杜文衛(wèi),江剛,朱彬占，周小平，原志杰，李金鑫

(1. 貴州省銅仁公路管理局，貴州 銅仁 554300；2.貴州大學(xué) 土木工程學(xué)院，貴陽 550003；3.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院；山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶 400045；4.國家山區(qū)公路工程技術(shù)研究中心，重慶 400060)

瑞利波是一種沿半無限彈性介質(zhì)自由表面?zhèn)鞑サ钠癫?，具有波長長、振幅大等特征，被廣泛應(yīng)用于地質(zhì)工程勘探、材料無損檢測等領(lǐng)域[1-4]。瑞利波在層狀介質(zhì)中的應(yīng)用，已經(jīng)有比較成熟的理論和算法[5-8]。而在非層狀介質(zhì)中，瑞利波正演分析解析法只能針對個別特殊情況，對于更復(fù)雜的一般情況(比如混凝土結(jié)構(gòu)中的裂縫、空洞等缺陷)，瑞利波頻散方程無法建立和求解，因此，只能選取數(shù)值模擬分析方法。最常用的數(shù)值模擬方法為有限單元法及有限差分法。郭君[9]、李春花[10]和葉唐進(jìn)[11]等在二維平面內(nèi)對瞬態(tài)瑞利波法探測介質(zhì)內(nèi)部空洞的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。歐陽凱[12]基于幅值衰減、傳播時間延時和頻率阻隔規(guī)律，運用ANSYS有限元軟件對表面垂直缺陷進(jìn)行了分析，提出了利用瑞利波檢測材料表面缺陷深度的方法。

本文基于上述研究，結(jié)合瑞利波的勘探原理[13-16]，提出了材料表面裂縫長度和角度的計算公式，并應(yīng)用有限元軟件ABAQUS進(jìn)行模擬分析，將模擬結(jié)果與公式計算結(jié)果對比，驗證了公式的準(zhǔn)確性。

1 計算方法理論(傳播時間差法)

如圖1所示，在裂縫左側(cè)邊緣處施加一個激勵源，要求激勵源的中心頻率對應(yīng)的波長遠(yuǎn)小于裂縫的長度。因此，在實際應(yīng)用中選用高頻激勵源，以確保瑞利波沿著裂縫的兩個側(cè)面進(jìn)行傳播，并到達(dá)裂縫右側(cè)的上表面。如圖1(a)所示，在激勵源的作用下，混凝土介質(zhì)中產(chǎn)生3種彈性波;縱波、橫波以及瑞利波。縱波直達(dá)速度最快但能量較弱，在實際應(yīng)用過程中很難測到，所以，在有限元模擬過程中不予考慮。橫波和瑞利波傳播速度相近，在較短傳播距離之內(nèi)很難將其分離出來。如圖1(b)所示，當(dāng)瑞利波傳播到裂縫底端時，一部分瑞利波會在裂縫底端經(jīng)過模式轉(zhuǎn)換形成衍射縱波和衍射橫波，并以裂縫底端為中心，在混凝土介質(zhì)內(nèi)部向四周呈球狀式擴散傳播。其中，衍射縱波最先傳播到裂縫右側(cè)上表面，之后衍射橫波也傳播到裂縫右側(cè)上表面，而且這兩部分衍射波能量都比較大。衍射縱波最早到達(dá)裂縫右側(cè)上表面的特點，在波形圖中可以很快地確定，便于用來對裂縫的角度進(jìn)行判斷。

此外，另一部分瑞利波到達(dá)裂縫底端后，在裂縫底端會出現(xiàn)繞射現(xiàn)象，沿著裂縫表面右側(cè)繼續(xù)向上傳播，最后到達(dá)裂縫右側(cè)混凝土介質(zhì)上表面，根據(jù)瑞利波的傳播時間與激勵源滯后時間差可以計算裂縫長度。

