韓文卓， 王方雨， 戈志華

(1. 華北電力大學能源動力與機械工程學院， 北京 102206；2. 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室， 華北電力大學， 北京102206)

1 引言

近年來，隨著新能源的快速發(fā)展，國內風電裝機容量持續(xù)增加，風電已經成為電力系統(tǒng)重要的電源之一。然而風電電源與傳統(tǒng)電源在結構與出力特性上明顯不同，風電的波動性和隨機性將給電網安全、穩(wěn)定及經濟運行帶來諸多不穩(wěn)定因素[1,2]。為了保證電網的運行安全，風力機、風電場及風電集群建模成為現代電力系統(tǒng)的熱點研究內容之一。

目前，風電場以及風電集群建模大多以風力機單機模型為基礎，風力機的模型精度將直接影響大型風電場及風電集群模型的精度[3,4]。目前風力機的模型研究主要集中在內部特性及其對電網的影響機理上。文獻[5]基于小信號干擾理論建立雙饋風力機動態(tài)等值模型，該模型包含了16個狀態(tài)運行變量，具有一定的代表意義；文獻[6]比較分析了轉速直接求導以及基于轉速控制兩種風力機動態(tài)建模方法，并仿真分析了兩種模型的適用性及優(yōu)缺點；文獻[7]基于永磁同步發(fā)電機研究風力機的動靜態(tài)特性，采用基于加速度反饋的動態(tài)轉矩補償法實現風力機的動態(tài)模擬。這些機理建模研究工作量大，不適合大型風電場建模研究[8-11]。

針對風力機外部特性的研究較少，目前風電場風速-功率特性主要依據廠家提供的風力機標準功率特性曲線，但文獻[12,13]指出，標準功率特性曲線的風洞測試環(huán)境較為嚴格，而風力機實際運行具有較大的分散性，與標準曲線并不完全相符，因此模型誤差較大?；诖耍糠謱W者開始采用實測風速-功率數據進行外特性研究。文獻[14]針對特定發(fā)電機組實測運行數據，運用數理統(tǒng)計方法，尋找每一個功率對應的最大風速運行點，并采用三次樣條插值理論得到風力機風速-功率運行曲線；文獻[15]采用支持向量機聚類算法對風力機進行聚類，求出風力機平均風速及平均功率，采用最小二乘理論對風速-功率運行點進行擬合，得到風力機的風速-功率運行曲線。這些研究為風機外特性建模奠定了良好的基礎，但仍然沒有考慮風力機的統(tǒng)計特性，存在傳統(tǒng)最小二乘擬合算法擬合次數難以確定、數量級擬合范圍狹窄且規(guī)范方程病態(tài)無解等缺點。

針對上述問題，本文首先提出廣義最小二乘原理，運用不定秩變解原理解決規(guī)范方程可能病態(tài)無解的缺點，以自適應原理解決擬合次數固定的缺陷。并基于統(tǒng)計學原理，提出適應于大型風電場靜態(tài)建模的風力機擬合數據序列產生方法，極大提高了風力機風速-功率模型的收斂性及精確性。

2 廣義最小二乘原理分析

傳統(tǒng)最小二乘法需要求解Anxn=bn方程組，但該方程存在兩個主要缺陷：①該方程可能為不相容的矛盾方程，無解；②擬合次數不能調整。針對上述問題，提出廣義最小二乘原理，其主要包含兩部分：①不定秩變解原理，解決病態(tài)無解問題；②自適應原理，解決擬合次數固定問題。

2.1 不定秩變解原理分析

由文獻[16]可知，對于不相容的矛盾方程組，引入廣義逆的概念，可分為以下兩類進行討論：

(1)

(2)若rank(A,b)≠rank(A)，即該擬合方程無解，則求取該方程組的最小二乘解，其通解為：

(2)

對于一般的矛盾方程組，式(2)的解并不唯一，則求取其極小最小二乘解，其值唯一，計算公式為：

xn=A+b

(3)

式中，A+為極小最小二乘廣義逆。

2.2 自適應原理分析

提出自適應次數的概念，針對特定的數據序列，在擬合過程中，自動尋找最佳的擬合次數，保證擬合多項式具有較好的精度。

為了表征擬合效果，首先提出多項式擬合殘差指標：

(4)

為了使擬合多項式次數朝著殘差減小的方向更新，擬合過程中，擬合次數按照下述規(guī)則自動更新：

(5)

