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(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所航測(cè)二部，吉林長(zhǎng)春130000)

0 引言

為適應(yīng)非六自由度的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，同時(shí)希望機(jī)構(gòu)能具有并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)快、結(jié)構(gòu)剛度高、誤差小等優(yōu)點(diǎn)，目前研究熱點(diǎn)逐漸移動(dòng)到少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的本質(zhì)是在六自由度的基礎(chǔ)上，在機(jī)構(gòu)中加入了不同形式的約束[2]。通過(guò)不同的約束的布置形式將機(jī)構(gòu)的自由度約束至合適的范圍。由于機(jī)構(gòu)的約束形式各異，使機(jī)構(gòu)表現(xiàn)為不同的特性。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有驅(qū)動(dòng)件少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制容易的特點(diǎn)[3]。

在針對(duì)國(guó)內(nèi)外穩(wěn)定平臺(tái)和并聯(lián)平臺(tái)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上[4-6]，借鑒現(xiàn)有的穩(wěn)定平臺(tái)結(jié)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)方式和控制方式等，結(jié)合穩(wěn)定平臺(tái)所要求的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、承載能力大以及可移動(dòng)性好等特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出了三自由度并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1。

圖1 機(jī)構(gòu)總體方案

此機(jī)構(gòu)特點(diǎn)為升沉電動(dòng)推桿上平臺(tái)和下平臺(tái)的中心，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)電動(dòng)推桿分別等距分布在兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向上。上下平臺(tái)支點(diǎn)在平衡位置等距離(100 mm)布置(推桿與立柱平行)。平臺(tái)的轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)極限范圍是±20°，升沉運(yùn)動(dòng)的極限范圍是45 mm。兩個(gè)電動(dòng)推桿關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)分別為：UPS(雙端為球鉸，中間移動(dòng)副)和RPS(一端球鉸，一端虎克鉸，中間移動(dòng)副)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖2 單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

本文首先對(duì)縱搖四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行單獨(dú)的分析，對(duì)于一端球鉸一端鉸鏈的橫搖方向，應(yīng)為鉸鏈的約束，其四桿在同一平面內(nèi)，機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖可以簡(jiǎn)化為圖2所示。

其中坐標(biāo)系O1-x1y1z1為基準(zhǔn)坐標(biāo)系。在機(jī)構(gòu)中，r=100 mm為平臺(tái)中心到電動(dòng)推桿立柱的距離，為O1P1、O1P2、O2Q1、O2Q2的距離，l0、l1、l2分別為升沉電動(dòng)推桿、橫搖電動(dòng)推桿和縱搖電動(dòng)推桿的的長(zhǎng)度，其取值范圍360 mm～520 mm。

圖中α為平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，根據(jù)閉環(huán)矢量法建立方程：

(1)

根據(jù)公式(1)可得到：

(2)

利用正余弦公式可計(jì)算出：

(3)

機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中：r為電動(dòng)推桿和平臺(tái)連接處距平臺(tái)中點(diǎn)的距離為100 mm；l0和l2為升沉電動(dòng)推桿的長(zhǎng)度，其取值范圍為360 mm～520 mm；角θ為∠P2O2Q2，其值隨升沉電動(dòng)推桿桿長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量而改變，其值的運(yùn)動(dòng)范圍為1.30 rad～1.38 rad。將值帶入公式(3)可得：

(4)

在雙軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3。

圖3 單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

角α只受電動(dòng)推桿l0、l1、l2的長(zhǎng)度影響，角度值已由公式(4)得到。角β即受電動(dòng)推桿l1的影響，又因?yàn)殡妱?dòng)推桿l2會(huì)導(dǎo)致面O2Q1P1轉(zhuǎn)動(dòng)。受到l0、l1、l2綜合影響。根據(jù)閉環(huán)矢量法列出公式：

(5)

因?yàn)樵诖宿D(zhuǎn)動(dòng)方向上O2Q1P1和O2O1P1不在同一平面，適用y軸上的方程需要根據(jù)兩個(gè)平面的分割線(xiàn)O2P2分為兩個(gè)方向。新列出閉環(huán)矢量方程：

