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1.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191 2.北京控制工程研究所，北京100190

微小衛(wèi)星具有體積小、質(zhì)量小、成本低、研制周期較短等特點(diǎn)，而且可以進(jìn)一步組成大規(guī)模衛(wèi)星編隊(duì)，使其在通信、對(duì)地觀測(cè)等領(lǐng)域發(fā)揮的作用越來(lái)越大。但是在研制過(guò)程中，推進(jìn)系統(tǒng)成為制約微小衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要因素[1]。傳統(tǒng)的化學(xué)推進(jìn)裝置以及電推進(jìn)裝置由于負(fù)載過(guò)重，已經(jīng)不適用于微小衛(wèi)星。

近年來(lái)，微機(jī)電集成技術(shù)(Micro Electro Mechanical Systems，MEMS)的出現(xiàn)，為研究微小衛(wèi)星的新型動(dòng)力裝置提供了技術(shù)保障。MEMS固體微推力器陣列是一種新型推進(jìn)裝置，利用MEMS技術(shù)在一塊芯片上集成多個(gè)可獨(dú)立尋址的微推力器，與傳統(tǒng)固、液、電推進(jìn)器相比具有精度高、無(wú)燃料泄漏、沖量可調(diào)、沒(méi)有其他傳動(dòng)部件等優(yōu)點(diǎn)，因此受到廣泛關(guān)注。國(guó)外從20世紀(jì)90年代開(kāi)始展開(kāi)MEMS微推進(jìn)技術(shù)的研究，例如Honeywell公司和Princeton大學(xué)提出利用微推力器陣列進(jìn)行微小衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)位置保持并且已經(jīng)做出兆單元推力器陣列樣機(jī)[2]，但是沒(méi)有給出具體的控制算法；日本太空和航空科學(xué)研究所(Institute of Space and Astronautical Science，ISAS)提出將MEMS固體微推力器用于15 kg級(jí)別的月球探測(cè)器“LUNAR-A Penetrator”[3]。

國(guó)內(nèi)對(duì)MEMS固體微推進(jìn)研究起步較晚，目前清華大學(xué)和南京理工大學(xué)等少數(shù)高校以及北京控制工程研究所等機(jī)構(gòu)已經(jīng)做出樣機(jī)，但是集成度較低，而且大部分研究都停留在微推力器的工藝研制階段，對(duì)微推力器的應(yīng)用研究還較少。文獻(xiàn)[4]研究了利用MEMS微推力器陣列進(jìn)行微納衛(wèi)星編隊(duì)保持的控制算法，文獻(xiàn)[5-6]研究了利用微推力器陣列抑制衛(wèi)星太陽(yáng)翼振動(dòng)的控制算法，文獻(xiàn)[7]研究了基于固體微推力器陣列的衛(wèi)星控制一體化算法。隨著微小衛(wèi)星技術(shù)的飛速發(fā)展、衛(wèi)星組網(wǎng)技術(shù)的日漸成熟，預(yù)計(jì)到2025年全球?qū)l(fā)射微小衛(wèi)星3000顆以上[8]，這將會(huì)給MEMS固體微推力器陣列的應(yīng)用帶來(lái)廣闊的應(yīng)用前景[1]。

由于MEMS固體微推力器陣列是一種脈沖點(diǎn)火形式的推力器，在實(shí)際應(yīng)用中推力持續(xù)時(shí)間短，衛(wèi)星在其余時(shí)間內(nèi)都是按照動(dòng)力學(xué)模型自由運(yùn)動(dòng)，按照常規(guī)的連續(xù)推力模型建立的控制律不能準(zhǔn)確反映脈沖推力的控制效果以及能量消耗?？紤]到系統(tǒng)狀態(tài)在有脈沖推力和無(wú)脈沖推力之間不停地切換變化，因此采用混合切換系統(tǒng)重新設(shè)計(jì)小衛(wèi)星軌道控制律。混合切換系統(tǒng)可以避免直接處理復(fù)雜的非線性方程，而是將其替換為一組簡(jiǎn)單的線性方程，然后在這些簡(jiǎn)單方程之間進(jìn)行切換[9]?；旌锨袚Q系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容包括切換系統(tǒng)建模、穩(wěn)定性分析和控制綜合等[10-12]，文獻(xiàn)[13]研究了航天器自主交會(huì)過(guò)程的混合切換控制律，文獻(xiàn)[14]研究了切換系統(tǒng)在直升機(jī)姿態(tài)控制中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[15]提出了高超聲速飛行器的混合切換控制律并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。

基于連續(xù)力軌道保持技術(shù)的缺陷以及MEMS固體微推力器體積小、質(zhì)量小、單個(gè)沖量小、可以沖量組合的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于混合切換系統(tǒng)的軌道保持模型，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性第二定理[13]，建立線性矩陣不等式組，進(jìn)而解得反饋控制律，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了控制算法的有效性。