Y1=‖rnl,LS‖<‖rnl+1,LS‖and‖rnl,LS‖<‖rnl-1,LS‖

Y2=其他

式中，nl為第l次迭代所對應的擬合次數；sgn(·)為符號函數，其定義如下：

(6)

Snl為迭代步長因子，其值與迭代步長隨殘差的變化率有關，按照式(7)求?。?/p>

(7)

其中，[·]為取整函數，若Snl<1，則令Snl=1；t=‖rnl,LS‖-‖rnl-1,LS‖。

nmin為當前迭代最優(yōu)擬合次數；nmax為可能的最大擬合次數；α、β為全局變量因子，為防止迭代進入局部最優(yōu)而設置，其取值規(guī)則為：當α=1時，β=0～1；當β=1時，α=0～1。其最佳取值可采用遺傳算法進行求取，此處不再贅述。

3 風速-功率擬合數據序列生成方法分析

傳統(tǒng)計算風電場輸出功率的方法主要依賴于廠家提供的風力機標準功率特性曲線[17]，如圖1所示。

圖1 雙饋感應式風力機標準功率特性曲線Fig.1 Standard power characteristic curve of doubly fed induction generator

在實際的運行過程中，風力機并不是按照廠家設計的風速-功率特性曲線運行，而是分布在一個較寬的范圍內，如圖2所示。

圖2 雙饋感應式風力機實測風速-功率散點圖Fig.2 Measured wind speed power scatter diagram of doubly fed induction generator

風力機有功出力與其所受風速有關，若將風力機看作一個二端元件，忽略其內部特性，完全將其看作是一個“黑匣子”，則風力機有功出力可表示為：

P=f(v)

(8)

本文采用概率加權平均值序列法形成待擬合的數據序列，并運用數據重構原理對其進一步處理。

3.1 概率加權平均值序列法

假設共有m臺相同型號的風力機，其實測風速-功率散點圖如圖2所示，不妨設其切入風速為vmin，切出風速為vmax，為了方便測量，將風速從切入風速到切出風速劃分為s個等寬的風速區(qū)間，則每個風速區(qū)間跨度為：

(9)

據此得到風速的區(qū)間序列為：

v=[vmin,v2,…,vi,…,vs,vmax]

(10)

式中，vi=vmin+iΔv

進而可得風速的平均值序列為：

vmean=[v1-mean,v2-mean,…,vs-mean]

(11)

式中，vi-mean為第i個區(qū)間風速平均值。

在風速區(qū)間劃分的基礎上，按輸出有功功率將擬合數據分為等寬的k個區(qū)間，則每個功率區(qū)間跨度為：

(12)

對于第i個風速區(qū)間，其功率加權平均值按照式(13)求?。?/p>

(13)

式中，Pi,j-mean為第i個風速區(qū)間、第j個功率區(qū)間內所有實測數據的功率平均值；gi,j=Ni,j/Ni，為風速在vi-mean下Pi,j-mean出現的概率值；Ni為第i個區(qū)間段內實測數據個數；vi,j為第i個區(qū)間段內第j個數據所對應的風速；Ni,j為第i個風速區(qū)間、第j個功率區(qū)間內所有實測數據的個數。

由此可得概率加權數據序列為：

{(v1-mean,P1-wmean),…,(vs-mean,Ps-wmean)}

(14)

由理論分析可知，參與測試風力機臺數m越多，風速劃分區(qū)間數s越多，風速區(qū)間內測試數據數Ni越多，所得風速特性曲線越精確。

3.2 數據序列重構分析

由3.1節(jié)方法得到的數據序列具有如下特點：①數據數量級分布較寬泛；②數據相對于坐標的基準點極其不對稱。鑒于此，為了提高實驗數據的擬合程度，減小正規(guī)方程組系數矩陣病態(tài)程度，需對3.1節(jié)的數據序列進行重構，主要步驟如下：

(1)數據平移

根據式(15)進行數據平移，可獲得較好的數據范圍。

(15)

式中，Θv=min(v)；ΘP=min(P)；E為單位矩陣，其規(guī)模為1×s；Δv為風速數據平移誤差控制矩陣；ΔP為有功出力數據平移誤差控制矩陣。經過數據平移的數據均位于第一象限，且靠近坐標原點中心。

(2)數據轉換

根據式(16)進行數據轉換，可減小數據動態(tài)范圍，增強數據擬合穩(wěn)定性。

(16)