(6)

根據(jù)結(jié)構(gòu)模型，已知點(diǎn)O2處為虎克鉸，虎克鉸的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互垂直。當(dāng)電動(dòng)推桿l2推動(dòng)角α在某一定值時(shí)，O2Q1始終在垂直于O2Q2方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，同時(shí)面O2Q1P1垂直于O2Q2，β′為在面O2Q1P1中平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，根據(jù)余弦定理可得：

(7)

β=arccot(cotβ′·cosα)

(8)

1.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

因?yàn)榭臻g機(jī)構(gòu)計(jì)算較為復(fù)雜，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)采用D-H法計(jì)算。D-H法研究機(jī)構(gòu)各連桿之間的位移關(guān)系，通過(guò)計(jì)算相鄰連桿坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到轉(zhuǎn)換矩陣，使用轉(zhuǎn)換矩陣表示其關(guān)系。通過(guò)坐標(biāo)系的等價(jià)齊次變換矩陣，建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)見(jiàn)圖2。在坐標(biāo)系1和坐標(biāo)2中，各點(diǎn)的坐標(biāo)為：

1P1=(r，0，0)T2Q1=(r，0，0)T

1P2=(0，r，0)T2Q2=(0，r，0)T

(9)

1O1=(0，0，0)T2Q2=(0，0，0)T

將O1-xyz設(shè)為1坐標(biāo)系(基準(zhǔn)坐標(biāo)系)，將O2’-x’y’z’進(jìn)行平移，繞基準(zhǔn)坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)β角，x軸旋轉(zhuǎn)α角，可得坐標(biāo)系2。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：

(10)

(11)

(12)

電動(dòng)推桿長(zhǎng)度l1為：

(13)

(14)

(15)

電動(dòng)推桿長(zhǎng)度l2為：

(16)

2 運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算

圖5 橫搖角度與推桿伸長(zhǎng)量關(guān)系

圖6 α不同時(shí)，耦合造成的平臺(tái)角度差別(電動(dòng)推桿以相同規(guī)律運(yùn)行)

根據(jù)本課題推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將所求得的公式帶入運(yùn)動(dòng)學(xué)的Simulink仿真程序。在實(shí)際系統(tǒng)中，平臺(tái)工作在橫滾角度為6°，縱搖角度為15°，升沉為40 mm的正弦運(yùn)動(dòng)中，根據(jù)計(jì)算出的公式對(duì)實(shí)際工作條件下并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行仿真計(jì)算。其中a為角度α，b為角度β，l1為電動(dòng)推桿1的伸長(zhǎng)量，l2為電動(dòng)推桿2的伸長(zhǎng)量。當(dāng)升沉電動(dòng)推桿停留在中點(diǎn)時(shí)，將正信號(hào)帶入到正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型中可得，當(dāng)縱搖角度為6°時(shí)，電動(dòng)推桿移動(dòng)量為10.45 mm。當(dāng)橫搖角度運(yùn)動(dòng)到15°時(shí)，電動(dòng)推桿移動(dòng)25.89 mm。平臺(tái)角度與電動(dòng)推桿的伸縮量的關(guān)系如圖4和圖5。

圖6展示了縱搖角度在0°位置和15°位置時(shí)，電動(dòng)推桿以l2=36 sin((2πt)/8)運(yùn)動(dòng)時(shí)，平臺(tái)角度因縱搖方向改變，耦合作用導(dǎo)致的平臺(tái)橫搖角度的差別。實(shí)線(xiàn)是縱搖角度為0°時(shí)，電動(dòng)推桿伸長(zhǎng)時(shí)平臺(tái)角度。虛線(xiàn)為縱搖角度為15°時(shí)，電動(dòng)推桿伸長(zhǎng)時(shí)平臺(tái)角度。由此看出在本課題中平臺(tái)耦合對(duì)角度影響較大，在最大有2°左右的耦合影響。

