范芬瑞，韓龍淑

一、數(shù)學原理的教學有待進一步加強

數(shù)學原理是數(shù)學概念具有某種性質(zhì)或者數(shù)學概念之間具有某種關(guān)系的判斷，數(shù)學公式、法則、性質(zhì)、公理、定理等統(tǒng)稱為數(shù)學原理。數(shù)學原理是中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的核心，在數(shù)學教學中占有重要的地位。［1］

勾股定理是著名的數(shù)學定理，勾股定理在數(shù)學發(fā)展史上具有重大的意義，它的證明是論證數(shù)學的發(fā)端；勾股定理還導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，拓寬了人們對數(shù)的認識。

勾股定理的教學一般在八年級,正是學生發(fā)展數(shù)學推理論證能力的重要階段，也是具體形象思維向抽象思維過渡的時期。勾股定理的教學是難點，讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法有一定的困難。［2］人教版、北師大版、蘇教版三個版本的數(shù)學教材對勾股定理內(nèi)容的呈現(xiàn)有所不同。在“一標多本”的大背景下，教師如何整合各版本教材的特色并創(chuàng)造性地運用教材尤為必要。以勾股定理作為數(shù)學原理的案例，從PCK的“3W+3H”視角對勾股定理的內(nèi)容進行教學設計。

二、基于PCK的數(shù)學原理的教學設計思路

（一）PCK的“3W+3H”框架

學科教學知識是《中學教師專業(yè)標準》中專業(yè)知識維度的核心要素。學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge）簡稱PCK，由美國學者舒爾曼首先提出，他認為PCK是教師的教學經(jīng)驗、學科內(nèi)容知識和教育學的整合。之后格羅斯曼對PCK進行了闡釋，包括：教學目的、學生經(jīng)驗和潛在困難、課程內(nèi)容與其他內(nèi)容的聯(lián)系、教學策略和表征知識。［3］

教學設計包括教學內(nèi)容分析、教學目標分析、學情分析、教學方法與媒體、教學過程、教學評價等，是教師PCK水平的集中反映。鑒于目前教師對“為什么教學”新內(nèi)容缺乏足夠的認識，致使新學習內(nèi)容產(chǎn)生的必要性和教學價值體現(xiàn)不夠，學生未能感悟到學習新知識的現(xiàn)實需要和數(shù)學需要，不易形成認知和情感的內(nèi)在學習需求，本研究中把“為什么教學”單獨列為PCK的一個要素，將PCK的要素梳理為六個維度，分別是教學內(nèi)容的價值（Why）、教學內(nèi)容（What）、教學目標（Where）、學生的現(xiàn)實（How）、教學策略（How）和教學評價（How），簡稱“3W+3H”。

（二）基于PCK的“3W+3H”視角進行勾股定理的內(nèi)容解析

教學內(nèi)容即教學什么（What），重在挖掘數(shù)學本質(zhì)和數(shù)學學科核心素養(yǎng)。勾股定理是對直角三角形性質(zhì)三邊之間數(shù)量關(guān)系的進一步研究，可理解為勾股定理的代數(shù)意義：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的幾何意義是：以斜邊為邊長的正方形的面積等于以兩直角邊為邊長的正方形面積之和。通過勾股定理的學習培養(yǎng)了學生數(shù)學核心素養(yǎng)中的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

教學目標（Where），即三維目標的整合?！读x務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）對勾股定理的教學要求是探索，即要求學生在數(shù)學活動中發(fā)現(xiàn)并能理性認識勾股定理。經(jīng)歷勾股定理的論證過程，培養(yǎng)合情推理和演繹推理的能力，感悟數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想，感知數(shù)學思維的嚴謹性。在探索活動中，培養(yǎng)對數(shù)學的探索精神和理性精神，體驗獲得結(jié)論的快樂。［4］(P34)

學生的現(xiàn)實（How），指學生已有的知識、經(jīng)驗、方法和思維基礎。學生學習勾股定理之前熟悉“認識三角形”的內(nèi)容，比如“在三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”。學習勾股定理時，學生可以通過觀察，動手操作和動腦思考“在特殊的三角形——直角三角形中，三邊有什么特殊關(guān)系呢”來發(fā)現(xiàn)勾股定理。其難點是獲得理性認識，激發(fā)學生的求知欲。

教學策略即如何教學（How），依據(jù)教學目標中過程性目標動詞“探索”的含義為發(fā)現(xiàn)勾股定理并獲得理性認識，因此勾股定理的教學采用啟發(fā)性講授和發(fā)現(xiàn)教學法等教學方法的綜合，運用PPT和板書等輔助教學。教學策略包括讓學生經(jīng)歷猜想、直觀感知和推理論證過程。

教學評價即教學的如何（How），通過當堂檢測、課后作業(yè)測驗等評價學生對勾股定理的掌握情況和教師的教學是否達到教學目標。

三、基于PCK視角的勾股定理的教學設計

（一）創(chuàng)設疑難情境提出問題

從垂直于地面的電線桿上拉一條鋼繩到地面，若鋼繩在電線桿的固定點距離地面8m，在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么鋼繩需要多長？

通過實際問題創(chuàng)設疑難情境，啟迪學生并分析問題。已知直角三角形中的兩直角邊長分別為8m和6m，求斜邊的長。顯然是已知直角三角形兩直角邊求斜邊的問題。用現(xiàn)實問題激發(fā)了學生的學習興趣,體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用價值。這也正是PCK中教學內(nèi)容的價值（Why）維度中現(xiàn)實需要的體現(xiàn)。