圖1 瑞利波的傳播及衍射示意圖Fig.1 The diagram of Rayleigh wave propagation and diffraction

2 混凝土表面裂縫數(shù)值模擬分析

2.1 模型建立及參數(shù)設(shè)置

如圖2所示，材料采用混凝土，彈性模量E=30 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=2 500 kg/m3。模型尺寸大小選為長L=300 mm，寬L/2=150 mm，裂縫寬度1 mm。裂縫與水平方向的夾角為θ，裂縫長度為d，接收點的位置位于裂縫右側(cè)60 mm處，激勵源作用在裂縫左側(cè)邊緣，且中心頻率設(shè)置為f=200 kHz。由式(2)、式(3)和式(4)可計算出瑞利波波長λR=10 mm。裂縫長度設(shè)置均遠(yuǎn)大于10 mm，滿足利用傳播時間差法計算的要求。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：λR為瑞利波波長；λ為拉梅系數(shù)；μ為泊松比；G為剪切模量；E彈性模量；ρ為密度；VP為縱波波速；Vs為橫波波速；VR為瑞利波波速。

圖2 有限元模型示意圖Fig. 2 The schematic diagram of finite element model

如圖3所示，激勵源選用雷克子波，其表達(dá)式為

F(t)=A[1-2π2f2(t-t0)2]e-π2f2(t-t0)2

(5)

式中：t0為激勵源滯后時間；A為幅值。

圖3 激勵源波形(中心頻率為200 kHz的雷克子波)Fig. 3 The excitation source(the center frequency of Ricker wave is 200 kHz)

取t0為5×10-6s，幅值A(chǔ)=1×10-12m，具體波形如圖3所示。采樣時間間隔為

(6)

式中：Δt為采樣時間間隔；f為中心頻率。

根據(jù)式(6)可得，選用采樣時間間隔2×10-7s，總共采樣時間為2×10-4s。模型網(wǎng)格采用三角形網(wǎng)格，其尺寸選擇中心頻率(f=200 kHz)對應(yīng)的瑞利波波長的1/10，即1 mm，共計45 000個單元。計算邊界采用粘彈性人工邊界[17]。

2.2 表面裂縫長度的計算

2.2.1 垂直裂縫長度的確定(即θ=90°) 選取激勵源頻率為200 kHz作用下的混凝土(裂縫長度為60 mm)波場快照，分析彈性波在含有表面裂縫的混凝土介質(zhì)中的傳播規(guī)律，并進(jìn)行表面裂縫計算。

如圖4(a)所示，當(dāng)t=2×10-5s時，在激勵源作用下，混凝土介質(zhì)中產(chǎn)生彈性波，縱波和橫波呈圓弧式向混凝土內(nèi)部擴散，瑞利波在混凝土介質(zhì)表面呈地滾式傳播?？v波傳播速度最快，而橫波和瑞利波傳播速度相近。如圖4(b)所示，當(dāng)t=4×10-5s時，沿裂縫表面?zhèn)鞑サ娜鹄ㄒ呀?jīng)到達(dá)裂縫底端，瑞利波一部分在裂縫底端發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成衍射體波，其能量比較強。因為此刻瑞利波剛傳播到裂縫底端，產(chǎn)生衍射體波的時間較短，所以，很難將衍射縱波和衍射橫波分離出來；另一部分繞過裂縫底端繼續(xù)沿裂縫右側(cè)表面向上傳播，形成很明顯的繞射現(xiàn)象。如圖4(c)所示，當(dāng)t=5×10-5s時，瑞利波已傳過裂縫底部，此時，一部分瑞利波沿裂縫右側(cè)向上傳播；另一部分則通過模式轉(zhuǎn)換成衍射縱波和衍射橫波，兩者可以清楚地分辨出來。衍射縱波的傳波速度(在同一種介質(zhì)中，縱波的傳播速度均相等)較快，衍射橫波的傳播速度相對衍射縱波較慢。但衍射橫波的能量比衍射縱波大得多。另外，從圖4(c)可以看出，縱波已經(jīng)傳遞到模型底端，其能量被粘彈性人工邊界吸收。如圖4(d)所示，當(dāng)t=6×10-5s時，由于衍射縱波傳播速度快，首先到達(dá)混凝土表面，且首先被接收到，而衍射橫波依舊在混凝土介質(zhì)內(nèi)部呈圓弧式擴散傳播。同時，衍射縱波和衍射橫波的能量出現(xiàn)了不同程度的衰減，其中,衍射縱波的能量衰減最大。如圖4(e)所示，當(dāng)t=8×10-5s時，衍射橫波也傳播到混凝土介質(zhì)表面，能夠接收到衍射橫波，衍射縱波已經(jīng)全部被粘彈性邊界所吸收。經(jīng)過裂縫后的瑞利波也到達(dá)混凝土介質(zhì)表面，也可以在混凝土介質(zhì)表面設(shè)置接收點接收該部分瑞利波的波形。如圖4(f)所示，當(dāng)t=1×10-4s時，裂縫右側(cè)的瑞利波沿著混凝土介質(zhì)表面繼續(xù)呈圓弧式向右傳播，衍射橫波已經(jīng)傳播到模型底部邊界，被粘彈性邊界吸收。另一方面，在裂縫左側(cè)傳播的瑞利波已經(jīng)完全被模型左側(cè)粘彈性邊界所吸收，并且橫波也同樣被模型左側(cè)以及模型底部的粘彈性邊界完全吸收。

