盧思聰??

摘 要：隨著高考數(shù)學(xué)命題改革的深入，高考命題者都十分重視高中知識(shí)與大學(xué)課程的銜接。因此，在符合考綱要求和體現(xiàn)新課程理念的前提下，命制了一些以高等數(shù)學(xué)為背景，以初等數(shù)學(xué)形式呈現(xiàn)的高考試題，本文探析其背景動(dòng)向，并探討科學(xué)的命題教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：高考試題；高觀點(diǎn)；命題教學(xué)建議

高中新課程改革實(shí)施以來，中學(xué)數(shù)學(xué)就增加了不少高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)、定積分等，為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新鮮的血液。

一、 知識(shí)高觀點(diǎn)

1. 狄利克雷函數(shù)：定義：D（x）=a，當(dāng)x為有理數(shù)

b，當(dāng)x為無理數(shù)，其中a，b∈R，a≠b

性質(zhì)：①周期性：任意的非零有理數(shù)都是D（x）的周期，但任何無理數(shù)都不是。

②單調(diào)性：D（x）在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間都不具有單調(diào)性；③奇偶性：D（x）是偶函數(shù)。

例1 設(shè)函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)

0，x為無理數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. D（x）的值域?yàn)閧0，1}

B. D（x）是偶函數(shù)

C. D（x）不是周期函數(shù)D

D. （x）不是單調(diào)函數(shù)

探析：本題考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，具體就是以上介紹的高等數(shù)學(xué)中狄利克雷函數(shù)的概念和性質(zhì)，由以上性質(zhì)易知選C。而本題以一個(gè)全新的、公平背景呈現(xiàn)出來，既考查考生對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的理解和判斷，又挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛質(zhì)；狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”。

2. 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派—多邊形數(shù)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一個(gè)基本信條——萬物皆數(shù)，通過集合圖形發(fā)現(xiàn)其間蘊(yùn)含的關(guān)系。多邊形數(shù)也稱“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物。用點(diǎn)排成的圖形。

例2 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為n（n+1）2=12n2+12n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)表達(dá)式：三角形數(shù)N（n，3）=12n2+12n。正方形數(shù)N（n，4）=n2，五邊形數(shù)N（n，5）=32n2-12n，六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n…，可以推測N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）= 。

還有諸如“凸性函數(shù)”背景、圖論知識(shí)背景及“斐波那契—盧卡斯數(shù)列”背景等。

二、 思想方法高觀點(diǎn)

1. 單調(diào)有界必收斂

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。單調(diào)有界的數(shù)列（函數(shù)）必有極限，它是判斷極限存在的重要定理之一。

例3 數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）。

（1）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列。

探析：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，充要條件、函數(shù)單調(diào)性的證明方法，而其命題思路背景卻隱含著高等數(shù)學(xué)中極限的單調(diào)有界定理。以下是第（Ⅱ）步的解答：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：c≥0

①當(dāng)c=0時(shí)，xn=0，不合題意；②當(dāng)c>0時(shí)，∵x2=c>x1，且x3=-c2+2c>x2=c，∴000=x1≤xn

∴xn+2-xn+1=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1）。當(dāng)c≤14時(shí)，xn<12xn+xn+1-1<0，∴xn+2-xn+1與xn+1-xn同號(hào)，由x2-x1=c>0∴xn+1>xn，即

{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列，且limn→ xn=c。當(dāng)c>14時(shí)，N，使xN>12xN+xN+1>1，∴xN+2-xN+1與xN+1-xN異號(hào)，與遞增數(shù)列相矛盾。綜上：當(dāng)0

評(píng)注：以上極限的單調(diào)有界性，是大學(xué)知識(shí)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合體。是考查極限思想的新穎題型，體現(xiàn)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想本質(zhì)理解能力的考查。

2. 抽象概念

這類題型常有“老瓶裝新酒”的意味，概念新穎，靈活性強(qiáng)，綜合程度高，是很多考生的薄弱點(diǎn)。其實(shí)本質(zhì)是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)推理等數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用考查，教學(xué)中應(yīng)對(duì)此類題適當(dāng)訓(xùn)練，研究高考試題，把握考試的動(dòng)向。

例4 （2017年江蘇卷19）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，對(duì)任意正整數(shù)n（n>k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“p（k）數(shù)列”。

（1）證明：等差數(shù)列{an}是“p（3）數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“p（2）數(shù)列”，又是“p（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列。

高考給廣大學(xué)生送上不少新穎的高觀點(diǎn)背景的數(shù)學(xué)“大餐”，它無形中給中學(xué)生介紹了許多課外的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，拓展了解題思維，更重要的是激發(fā)了廣大中學(xué)生探索更高層次的數(shù)學(xué)世界的學(xué)習(xí)興趣。

三、 命題教學(xué)建議

1. 命題建議：要求立意新，思維價(jià)值高，情景新穎，符合新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)水平要求，高觀點(diǎn)背景試題就是這種考查能力廣泛的?？碱}型。合理、靈活調(diào)整新穎題型的命制。

值得注意的是，近年來各省市的高考試題多次重復(fù)出現(xiàn)命制相似高數(shù)知識(shí)背景的試題，如凸函數(shù)、拉格朗日定理等，雖考查能力要求有所不同，卻給廣大師生導(dǎo)向于“規(guī)律模式”命題的錯(cuò)覺，就出現(xiàn)了部分教師補(bǔ)充高數(shù)知識(shí)內(nèi)容的現(xiàn)象，這一方面增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，另一方面也有悖于新課標(biāo)高考試題編制的理念。

2. 教學(xué)建議：杜甫的詩句云：“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小?！本褪抡撌碌乜粗袑W(xué)數(shù)學(xué)，只是知其然，用高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解讀，就會(huì)覺得豁然開朗，內(nèi)心充實(shí)。強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維過程，注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力。針對(duì)高觀點(diǎn)背景試題的特點(diǎn)，教師不要過多講解高數(shù)的定理、公式及性質(zhì)，應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中夯實(shí)考綱要求的基礎(chǔ)知識(shí)，充分重視知識(shí)的形成過程，講究解題的思維過程，弄清數(shù)學(xué)思想方法在解題中的意義和作用；培養(yǎng)新情景下知識(shí)的遷移能力、轉(zhuǎn)化能力及信息的整合能力，并提高思維靈活性和分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。

對(duì)于教師本身，有一句教育格言是：“要給學(xué)生一杯水，教師應(yīng)該有一桶水?！苯處煈?yīng)不斷充實(shí)自身的專業(yè)知識(shí)，加大交叉知識(shí)的研究性學(xué)習(xí)，研究高考試題，善于用高數(shù)的思想、方法去駕馭中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，使初等數(shù)學(xué)中的疑難得到合理解釋，進(jìn)而不斷提高教學(xué)的質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]皇甫軍.函數(shù)的概念和狄利克雷函數(shù)[J].中學(xué)生數(shù)理化·八年級(jí)，2007（7-8）：25-26.

[2]黃妮等.高考試題中的高等數(shù)學(xué)背景探析及應(yīng)對(duì)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009（8）：19-23.

作者簡介：盧思聰，福建省漳州市，福建省平和第一中學(xué)。