重復(fù)步驟（2）～（4），可以得到均值 Bτ，m+1（r）。

（6）計(jì)算原始信號(hào)的樣本熵：

當(dāng)原始信號(hào)長(zhǎng)度有限時(shí)，樣本熵可以表示為：

樣本熵隨著尺度因子τ的變化而變化，原始信號(hào)的MSE為不同尺度下樣本熵的集合，其值為：

由式（14）可以看出，MSE的值與嵌入維數(shù)m、相似容限r(nóng)、尺度因子τ及數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N相關(guān)。m越大，所需 N 越多。 r可以?。?.1～0.25）SD，SD為原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差。 筆者取 τ=15，m=2 048，r=0.2SD。

5 基于SVM的故障分類

SVM是基于兩分類問題的一種學(xué)習(xí)算法，其基本思想是最大限度地分開兩類訓(xùn)練樣本，即對(duì)于一個(gè)兩類問題的訓(xùn)練樣本，構(gòu)造一個(gè)分類超平面使分類間隔達(dá)到最大。 給定一組訓(xùn)練樣本 U=｛（xi，yi）|（xi，yi）∈Rd×R，xi∈x，yi∈y，i=1，2，3，...，l｝， 其中 x 為訓(xùn)練樣本，y∈｛1-，+1｝，即樣本分為兩類，l表示樣本總數(shù)，d表示訓(xùn)練樣本中每一個(gè)樣本向量的維數(shù)。若在l×d維空間中，有超平面wTx+b=0，使樣本均能被正確分開，且樣本兩邊數(shù)據(jù)間隔最大，那么該平面為最優(yōu)超平面，w為加權(quán)向量，b為偏移向量。

對(duì)應(yīng)上述條件的優(yōu)化問題如下：

引入拉格朗日函數(shù)，將約束條件融入目標(biāo)函數(shù)中，上述問題轉(zhuǎn)化為：

αi為拉格朗日算子， 當(dāng) xi為支持向量時(shí)，αi＞0，否則 αi=0。

式（16）的對(duì)偶問題為：

式（17）是線性可分條件下尋求最優(yōu)超平面的對(duì)偶算法，其優(yōu)點(diǎn)為：①計(jì)算復(fù)雜度不再取決于樣本空間維數(shù)，而僅取決于支持向量數(shù)；②可以引入核函數(shù)，進(jìn)而推廣到非線性分類問題。

當(dāng)在低維空間不能利用超平面對(duì)樣本進(jìn)行分類時(shí)，可以將非線性的樣本點(diǎn)映射到高維空間，然后在高維特征空間構(gòu)造出最優(yōu)超平面。為避免維數(shù)爆炸，基于相關(guān)泛函理論，引入核函數(shù) K（xi，yi），對(duì)任意函數(shù) φ（x）≠0，若滿足 Mercer條件，則 K（xi，yi）表示對(duì)應(yīng)高維空間樣本點(diǎn)的內(nèi)積。Mercer條件為：

定義非線性映射 φ：Rn→H，若有 K（xi，xj）=＜φ（xi），φ（xi）＞，則非線性SVM的對(duì)偶問題轉(zhuǎn)化為：

對(duì)于任意測(cè)試樣本x，分類函數(shù)為：

標(biāo)準(zhǔn)的SVM是二分類器，需要結(jié)合多個(gè)SVM實(shí)現(xiàn)多分類。筆者采用一對(duì)一算法，即n類樣本點(diǎn)需要構(gòu)造［n（n-1）］/2 個(gè) SVM，可以大大減少重復(fù)訓(xùn)練，適用于多樣本分類。

6 算例分析

數(shù)據(jù)取自凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫［12］，實(shí)驗(yàn)臺(tái)架由電動(dòng)機(jī)、扭矩傳感器、譯碼器、測(cè)功計(jì)及電子控制器組成，待檢測(cè)的滾動(dòng)軸承支承電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸安裝在電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)端，實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖2所示。

測(cè)試滾動(dòng)軸承選用斯凱孚6205-2RS深溝球軸承，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表3，實(shí)驗(yàn)臺(tái)工況見表4。根據(jù)滾動(dòng)軸承理論、故障特征頻率計(jì)算公式可以得到不同部件的故障特征頻率，取軸承正常狀態(tài)、內(nèi)圈故障、外圈故障及滾動(dòng)體故障四種類型各45組樣本，其中30組為訓(xùn)練集，其余為測(cè)試集，每組樣本長(zhǎng)度為2 048，故障均為單點(diǎn)電蝕，理論故障特征頻率及不同位置的故障尺寸見表5。

表3 6205-2RS軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

▲圖2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)示意圖

表4 實(shí)驗(yàn)臺(tái)工況

表5 軸承故障數(shù)據(jù)