式中，abs(·)為絕對值函數；a為對數底數，根據數據寬松程度進行取值，一般a=10可以滿足要求。

(3)數據動態(tài)壓縮

經過前兩步平移和數據轉換處理后的數據序列已經初步具備了數據穩(wěn)定擬合的能力，為了降低最小二乘法中正規(guī)方程組的條件數，還需對上述數據進行數據壓縮和轉換，以便進一步降低數據擬合的病態(tài)程度。首先對x方向數據進行對稱處理，將vtransfer進行平移，使之關于原點對稱，其平移公式為：

(17)

(18)

式中，γ為擴展系數，其值為：

(19)

式中，r為多項式擬合次數。

由式(19)可知，γ值與擬合次數有關，它會隨著自適應次數變化動態(tài)改變，從而實現動態(tài)壓縮過程。

4 風力機風速-功率擬合模型建立步驟

根據第3節(jié)的分析，給出風力機風速-功率模型建立的詳細步驟：

(1)運用概率加權平均值序列法對風力機運行數據進行處理，得到待擬合的初始數據序列{(v1,P1),(v2,P2),…,(vs,Ps)}，并設置自適應初始擬合次數n0。

(3)判斷擬合方程系數矩陣An0的可逆性，若可逆，求解xn0，轉步驟(5)；若不可逆，轉步驟(4)。

(4)判斷rank(A,b)與rank(A)是否相等，若相等，根據式(1)求解xn0，否則根據式(3)求解xn0。

(5)判斷殘差是否滿足精度要求，即精度是否滿足‖rn0,LS‖≤ε，若滿足結束迭代，輸出結果；否則根據式(13)更新擬合次數nl，轉步驟(2)。

(6)若殘差精度無法滿足‖rn0,LS‖≤ε，設置總迭代次數ltotal，若l>ltotal，則迭代結束，給出殘差最小的擬合次數nbest。

5 模型適應性分析

本文所提模型的適應性可從以下方面進行分析：首先從泰勒展開式說明自適應最小二乘自適應次數的合理性，然后針對風力機風速-功率曲線的特點說明該數據重構方法應用于風速-功率建模的適應性，最后以搜索域圖說明該方法中不定秩變解原理的正確性。

首先給出泰勒展開式的多項式形式，如式(20)所示：

(20)

式中，O[(x-x0)n]為泰勒公式的余項，是(x-x0)n的高階無窮小。

由式(20)可知，對于連續(xù)非階躍函數f(x)都可以用多項式pn(a)進行模擬，只要所選取模擬次數nl合理，所得擬合殘差‖rn,LS‖就可以達到最小，該方法相對傳統(tǒng)定次數的最小二乘擬合方法具有更高的精度優(yōu)勢。實際風力發(fā)電機的風速-功率曲線滿足連續(xù)非階躍的條件，因此采用自適應最小二乘進行擬合具有很好的精度優(yōu)勢。

此外，由第3節(jié)的分析可知，風力機的風速-功率數據具有數量級分布較寬的特點，在采用最小二乘法擬合時，擬合方程可能病態(tài)無解。為了說明廣義最小二乘數據重構原理在風速-功率建模的高適應性，首先給出數量級分布寬度指標的定義式，如式(21)所示：

(21)

式中，Pi和vi分別為第i個數據點對應的功率和風速；N為數據點總數；MDO為數量級分布寬度指標，其值越大，數量級分布范圍越大。

其次，給出最佳擬合次數nbest與數量級分布寬度MDO的變化趨勢圖，如圖3所示。由圖3可知，數量級分布范圍較小時，最佳擬合次數nbest隨MDO的增加緩慢增長，但當MDO較大時，nbest的解變得不穩(wěn)定，甚至出現無解的情況。本文所提數據重構原理極大壓縮了擬合數據的數量級范圍，具有很好的可解性。

圖3 最佳擬合次數隨數量級分布寬度的變化圖Fig.3 Variation of number of best fit times with number of orders