1 衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模

設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，二者距離矢量為r。則按照牛頓萬(wàn)有引力定律，它們之間相互吸引力的值為：

(1)

式中：G為萬(wàn)有引力常數(shù)。則在地心慣性系中，考慮除萬(wàn)有引力之外的合力為f，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

令地球引力常數(shù)μ=GM，則衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)的基本方程寫(xiě)成：

(3)

(4)

由于固體微推力器是一種間斷點(diǎn)火的推力裝置，推力器點(diǎn)火施加推力的時(shí)間遠(yuǎn)小于兩次控制的間隔時(shí)間，且脈沖推力的量級(jí)遠(yuǎn)大于空間軌道攝動(dòng)力的量級(jí)，因此，采用離散控制方法來(lái)設(shè)計(jì)衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)模型。

如圖1所示，采樣間隔為τ，一個(gè)脈沖控制周期T為kτ。在脈沖推力作用之后，衛(wèi)星進(jìn)入自由運(yùn)動(dòng)階段，直至下一次脈沖推力到來(lái)。整個(gè)過(guò)程可以視為脈沖推力階段和自由運(yùn)動(dòng)階段之間不停切換的過(guò)程。

將式(4)離散化，得到

x(n+1)=Adx(n)+Bdu(n)

(5)

式中：n=0,1,2,…為采樣時(shí)刻；

(6)

根據(jù)圖1可知，每次施加脈沖控制力的時(shí)刻為t0,tk,t2k,t3k,…，在每次施加脈沖后，衛(wèi)星的狀態(tài)量可由下式求得：

x(λk+1)=Adx(λk)+Bdu(λk),λ=0,1,2,…

(7)

在兩次脈沖之間的自由運(yùn)動(dòng)階段時(shí)，衛(wèi)星的離散狀態(tài)方程為：

x(λk+δ)=Adx(λk+δ-1),δ=2,3,…,k

(8)

式(7)和式(8)構(gòu)成了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)離散狀態(tài)方程。整個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程就是由這兩種狀態(tài)方程之間的不停切換而構(gòu)成的。

2 混合切換控制律設(shè)計(jì)

2.1 混合切換控制模型

V(x(n))=xT(n)Px(n)

(9)

在每個(gè)子系統(tǒng)中，有

(10)

式中:P1和P2為正定對(duì)稱矩陣。按照連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，需要V1和V2同時(shí)滿足遞減。但是在自由運(yùn)動(dòng)階段的子系統(tǒng)是一個(gè)純開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，這一階段不給航天器施加控制力，因此這個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是無(wú)法保證的，V2遞減的條件無(wú)法滿足。所以只能通過(guò)設(shè)計(jì)V1來(lái)使得系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)廣義遞減。

按照如圖2所示的能量變化，如果兩個(gè)子系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)V1和V2能夠滿足：

1)V1在每個(gè)脈沖周期內(nèi)都是遞減的。即V1(x1)

V1(x2k)，V1(x3k+1)

2)每個(gè)脈沖周期內(nèi)的V1的初值要比上一個(gè)周期的初值小。即V1(x0)>V1(xk)>V1(x2k)>V1(x3k)>…

3)V2在自由階段是不可控的，但是必須在切換點(diǎn)處滿足V1(xm)

則整個(gè)切換系統(tǒng)滿足李雅普諾夫函數(shù)呈現(xiàn)全局遞減趨勢(shì)，即混合系統(tǒng)在廣義條件下穩(wěn)定。

對(duì)以上3個(gè)條件進(jìn)一步抽象和計(jì)算：

邊境包圍戰(zhàn)斗中應(yīng)用伏擊戰(zhàn)法，應(yīng)注意以下三點(diǎn):首先，三面包圍要絕對(duì)的嚴(yán)密，不能留有任何間隙，防止給犯罪分子留下逃跑之機(jī)，使設(shè)伏行動(dòng)失去原有的效果。其次，要及時(shí)發(fā)現(xiàn)犯罪分子的逃跑企圖，確保犯罪分子向我設(shè)伏地域逃竄，同時(shí)，包圍地域到設(shè)伏地域之間的距離也不宜過(guò)長(zhǎng)，避免距離過(guò)長(zhǎng)從而途中出現(xiàn)意外，使我對(duì)犯罪分子失控，讓犯罪分子有逃脫的機(jī)會(huì);再次，確保設(shè)伏的兵力，絕對(duì)不能讓犯罪分子跑出我伏擊圈，要堅(jiān)決將犯罪分子捕殲在我伏擊地域內(nèi)。

(1)ΔV1=xT(λk+1)·P1·x(λk+1)-

xT(λk)·P1·x(λk)<0

對(duì)于脈沖子系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，有

ΔV1=[x(λk+1)]TP1x(λk+1)-

[x(λk)]TP1x(λk)=[x(λk)]T·

[(Ad+BdK)TP1(Ad+BdK)-P1]·x(λk)

(11)

則ΔV1<0等價(jià)于

(Ad+BdK)T·P1·(Ad+BdK)-P1<0

(12)