圖4 各個時刻的彈性波場快照(裂縫長度為60 mm)Fig. 4 Snapshots of each time in the wave field(The length of crack is 60 mm)

如圖5所示，根據(jù)接收到的計算波形，提取圖形中峰值點A、B對應(yīng)的時間，即為瑞利波和縱波到達(dá)接收點的時間。因為瑞利波經(jīng)過裂縫兩側(cè)表面?zhèn)鞑サ交炷两橘|(zhì)表面，相對于衍射橫波及衍射縱波，瑞利波傳播時間最長，且自身的能量很強，因此，在計算的波形圖中很容易找到瑞利波到達(dá)接收點處對應(yīng)的特征點，即傳播時間最長和幅值最大點，如圖5中所標(biāo)注的A點。另外，衍射縱波傳播速度最快，因此,到達(dá)接收點的時間最快，且能量最小，其達(dá)到時間點為圖5中標(biāo)注的B點所對應(yīng)的時間。

圖5 計算波形圖Fig. 5 Waveform diagram

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，以及接收到的計算波形圖中的特征點A、B所對應(yīng)的時間，即瑞利波、縱波的到達(dá)時間，可以得到裂縫長度的計算公式

(7)

式中：d為裂縫長度;a為偏移距;t0為激勵源的滯后時間;VR為瑞利波波速，由式(3)可得VR=1 993 m/s；tR為瑞利波到達(dá)接收點的時間。

為了正確獲得裂縫的長度，首先應(yīng)在計算獲得的波形圖中確定波形峰值特征點(A)的位置，通過波形圖可以讀出其對應(yīng)的時刻(tR)，此時刻與激勵源峰值對應(yīng)時刻(t0)之差即為瑞利波從激勵源處到達(dá)接收點處的時間差，這樣,瑞利波的傳播距離可以很容易地求出。通過彈性波的傳播規(guī)律以及結(jié)合圖4可知，瑞利波沿著裂縫左右兩側(cè)表面?zhèn)鞑ィ笱刂炷两橘|(zhì)表面?zhèn)鞑サ浇邮拯c處?；谝陨显?，利用瑞利波的傳播時間差，結(jié)合式(7)可以對裂縫的長度做出精確的判斷。

分別取無裂縫、裂縫長度為0.03、0.004、0.06、0.09、0.12 mm這6種工況進(jìn)行數(shù)值模擬，得到瑞利波、衍射縱波到達(dá)接收點的時間。然后，根據(jù)式(7)計算裂縫長度，并與設(shè)置裂縫長度相比較，進(jìn)行誤差分析。結(jié)果如表1所示。

從表1的計算數(shù)據(jù)可知，通過ABAQUS模擬計算的結(jié)果，誤差在7.86%以下，均達(dá)到了比較高的精確度，滿足實際工程的要求。另外，在裂縫長度一定范圍內(nèi)，隨著裂縫長度的不斷增大，計算得到的裂縫長度越來越接近真實值，即相對誤差越來越小，說明該方法是比較準(zhǔn)確的，能夠很好地應(yīng)用于混凝土表面裂縫無損檢測。