圖4 自適應最小二乘解的搜索路徑圖Fig.4 Search path of adaptive least square solution

6 仿真分析

6.1 仿真環(huán)境分析

以我國某風電場風力機的實測數據為例進行分析，場內共有33臺風力機，每臺機組裝機容量為1.5MW。風電場內風力機分布如圖5所示。

圖5 某實際風電場風力機位置分布圖Fig.5 Distribution of wind motor in an actual wind farm

選取2015年6月5日20:00～2015年6月6日8:00的實測數據，采用MATLAB編程進行分析。

6.2 廣義最小二乘法適應性仿真驗證

目前風力機風速序列常采用最大概率法，為了驗證廣義最小二乘法針對風力機有功-風速曲線擬合的適應性，首先給出數據重構前后數量級分布寬度指標MDO的變化，如表1所示。由表1可知，數據重構后，MDO值變小，且概率加權平均值序列法本身對數據序列也具有數量級寬度平抑特性。

表1 數據重構前后MDO變化Tab.1 MDO changes before and after data reconstruction

其次給出數據重構前后數據序列擬合殘差與擬合次數的關系，如表2所示。由表2可知：

(1)采用數據重構后，數量級分布寬度指標MDO變小，擬合殘差‖rn,LS‖數值也隨之變小，證明了數據重構針對寬數量級分布范圍數據序列的高適應性。

(2)概率加權序列法產生的擬合數據序列擬合殘差數值較小，在相同條件下更易收斂。

(3)采用本文算法，部分傳統(tǒng)最小二乘病態(tài)無解的數據轉變?yōu)閺V義可解，提高了算法收斂性。

表2 擬合殘差與擬合次數的關系Tab.2 Relationship between residual difference and number of fits

注：(-)表示采用傳統(tǒng)最小二乘法，系數矩陣不可逆，無解。

最后，為了說明自適應最小二乘法求解時的尋優(yōu)特性，給出多項式擬合次數隨迭代次數的變化關系，如圖6所示。由表1和圖6可知，該案例中最佳擬合次數為5，且多項式擬合次數會隨著迭代次數的增加迅速向最佳擬合次數nbest更替，克服了傳統(tǒng)最小二乘擬合次數難以確定的缺陷，證明了廣義最小二乘自適應次數的正確性。

圖6 多項式擬合次數隨迭代次數變化關系圖Fig.6 Relationship between number of polynomial fitting and number of iterations

6.3 風力機風速-功率曲線精確性仿真驗證

為了驗證風力機風速-功率曲線精確性，以及相對傳統(tǒng)方法的優(yōu)勢，從本文所提擬合數據序列產生方法及廣義最小二乘兩個角度出發(fā)構造以下兩種仿真方案：

(1)方案一(傳統(tǒng)方法)：采用傳統(tǒng)最大概率法生成風速序列，采用傳統(tǒng)最小二乘法擬合。

(2)方案二(本文算法)：采用概率加權法生成風速序列，采用廣義最小二乘法擬合。

采用兩種不同方案生成的風速-功率曲線對風力機有功出力進行計算，與實際數據進行比較。風速變化特性如圖7所示。

圖7 風力機風速變化曲線圖Fig.7 Wind speed variation curve of wind turbine

圖8和圖9分別為采用傳統(tǒng)風速-功率曲線以及本文所提風速-功率曲線的計算結果。其中Pm為風力機有功功率參考值，Pout為風力機模型輸出的有功功率，Preal為實測的風力機輸出功率。在控制器的作用下Pout對Pm進行追蹤。

圖8 采用傳統(tǒng)方法的仿真計算結果Fig.8 Simulation results using traditional methods

圖9 采用本文方法的仿真計算結果Fig.9 Simulation results using method of this paper

由圖8和圖9可知，采用傳統(tǒng)風速功率曲線計算結果與實測數值存在約60kW的誤差，誤差率超過30%，計算結果精度較差；采用本文所提方法可以很好模擬風力機有功出力，證明了概率序列擬合數據生成方法以及廣義最小二乘擬合的精確性。

7 結論

本文針對傳統(tǒng)最小二乘法的固有缺陷，提出基于廣義最小二乘的風力機風速-功率曲線擬合模型，經過理論及仿真驗證得到如下結論：

(1)概率加權序列法產生的擬合數據序列本身具有數量級寬度平抑特性，且擬合曲線最能體現風力機出力波動特性及分散特性，模擬效果最好。

(2)經過數據重構，可以明顯壓縮數量級分布范圍，提高擬合精度和收斂性。

(3)采用自適應原理的廣義最小二乘法可以迅速找到最佳擬合次數，并且引入廣義逆極大增加了解域空間，保證算法可解。

(4)采用自適應原理可以快速得到數據最佳擬合次數，保證算法的高精確性。

本文研究為大型風電場及集群等效聚合模型研究奠定了良好的基礎。