采集滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的過程中，會(huì)混有大量噪聲，不利于提取故障特征，因此需要對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波包降噪處理。小波基選擇正交小波db10，考慮到故障頻率范圍及不同層對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)與小波函數(shù)中心頻率，小波包分解層數(shù)選擇7。由于采用默認(rèn)閾值會(huì)過濾掉部分有用信號(hào)，因此最終選取閾值比默認(rèn)閾值小4。以軸承內(nèi)圈故障為例，降噪前后時(shí)域信號(hào)如圖3所示。相比原始信號(hào)，降噪效果明顯，但是無法直接判斷出故障信號(hào)。

對(duì)180組降噪后的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行EMD，根據(jù)IMF分量與降噪信號(hào)的相關(guān)因子選擇包含故障信息的前3個(gè)IMF分量，基于不同故障類型進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)分析，如圖4、圖5、圖6所示。從內(nèi)圈故障、外圈故障及滾動(dòng)體故障信號(hào)的包絡(luò)譜中都能得到實(shí)際故障特征頻率，依次為 164.1 Hz、105.5 Hz、140.6 Hz，與理論頻率相近。在圖4中出現(xiàn)了內(nèi)圈故障特征頻率的二倍頻到五倍頻，以及滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)頻的二倍頻58.59 Hz，并且在內(nèi)圈故障特征頻率的邊頻帶可以找到調(diào)制頻率接近滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)頻。在圖5中出現(xiàn)了外圈故障特征頻率的二倍頻到七倍頻，以及滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)頻29.3 Hz與其二倍頻。在圖6中可找到滾動(dòng)體的故障特征頻率140.6 Hz及外圈故障特征頻率105.5 Hz，但故障特征的幅值不明顯，因此通過EMD與包絡(luò)譜分析并不能較好判斷滾動(dòng)體故障，僅能較好地分析內(nèi)圈或外圈故障。

▲圖3 內(nèi)圈故障信號(hào)波形

▲圖4 內(nèi)圈故障信號(hào)包絡(luò)譜

▲圖5 外圈故障信號(hào)包絡(luò)譜

▲圖6 滾動(dòng)體故障信號(hào)包絡(luò)譜

取訓(xùn)練集中3個(gè)樣本為例，計(jì)算前8階IMF分量與重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)因子，對(duì)不同IMF分量按故障類型取樣本平均值，見表6。剔除相關(guān)因子小于0.01的IMF分量，選取前5個(gè)IMF分量，計(jì)算不同IMF分量的多尺度樣本熵，找到能區(qū)分故障狀態(tài)及故障類型的最佳尺度因子τ，綜合比較發(fā)現(xiàn)τ=1時(shí)各狀態(tài)都能明顯區(qū)分，IMF1分量MSE如圖7所示。

將τ=1時(shí)180組降噪信號(hào)經(jīng)EMD的前5個(gè)IMF分量的樣本熵作為故障診斷特征向量，對(duì)其進(jìn)行歸一化預(yù)處理，見表7。交叉選取120組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，將特征向量輸入SVM，SVM類型選擇C-SVC，核函數(shù)類型為高斯徑向基核函數(shù)，對(duì)影響分類質(zhì)量的重要參數(shù)懲罰因子及核參數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，通過網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)法進(jìn)行選取，得懲罰因子取0.000 98，核參數(shù)取2。

為驗(yàn)證模型的泛化性能，將剩余的60組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，得到故障診斷結(jié)果，見表8?？梢钥闯?，訓(xùn)練后的SVM模型對(duì)四種狀態(tài)的診斷率為100%，沒有出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。

表8 故障診斷結(jié)果

7 結(jié)論

為了有效識(shí)別滾動(dòng)軸承故障類型，提高診斷準(zhǔn)確率，筆者提出基于EMD、MSE算法和SVM的故障診斷方法。

表6 IMF分量相關(guān)因子

表7 故障診斷特征向量

▲圖7 IMF1分量MSE

（1）采用db10小波基對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行7層分解，利用閾值量化處理小波因子，與原始信號(hào)比較，確認(rèn)重構(gòu)信號(hào)故障特征更為明顯，更有利于特征提取。

（2）針對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的非線性和非平穩(wěn)性，采用EMD和MSE算法將降噪后的信號(hào)分解為若干IMF分量，對(duì)前3個(gè)IMF分量進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)分析，可以得到內(nèi)圈、外圈的故障頻率，但滾動(dòng)體故障不能很好分辨，因此要對(duì)包含故障信息的IMF分量MSE作進(jìn)一步分析。

（3）選擇最佳尺度因子，將篩選后的IMF分量樣本熵作為故障特征向量，輸入SVM進(jìn)行訓(xùn)練，得到故障診斷模型。經(jīng)過試驗(yàn)，這一模型對(duì)滾動(dòng)軸承故障診斷準(zhǔn)確率為100%，具有很好的滾動(dòng)軸承故障識(shí)別效果。