2.2.2 不同角度裂縫長度的計算 不同角度裂縫的長度計算，均采用式(7)計算，不同角度裂縫長度的計算結(jié)果，見表2。

表1 表面裂縫長度計算數(shù)據(jù)Table 1 The calculated data of crack length

表2 裂縫長度計算數(shù)據(jù)Table 2 The calculated data of crack length

從表2的計算結(jié)果可知，計算的相對誤差均小于3.74%，達(dá)到比較高的精確度，滿足工程要求。這說明，有限元軟件ABAQUS能夠模擬含表面斜裂縫的混凝土，且計算結(jié)果比較精確。

2.3 裂縫角度計算

2.3.1 裂縫角度計算公式 顯然，豎向裂縫為θ=90°的特殊情況。根據(jù)表1可以求得裂縫的長度，結(jié)合彈性波場快照(圖6)分析可得衍射縱波的傳播時間為

(8)

式中：tP為衍射縱波幅值到達(dá)時刻。那么，衍射縱波傳播到接收點時所經(jīng)過的距離c(裂縫底端到接收點的直線距離，m)可以表示為

(9)

由式(1)可得VP=4 019 m/s，結(jié)合圖2，可根據(jù)三角形余弦定理得出裂縫角度的求解公式為

(10)

圖6 t=5×10-5s時刻的彈性波場快照(裂縫長度為60 mm)Fig. 6 Snapshots of t=5×10-5s in the wave field(the length of crack is 60 mm)

同樣，分別可以得出混凝土表面裂縫長度為3、5、30、60、90、120 mm時接收點的波形圖，提取特征點A、B的時間，結(jié)合式(7)～式(10)，可以求出裂縫與水平方向的夾角θ，具體計算數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 裂縫角度θ(不同裂縫長度)計算數(shù)據(jù)Table 3 The calculated data of crack angleθ(different crack length)

結(jié)合式(7)～式(10)，可以求出裂縫與水平方向的夾角θ。由表3中衍射縱波以及瑞利波到達(dá)接收點的時間，結(jié)合式(7)、式(9)可分別計算得到裂縫長度d、裂縫底端到接收點的直線距離c，m，進(jìn)而可以得到夾角θ，具體計算數(shù)據(jù)如表3所示。由表3的計算結(jié)果可知，當(dāng)裂縫長度為0.03～0.12 m時，利用該方法的計算結(jié)果比較精確(相對誤差在6.33%內(nèi)，最小誤差僅為1.78%)；當(dāng)裂縫長度為3、5 mm時，雖然，裂縫角度相對誤差為10.33%、7.78%，但計算角度值與實際角度值的誤差也不大于10°。因此，式(7)～式(10)可以應(yīng)用到表面裂縫角度的計算，同時，計算精度達(dá)到比較高的標(biāo)準(zhǔn)。

2.3.2 表面裂縫角度θ的計算 如圖7所示，為了驗證斜裂縫角度計算公式的準(zhǔn)確性，對不同角度的裂縫進(jìn)行有限元數(shù)值模擬。采用控制變量法，設(shè)置裂縫長度為90 mm，選取混凝土表面無裂縫以及裂縫角度θ=30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°和150°的10種情況進(jìn)行分析，分別得到接收點的波形圖，提取特征點A和B的時間，然后，根據(jù)式(10)計算裂縫角度，并與設(shè)置裂縫角度進(jìn)行比較，作誤差分析。結(jié)果如表4所示。

圖7 計算波形圖Fig. 7 Waveform diagram

裂縫角度θ/(°)裂縫長度d/m衍射縱波傳播距離c/m由式(10)計算的裂縫角度θ/(°)相對誤差/%300.090.146 136.3121.04450.090.138 551.4314.28600.090.130 064.227.03750.090.119 279.245.65900.090.108 291.902.141050.090.094 7106.791.711200.090.080 6120.860.721350.090.067 3133.421.171500.090.056 1144.333.78

結(jié)果表明：當(dāng)裂縫角度為75°～135°時，利用該方法的計算結(jié)果比較精確，計算角度值與實際角度值的差值不高于5°；當(dāng)裂縫角度為30°～150°時，計算結(jié)果也較為準(zhǔn)確；雖然，裂縫角度為30°和45°時，相對誤差為21.04%及13.91%，但計算角度值與實際角度值的誤差也不大于6.5°。