對(duì)于V1(xλk)和V1(x(λ-1)k)，有

V1(xλk)=[x(λk)]TP1x(λk)

(13)

V1(x(λ-1)k)=[x((λ-1)k)]TP1x[(λ-1)k]

(14)

其中x(λk)可以由迭代計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)：

(15)

則該條件可化為：

(3)V1(xλk)

P1-P2<0

(16)

(17)

(18)

(19)

2.2 推力限制條件

微小衛(wèi)星在軌道保持的過(guò)程中，用于提供推力的MEMS固體微推力器總個(gè)數(shù)有限，而且如果單次脈沖推力過(guò)大的話，會(huì)直接導(dǎo)致軌道控制超調(diào)，造成不必要的誤差和額外消耗。因此有必要針對(duì)每次施加的脈沖控制力設(shè)計(jì)限制條件。

(20)

應(yīng)有|ui|≤umax,i=x,y,z。即

(21)

式中：Rx、Ry、Rz為推力矢量分割矩陣。式(21)可以等價(jià)為：

(22)

引入狀態(tài)反饋u=Kx，得

(23)

設(shè)存在數(shù)γ使得系統(tǒng)的初始能量滿足V1(x0)<γ成立，即有xTP1x≤V1(x0)<γ。則式(23)成立的充分條件為：

(24)

同樣，根據(jù)Schur定理，式(24)可以等價(jià)為線性矩陣不等式：

(25)

綜上，以式(17)(18)(19)(25)共6個(gè)不等式為約束，建立LMI不等式組求得可行解X1、X2、Y1，則可解得反饋控制矩陣：

(26)

3 仿真校驗(yàn)

仿真條件：選擇立方體衛(wèi)星尺寸為0.2 m×0.2 m×0.2 m。衛(wèi)星質(zhì)量為1 kg。采用的微推力器單位元沖量為10-4N·s。采樣間隔為1 s?？刂崎g隔為100 s。衛(wèi)星運(yùn)行軌道選為太陽(yáng)同步軌道，軌道要素如表1所示。

表1 衛(wèi)星軌道6要素

圖3～圖5顯示了衛(wèi)星三軸初始誤差的控制效果和微推力器消耗情況。從仿真結(jié)果來(lái)看，本文設(shè)計(jì)的基于混合切換系統(tǒng)的軌道控制方法對(duì)于分米級(jí)甚至米級(jí)的初始誤差都有很好的控制效果，位置誤差和速度誤差都是只振蕩兩次即可達(dá)到穩(wěn)定，響應(yīng)時(shí)間約為4 000 s。從推力器消耗情況來(lái)看，初始幾次的消耗較多，但是均小于設(shè)定的單次最大消耗量nmax，符合預(yù)設(shè)條件。

從圖6和圖7可以看出，當(dāng)初始誤差被控制下來(lái)以后，衛(wèi)星的在軌位置誤差和速度誤差均穩(wěn)定在一個(gè)誤差區(qū)間內(nèi)，并且隨衛(wèi)星軌道周期呈現(xiàn)周期性變化。衛(wèi)星三軸位置誤差均保持在0.2 m以內(nèi)，速度誤差保持在0.5×10-3m/s以內(nèi)。由圖9可知，后期推力器消耗情況也隨衛(wèi)星軌道周期呈現(xiàn)周期性變化，而且y向推力器消耗明顯低于其他兩個(gè)方向。這是因?yàn)樾l(wèi)星攝動(dòng)力主要作用在衛(wèi)星的x軸和z軸方向，y向擾動(dòng)很小，因此y向誤差累計(jì)很慢。仿真結(jié)果顯示平均每個(gè)軌道周期消耗推力器約為70個(gè)。對(duì)于集成度為每平方英寸(6.452 cm2)100×100個(gè)的微推力器陣列，在立方體衛(wèi)星每個(gè)表面貼10片即可以保證小衛(wèi)星在軌運(yùn)行1年以上。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于MEMS微推力器陣列的微小衛(wèi)星軌道保持問(wèn)題，針對(duì)微推力器推力不連續(xù)的特點(diǎn)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，設(shè)計(jì)了衛(wèi)星軌道保持的混合切換控制律。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制方法對(duì)于衛(wèi)星初始誤差和在軌實(shí)時(shí)誤差有很好的控制效果，驗(yàn)證了混合切換控制律的有效性，能夠準(zhǔn)確反映出MEMS固體微推力器陣列的推力特點(diǎn)。MEMS微推力器陣列滿足微小衛(wèi)星高精度軌道保持的要求，可以克服傳統(tǒng)推進(jìn)技術(shù)在微小衛(wèi)星上無(wú)法應(yīng)用的問(wèn)題，為微推力器陣列在微小衛(wèi)星軌道控制應(yīng)用提供了仿真試驗(yàn)支持，證明這種新型推力裝置具有廣闊的應(yīng)用前景。