陳焦 沈言生

摘要：本文通過不動點理論的思想方法討論了函數列的性質，并用來解決一類數列問題。最后我們總結了解該類問題的一般思想方法。

關鍵詞：不動點；數列；函數列

不動點定理在數學的各個分支都發(fā)揮了重要作用。對很多微積分里的問題采用不動點的思想，能夠幫助我們簡化問題。

定義1.1設f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，方程f（x）=x在[a，b]上的解x*稱為f（x）在[a，b]上的不動點。

下面我們用不動點理論來探討在閉區(qū)間上單調遞減時函數序列的簡單性質及應用。

同理，迭代序列{a2n+1}單調且c

綜上知，符合條件的c存在，且其中一個值即為不動點14。

當迭代序列屬于某閉區(qū)間且迭代函數在該區(qū)間單調遞減時，由性質1.2可以知道，迭代序列的奇數項和偶數項分別位于序列極限（即不動點）的兩側，且奇數項序列和偶數項序列分別單調收斂于該不動點，這與迭代函數在閉區(qū)間上單調增時是不同的。對于上述兩道例題，便是該種情形，迭代函數在由兩初值構成的閉區(qū)間內封閉且遞減，此時迭代序列的奇數項和偶數項均單調收斂于不動點。

此時其幾何意義如圖所示，對于迭代序列{xn}，伴隨著下標n的增大，序列{x2n}和{x2n+1}分別從兩側向不動點x*逼近。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M]（第4版）.高等教育出版社，2010.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M]（第2版）.高等教育出版社，2006.

作者簡介：

陳焦，重慶市，重慶師范大學；沈言生，北京市，北京師范大學。