2.4 實驗驗證

為驗證裂縫長度計算公式和裂縫角度計算公式的正確性，分別將得到的裂縫長度部分?jǐn)?shù)值結(jié)果與曲華等[18]的實驗結(jié)果進(jìn)行對比，將得到的裂縫角度的部分?jǐn)?shù)值結(jié)果與Matsuda等[19]的實驗結(jié)果進(jìn)行對比，對比結(jié)果分別見表5、表6。由表5可知，由數(shù)值模擬得到的裂縫長度與曲華等[18]實驗的結(jié)果很吻合(相對誤差在6.41%內(nèi))；由表6可知，由數(shù)值模擬得到的裂縫角度與Matsuda等[19]的實驗結(jié)果也很吻合(相對誤差在12.11%內(nèi))。由此可見，提出的裂縫長度計算公式和裂縫角度計算公式是正確的。

表5 不同方法裂縫長度對比結(jié)果Table 5 Comparison of different methods of fracture length

表6 不同方法裂縫角度對比結(jié)果Table 6 Comparison of different methods of fractureangle

3 結(jié)論

1)應(yīng)用有限元軟件ABAQUS對含有表面裂縫的混凝土介質(zhì)進(jìn)行數(shù)值模擬，通過得到的彈性波波場快照，分析了彈性波的傳播規(guī)律。在激勵源作用下，產(chǎn)生橫波、縱波和瑞利波，橫波和縱波在介質(zhì)中傳播，最后被粘彈性人工邊界吸收，而瑞利波在傳播過程中，一部分瑞利波繼續(xù)沿著裂縫表面?zhèn)鞑?；另一部分則在裂縫底端發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，形成衍射橫波和衍射縱波。傳播中，接收器能夠接收到瑞利波和衍射橫波、衍射縱波，得到計算波形圖。最終，所有的彈性波被粘彈性人中邊界吸收。

2)根據(jù)瑞利波在含有表面裂縫的混凝土中的傳播規(guī)律，結(jié)合傳播時間差法以及特征點法，提出了一種新的表面裂縫長度和裂縫角度的計算方法。對不同工況的裂縫進(jìn)行計算分析，結(jié)果顯示，其計算誤差均在較低水平，滿足實際工程要求，且在一定范圍內(nèi)，裂縫長度和角度隨著其值的增大，得到的結(jié)果準(zhǔn)確度越高。通過與實驗結(jié)果相對比，驗證了裂縫長度計算公式與角度計算公式的正確性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 崔建文, 喬森, 樊耀新. 瞬態(tài)面波勘探技術(shù)在工程地質(zhì)中的應(yīng)用[J]. 巖土工程學(xué)報, 1996, 18 (3):35-40.

CUI J W, QIAO S, FAN Y X. Application of transient rayleigh surface wave prospecting method to engineering geology [J]. Chinese Journal of Geotechnica1 Engineering, 1996, 18(3): 35-40. (in Chinese)

[2] 陳云敏, 吳世明, 夏唐代. 用表面波譜分析方法檢測道路結(jié)構(gòu)的質(zhì)量[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報, 1993, 27(3):309-314.

CHEN Y M, WU S M, XIA T D. Inspecting the quality of highway structures of spectral analysis of surface of waves method [J]. Journal of Zhejiang University, 1993, 27(3): 309-314. (in Chinese)

[3] ZHANG Y, XU Y X, XIA J H. Wave fields and spectra of Rayleigh waves in poroelastic media in the exploration seismic frequency band [J]. Advances in Water Resources, 2012, 49(8): 62-71.

[4] DARINSKII A N, WEIHNACHT M, SCHMIDT H. Finite element analysis of the Rayleigh wave scattering in isotropic bi-material wedge structures [J]. Ultrasonics, 2017, 73: 67-76.

[5] THOMSON W T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium [J]. Journal of Applied Physics, 1950, 21(2): 89-93.