（二）理性探究與直觀感知相結(jié)合

運用啟發(fā)性提示語：從構(gòu)成三角形的基本條件“兩邊之和大于第三邊”入手，啟發(fā)學生思考直角三角形作為特殊三角形其三邊之間是否還有進一步的關(guān)系。研究問題時我們常常從特殊到一般，直角三角形中哪個三角形較特殊呢？自然過渡到考慮腰為1的特殊直角三角形。

結(jié)果顯示，死亡凸顯組中，高自尊者在職業(yè)認同及其職業(yè)行為、職業(yè)期望兩個維度上均顯著高于低自尊者，二者在職業(yè)承諾、職業(yè)價值觀、職業(yè)情感、職業(yè)認知四個維度上無顯著差異，詳見表 9。

問題1：圖1已知RtΔABC,∠C=90°，兩直角邊長為1，猜想三邊之間有什么關(guān)系？

圖1

引導學生根據(jù)已有知識，推出等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半，再利用三角形的面積相等即：，即斜邊的平方等于2。

課標中勾股定理的教學目標為探索，即不僅知道勾股定理，還要知道勾股定理是怎么來的，以及與一般三角形的區(qū)別和聯(lián)系并獲得理性認識。要求學生通過推理對勾股定理進行發(fā)現(xiàn)和猜想。學生已有的知識是任意三角形中兩邊之和大于第三邊。那么直角三角形的三邊有沒有其他特殊關(guān)系呢？選用簡單又特殊的直角三角形——直角邊為1的等腰直角三角形對勾股定理進行探究。通過計算得到該三角形斜邊的平方為2，已知兩直角邊都為1，從而引導學生1+1=2可能是直角邊平方和與斜邊平方的關(guān)系。從易到難，讓學生體會可以從特殊問題入手來預測一般問題。這一設計依據(jù)PCK理論中教學目標（Where）和數(shù)學自身發(fā)展需要（Why）的兩個維度，再結(jié)合學生的現(xiàn)實（How）設計問題。

問題2：對于一般的直角三角形是否也具有這種特殊關(guān)系呢？圖2中直角三角形三邊的平方分別為多少？是否符合上述猜想？請數(shù)方格驗證。

圖2

選用直角邊為2的等腰直角三角形和直角邊分別為3和4的一般直角三角形，通過數(shù)方格直觀感知的方法對上述猜想簡單驗證。同時也將“從特殊到一般”的數(shù)學思想方法貫穿于其中。這兩個問題的設計是基于PCK中的教學策略（How）維度。

通過理性探究和直觀感知活動，學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。

（三）分解拼補圖形論證勾股定理

對于某些特殊的直角三角形可以通過數(shù)方格的方法進行驗證，而面積不能補成整格的用數(shù)方格方法已經(jīng)不夠了，對于任意直角三角形如圖3，又該如何說明其兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？由數(shù)方格方法受阻的啟發(fā)使分解拼補圖形的思路自然而然、水到渠成。

圖3

引導學生受數(shù)方格的啟發(fā)使用勾股弦圖對勾股定理進行證明。通過計算發(fā)現(xiàn)：弦圖中大正方形的面積等于四個全等的直角三角形面積加上小正方形的面積之和，從而推出勾股定理。這種證明方法在數(shù)方格方法的基礎上更加符合課標要求，對思維層次的要求也更高。設計中滲透著數(shù)學“構(gòu)造思想”和“數(shù)形結(jié)合”思想，是PCK中教學策略（How）的體現(xiàn)。

（四）回到問題情境，解決實際問題

數(shù)學新知識的產(chǎn)生源于情境，最終還要回到情境。學生根據(jù)勾股定理求鋼索的長度的過程既是對新學內(nèi)容的鞏固，也是對學生勾股定理掌握程度的檢測。這一過程正是體現(xiàn)了PCK中的應用價值。

（五）鞏固強化把握數(shù)學原理的本質(zhì)

問題3：在RtΔABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C,的對邊分別為 a，b，c 已知a=6,b=8.求 c；已知b=15,c=25.求a；已知a=3,c=9.求b。

問題4：如圖4，圖中的三角形全部是直角三角形，四邊形全部是正方形，其中最大的正方形的邊長是7cm,請計算A，B，C，D四個正方形的面積之和是多少？

圖4

設計問題3強化對勾股定理的理解，問題4考查勾股定理的幾何意義。在學生探究并證明勾股定理之后，及時鞏固強化對勾股定理本質(zhì)屬性的理解。這是教學評價即教學的如何（How）的設計。

（六）形成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡

學習過程是學生原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識與新學習內(nèi)容相互作用，形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程，因此數(shù)學教學要使學生形成組織良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)?；仡櫛竟?jié)課學習的主要內(nèi)容并進行系統(tǒng)歸納，重在引導學生構(gòu)建數(shù)學知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡體系（如圖5所示）。有利于完善學生的數(shù)學思維品質(zhì)。

依據(jù)PCK的“3W+3H”框架對勾股定理進行教學設計，旨在說明數(shù)學原理的教學設計僅僅憑經(jīng)驗遠遠不夠，需要一定的理論基礎并有意識地運用其指導教學設計。教師運用PCK理論指導數(shù)學教學設計時應注意：對PCK的“3W+3H”核心要素的分析要全面與透徹，增加對數(shù)學新知識產(chǎn)生的必要性的分析與設計、突出數(shù)學問題的本質(zhì)、注重構(gòu)建數(shù)學知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡等，從而激發(fā)學生數(shù)學學習的情感，豐富學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，使學生擁有數(shù)學的眼光，學會數(shù)學思考，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

圖5 勾股定理知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡體系圖