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)需要三個(gè)電動(dòng)推桿完成運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)作的同時(shí)對(duì)升沉運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行補(bǔ)償。升沉運(yùn)動(dòng)占系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)總功率中最大的一部分，其擺動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)直接影響到升沉電動(dòng)推桿、橫搖電動(dòng)推桿和縱搖電動(dòng)推桿的伸長(zhǎng)量和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。升沉運(yùn)動(dòng)不僅僅只線(xiàn)性影響橫搖電動(dòng)推桿和縱搖電動(dòng)推桿的伸長(zhǎng)量，由于升沉運(yùn)動(dòng)改變了橫搖運(yùn)動(dòng)和縱搖運(yùn)動(dòng)的桿長(zhǎng)，電動(dòng)推桿在推動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的伸長(zhǎng)量也有影響。

圖7 升沉運(yùn)動(dòng)影響曲線(xiàn) 圖8 耦合對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響

機(jī)構(gòu)以周期為8 s幅值為15°的正弦信號(hào)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，升沉量為0 mm和正負(fù)40 mm對(duì)電動(dòng)推桿的伸長(zhǎng)量如圖7所示。升沉運(yùn)動(dòng)不僅僅只線(xiàn)性影響橫搖電動(dòng)推桿和縱搖電動(dòng)推桿的伸長(zhǎng)量，由于升沉運(yùn)動(dòng)改變了橫搖運(yùn)動(dòng)和縱搖運(yùn)動(dòng)的四桿機(jī)構(gòu)中的桿長(zhǎng)，其對(duì)電動(dòng)推桿在推動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的伸長(zhǎng)量會(huì)產(chǎn)生影響。當(dāng)升沉分別為40 mm、零點(diǎn)位置和-40 mm時(shí)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)15°需要的電動(dòng)推桿伸長(zhǎng)量如圖8所示?？梢?jiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)處于小角度(±15°)范圍運(yùn)動(dòng)，升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)角度的耦合最大0.002°。

因?yàn)橄到y(tǒng)的三個(gè)自由度之間相互耦合的影響。因此在建立系統(tǒng)時(shí)，需要將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程導(dǎo)入控制器的算法中。對(duì)于高精度的穩(wěn)定平臺(tái)來(lái)說(shuō)，橫搖和縱搖間相互耦合較大，不可忽略。而升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的耦合較小，最大僅為7″。

圖9 平臺(tái)位置對(duì)傳動(dòng)比的影響

圖10 平臺(tái)位置與傳動(dòng)比變化規(guī)律

電動(dòng)推桿中，電機(jī)經(jīng)過(guò)傳動(dòng)比為1的齒輪傳動(dòng)連接絲杠，則電機(jī)角度φ與電動(dòng)推桿的伸長(zhǎng)量l的關(guān)系為：φ=2·π·l/p，其中p為絲杠導(dǎo)程為4 mm。傳動(dòng)比可以用電機(jī)端轉(zhuǎn)速除以末端平臺(tái)轉(zhuǎn)速得到。經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算仿真，求得由電機(jī)端至平轉(zhuǎn)端的傳動(dòng)比。當(dāng)平臺(tái)以15°正弦進(jìn)行運(yùn)動(dòng)可以看出，平臺(tái)在水平位置，即平臺(tái)和推桿垂直時(shí)，傳動(dòng)比最大為157。在MATLAB中可以求到傳動(dòng)比隨平臺(tái)運(yùn)動(dòng)關(guān)系曲線(xiàn)如圖9所示，平臺(tái)位置與傳動(dòng)比的關(guān)系如圖10所示。

3 總結(jié)

針對(duì)一種三自由度并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算，并通過(guò)simulink對(duì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行仿真計(jì)算。文中部分?jǐn)?shù)據(jù)采用實(shí)際機(jī)構(gòu)參數(shù)尺寸進(jìn)行計(jì)算，得到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及此種并聯(lián)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性，對(duì)特征相似的并聯(lián)平臺(tái)的研究有一定的參考價(jià)值。