[6] ROSEBAUM J H. A note on the computation of Rayleigh wave dispersion curves for layered elastic media [J]. Bulletion of the Seismological Society of America, 1964, 53(3): 1013-1019

[7] ZHANG S X, WANG Y, ZHOU H W, et al. Dispersion splitting of Rayleigh waves in layered azimuthally anisotropic media [J]. Journal of Applied Geophysics,2009, 67(2): 130-142.

[8] 柴華友, 張電擊, 盧海林, 等. 層狀飽和介質(zhì)中瑞利波傳播特性薄層分析方法[J]. 巖土工程學(xué)報, 2015, 37(6): 1132-1141.

CHAI H Y, ZHANG D J, LU H L,et al. Behavior of Rayleigh waves in layered saturated porous media using thin-layer method [J]. Chinese Journal of Geotechnica1 Engineering, 2015, 37(6): 1132-1141. (in Chinese)

[9] 郭君. 地下洞穴的瑞利面波波場特征有限元數(shù)值模擬研究[D]. 成都:西南交通大學(xué), 2008.

GUO J. The underground cave’s Rayleigh wave field characteristic finite element numerical simulation study [D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2008. (in Chinese)

[10] 李春花.基于ANSYS的瞬態(tài)瑞雷面波法地下空洞勘測參數(shù)分析[D]. 成都：西南交通大學(xué), 2011.

LI C H. Parameters analysis based on ANSYS in the underground caves survey by transient Rayleigh wave method [D]. Chengdu:Southwest Jiaotong University, 2011. (in Chinese)

[11] 葉唐進(jìn).瞬態(tài)瑞利面波法數(shù)值模擬中的參數(shù)硏究[D]. 成都：西南交通大學(xué), 2012.

YE T J. Study of the parameters in ANSYS numerical simulation of transient Rayleigh wave method [D]. Chengdu:Southwest Jiaotong University, 2012. (in Chinese)

[12] 歐陽凱. 基于瑞利波的材料表面缺陷深度檢測數(shù)值研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2014.

OUYANG K . Numerical analysis of material surface defect depth detection using Rayleigh wave [D]. Harbin:Harbin Institute of Technology, 2014. (in Chinese)

[13] 楊成林. 瑞雷波勘探[M]. 北京:地質(zhì)出版社, 2003.

YANG C L. Rayleigh wave exploration [M]. Beijing: Geological Publishing House, 2003. (in Chinese)

[14] 楊成林. 瑞雷波勘探原理及其應(yīng)用[J]. 物探與化探, 1989, 13(6):465-468.

YANG C L. The principle and application of Rayleigh wave exploration method [J]. Geophysical & Geochemical Exploration, 1989, 13(6):465-468. (in Chinese)

[15] ZERWER A, POLAK M A, SANTAMARINA J C. Rayleigh wave propagation for the detection of near surface discontinuities: Finite element modeling [J]. Journal of Nondestructive Evaluation, 2003, 22(2):39-52.

[16] 練小聰.混凝土介質(zhì)中瑞雷面波傳播特性的研究[D]. 長沙：中南大學(xué), 2014.

LIAN X C. The study of the Rayleigh wave propagation characteristics of the concrete medium [D]. Changsha:Central South University, 2014. (in Chinese)

[17] 劉晶波, 谷音, 杜義欣.一致粘彈性人工邊界及粘彈性邊界單元[J].巖土工程學(xué)報, 2006, 28(9):1070-1075.

LIU J B, GU Y, DU Y X. Consistent viscous-spring artificial boundaries and viscous-spring boundary elements [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2006, 28(9):1070-1075. (in Chinese)

[18] 曲華, 寧建國, 李學(xué)慧. 利用瑞利波頻譜分析法無損檢測混凝土結(jié)構(gòu)[J]. 混凝土, 2006(2): 76-80.

QU H, NING J G, LI X H.Nondestructive testing of concrete structures using the spectral analysis of Rayleigh wave [J]. Concrete, 2006(2): 76-80. (in Chinese)

[19] MATSUDA Y, NAKANO H, NAGAI S, et al. Surface breaking crack evaluation with photorefractive quantum wells and laser-generated Rayleigh waves [J]. Applied Physics Letters, 2006, 89(17): 171902.