羅志超，肖一嘯，黃旭，王敬前

（1.陜西服裝工程學院 經濟管理學院，陜西西安，712046；2.陜西服裝工程學院基礎部，陜西西安，712046)

引言

血管的三維重建可以顯示重疊的組織結構和血管腔，提供了正常組織、腫瘤和血管較全面的三維空間關系，對醫(yī)學研究具有重大意義。而怎樣進行血管的三維重建[1]是我們所關注的一個重要的問題。題目中給出100張格式、寬、高均相同的垂直于坐標系Z軸的某管道的相繼平行切片圖像，切片圖像的坐標依他們在文件中出現的前后次序表示，而管道的表面是由球心沿著某一曲線（稱為中軸線）的球滾動包絡而成，題目作出假設：管道中軸線與每張切片有且只有一個交點、球半徑固定、切片間距以及圖像像素的尺寸均為1。

現著重解決以下四個問題：

問題1：計算管道的半徑，并給出具體算法。

問題2：計算出管道的中軸線，并給出具體算法。

問題3：繪制出中軸線在XY、YZ、XZ平面的投影圖。

1 問題分析

這是一個三維模型的建立與求解問題。根據題中給出的假設，求得各個切面最大內切圓的半徑的平均值及其圓心坐標，求得圓心軌跡即為中軸線的軌跡，特點是數據過多，難點是計算量過大。

1.1 問題1分析

首先，通過題中做出的假設：管道中軸線與每張切面有且只有一個交點。分析出中軸線與切面的交點就是中軸線與球最大切面的圓心的交點，且最大內切圓有且僅有一個；然后，結合定理：球的任意切面都為圓[2]。分析出：球的每個切面的最大內切圓的圓心就是球的圓心。最后，求得最大內切圓的半徑就是管道的半徑。

1.2 問題2分析

首先，通過問題一，得出中軸線的曲線軌跡就是球各個圓心的連線構成的曲線；然后，對得到的100個最大內切圓的圓心坐標進行曲線擬合[3]；最后，進而求得管道的中軸線。

1.3 問題3分析

通過問題一，得出的最大內切圓的圓心坐標，利用MATLAB中的PLOT命令擬合出中軸線在XY、YZ、XZ平面的投影。

2 模型的建立與求解

2.1 問題1的解決方案

本節(jié)主要通過題目中給出的假設，結合定理，得出最大內切圓的半徑就是管道的半徑。

2.1.1 問題1模型的建立與分析

根據上述2.2問題一的分析，對問題一管道半徑的求解步驟如下(1)到(6)所示：

（1）通過MATLAB,將管道的相繼100張平行切片圖像導入，得到圖像信息的0-1矩陣。行數為59至81、列數為249至265的部分0-1矩陣如下圖1所示：

圖1 0-1矩陣的部分圖像

（2）將0-1矩陣互換。行數為59至81、列數為249至265的部分0-1互換矩陣如下圖2所示：

圖2 0-1矩陣的部分互換圖

（3）通過MATLAB,得到切片圖形的輪廓和骨架。行數為50至81、列數為249至265的切片圖形的部分輪廓如下圖3所示,行數為50至81、列數為249至265的切片圖形的部分骨架如下圖4所示:

圖3 切片圖形的部分輪廓

圖4 切片圖形的部分骨架

（4）對每個切片求其半徑，以第一個切片為例：取切片骨架的任意點，求出這個點到邊界點的距離，取得最小值；再求內部第二個點到邊界點的距離，取得最小值；直至內部所有點全部遍歷為止。并在這些最小值中取得最大值，最大值即為求得最大內切圓的半徑。假設切片內部共有M個點，邊界上共有N個點，且切片內部的點的坐標為，邊界上點的坐標為，利用兩點之間的距離公式[6]：

對所求距離利用MATLAB中的SORT程序進行轉置，得到切片0的所有半徑值如下表1所示：

表1 切片0的所有半徑值

求得最短距離：

求得最大內切圓的半徑為:

（5）通過MATLAB編寫程序求得100張最大半徑對應的圓心坐標。100張切片最大內切圓的圓心坐標及半徑見如下表2所示：

表2 100張切片最大內切圓的圓心坐標及半徑

3 257 96 3 29.483 53 371.5 140.5 53 30.056 4 257 96 4 29.483 54 376 145 54 29.822 5 257 96 5 29.483 55 389 161.5 55 29.611 6 257 96 6 29.347 56 390.5 163.5 56 29.611 7 258 96 7 29.5 57 403 184 57 29.822 8 258 96 8 29.5 58 403.5 185 58 29.888 9 258 96 9 29.5 59 404 186 59 29.619 10 258 96 10 29.5 60 409 197 60 29.619 11 259 96 11 29.5 61 410 200 61 29.602 12 259 96 12 29.5 62 412 205 62 29.602 13 259 96 13 29.5 63 412 205 63 29.602 14 260 96 14 29.5 64 413 208 64 29.602 15 261 96 15 29.5 65 420 237 65 29.652 16 261 96 16 29.5 66 419 231 66 29.602 17 261 96 17 29.5 67 420 237 67 29.568 18 263 96 18 29.5 68 420 237 68 29.517 19 264 96 19 29.5 69 421 244 69 29.5 20 265 96 20 29.5 70 421 245 70 29.5 21 266 96 21 29.5 71 422 254 71 29.5 22 267 96 22 29.5 72 422 256 72 29.5 23 268 96 23 29.5 73 422 258 73 29.5 24 277 96 24 29.517 74 422 261 74 29.5 25 277 97 25 29.517 75 422 276 75 29.5 26 277 97 26 29.517 76 420 295 76 29.347 27 286 97 27 29.568 77 413 324 77 29.602 28 286 98 28 29.568 78 405 344 78 29.619 29 286 98 29 29.568 79 394.5 362.5 79 29.611 30 292 98 30 29.602 80 391 368.5 80 29.611 31 292 98 31 29.652 81 376 388 81 29.822 32 292 98 32 29.602 82 376 388 82 30.048 33 292 98 33 29.602 83 376 388 83 30.048 34 297 99 34 29.602 84 375 389 84 30.048 35 297 99 35 29.602 85 363 401 85 30.048 36 301 100 36 29.602 86 362 402 86 30.048 37 305 101 37 29.602 87 362 402 87 29.822 38 311 103 38 29.619 88 350 411 88 29.611 39 317 105 39 29.619 89 346.5 414 89 29.611 40 319.5 106 40 29.619 90 342.5 417 90 29.586 41 345 119 41 29.577 91 342.5 417 91 29.586 42 342.5 117.5 42 29.586 92 338 420 92 29.518 43 342.5 117.5 43 29.586 93 315 432 93 29.619 44 348 121 44 29.822 94 310 434 94 29.619 45 348 121 45 29.822 95 310 434 95 29.602 46 348 121 46 29.822 96 302 437 96 29.602 47 368.5 137.5 47 30.056 97 299 438 97 29.602 48 369 138 48 30.056 98 292 440 98 29.602 49 369 138 49 30.056 99 288 441 99 29.602

（6）根據平均數的意義：平均數反映的是整體情況，也就是整體水平，對100個切片所對應的最大內切圓半徑求平均值，即為管道的半徑，得到了管道半徑的模型：

通過所建立的模型，求得的管道的半徑。

問題一求管道半徑的算法步驟如下：

輸入：100張平行切片圖像

輸出：管道的半徑

1.通過MATLAB,導入管道的相繼100張平行切片圖像，得到圖像信息的0-1矩陣。

2.互換0-1矩陣。

3.通過MATLAB,得到切片圖形的輪廓和骨架。

4.求得最大內切圓的半徑。

5.通過MATLAB，求得100張最大半徑對應的圓心坐標。

6.求得100個半徑的算數平均值即為管道半徑。

2.2 問題2的解決方案

通過問題一，運用曲線擬合，得到管道的中軸線。

2.2.1 問題2模型的建立

基于問題一求得的100張切片最大內切圓的圓心坐標，對問題二中軸線的求解步驟如下(1)到(2)所示：

（1）通過MATLAB擬合出多項式函數[4]、指數函數、三角函數等，經過多次擬合比對，選用三角函數作為模型。

建立中軸線的模型為：

可以得到中軸線的方程為：

（2）通過MATLAB擬合曲線，得到的曲線即為中軸線的擬合曲線。

中軸線的擬合曲線與散點圖如下圖5所示：

圖5 中軸線的擬合曲線與散點圖

問題二求管道中軸線的算法步驟如下：

輸入：100張切片最大內切圓的圓心坐標

輸出：改善后的任務完成率更高

1.通過MATLAB曲線擬合比對，選定模型函數為三角函數。

2.通過MATLAB擬合曲線，得到管道中軸線的擬合曲線。

問題3的解決方案

本節(jié)根據問題一，得出的最大內切圓的圓心坐標，擬合出中軸線在XY、YZ、XZ平面的投影。

2.3.1 問題3模型的建立

利用問題一得到100張切片最大內切圓的圓心坐標，對問題三中軸線在XY、XZ、YZ平面上的投影的求解步驟如下：

1.將100張切片最大內切圓的圓心坐標代入MATLAB中。

2.利用的MATLAB中的PLOT命令擬合出中軸線在XY、XZ、YZ平面上的投影。

中軸線在XY、YZ、XZ上的投影分別如下圖6、7、8所示，中軸線的XYZ上的三維圖像如下圖9所示：

圖6 中軸線在XY上的三維圖像

圖7 中軸線在YZ上的投影

圖8 中軸線在XZ上的投影

圖9 中軸線在XYZ上的三維圖像

3.根據圖6擬合的中軸線[5]的投影圖像可以發(fā)現圖像呈盤旋上升，根據圖7、8的中軸線的投影圖像可以發(fā)現圖像盤旋上升的趨勢為陡-平-陡。

問題三中求中軸線在XY、YZ、XZ上的投影步驟如下：

輸入：100張平行切片圖像

輸出：管道的半徑

1.將100張切片最大內切圓的圓心坐標代入MATLAB中。

2.利用PLOT命令擬合出中軸線在XY、XZ、YZ平面上的投影。

3 結束語

本文利用了采用平均法對數據進行了科學精準的處理，增加了計算的精準性。

（1）本模型不僅適用于求解半徑一定的圖形的管道，而且還適用于半徑不定的圖形的管道，具有較強的推廣意義。

（2）本文在選取變量時應對影響任務標價的各個變量進行檢驗與選取，從而能挑選出與任務標價關系更為密切的變量。

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