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        基于多模態(tài)優(yōu)化問(wèn)題的粒子群算法研究

        2018-09-14 03:01:58瞿博陽(yáng)劉凱松喬百豪
        關(guān)鍵詞:環(huán)型星型測(cè)試函數(shù)

        瞿博陽(yáng),謝 亮,李 超,劉凱松,喬百豪

        (中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院,河南 鄭州 450007)

        多模態(tài)優(yōu)化(Multi-Modal Optimization,MMO)[1]問(wèn)題是指包含多個(gè)全局或局部最優(yōu)解的優(yōu)化問(wèn)題,如桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化、圖像分割、電動(dòng)汽車(chē)感應(yīng)電機(jī)設(shè)計(jì)等都屬于MMO問(wèn)題。優(yōu)化求解此類(lèi)問(wèn)題難度較高,要求算法在尋優(yōu)過(guò)程中既要避免過(guò)早收斂(收斂于某個(gè)峰值點(diǎn)),又要保證解的多樣性(找到多個(gè)峰值點(diǎn))。對(duì)于MMO問(wèn)題而言,找到多個(gè)最優(yōu)解具有許多好處:能為決策者提供更多有用的信息;有助于對(duì)問(wèn)題中隱含的關(guān)系屬性進(jìn)行研究;能夠?yàn)闆Q策者提供更多可靠的選擇;有助于提高算法求得全局最優(yōu)解的概率。因此,提出一種能有效求解MMO問(wèn)題的方法非常重要。

        進(jìn)化算法經(jīng)常用于求解MMO問(wèn)題,但存在求解過(guò)程復(fù)雜、效率不夠高、多樣性較差等不足之處[2]。粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是由Kennedy J等提出的一種新興的進(jìn)化算法[3]。PSO算法的搜索原理來(lái)自對(duì)鳥(niǎo)類(lèi)覓食行為的模仿,PSO算法中每個(gè)粒子以動(dòng)態(tài)變化的速度在搜索空間中不斷地搜索最優(yōu)解,每個(gè)粒子在搜索空間中的位置坐標(biāo)都代表待優(yōu)化問(wèn)題的“潛在可行解”。PSO算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,魯棒性強(qiáng),在工程實(shí)踐領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用[4-6],具有很高的研究?jī)r(jià)值。針對(duì)MMO問(wèn)題,本文研究了兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的PSO算法模型,在原算法的基礎(chǔ)之上引入線性遞減慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn),并使用15個(gè)多模態(tài)測(cè)試函數(shù)[7]對(duì)改進(jìn)后的算法進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。

        1 多模態(tài)優(yōu)化問(wèn)題

        (1)

        PSO算法中每個(gè)粒子包含兩個(gè)動(dòng)態(tài)變量:位置x(t)、速度v(t)。其中,x(t)表示候選解,x(t)∈X。通過(guò)PSO算法的不斷優(yōu)化,當(dāng)種群中的某個(gè)粒子滿足x(t)∈Xbest時(shí),視為成功找到MMO問(wèn)題的一個(gè)解。PSO算法的作用相當(dāng)于一個(gè)“過(guò)濾器”,通過(guò)不斷“篩選”,盡可能多地找到MMO問(wèn)題的最優(yōu)解Xbest(見(jiàn)圖1)。

        圖1 PSO求解MMO問(wèn)題

        2 粒子群優(yōu)化算法

        PSO算法有許多不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),主要有環(huán)型結(jié)構(gòu)、星型結(jié)構(gòu)、四群集型和馮·諾依曼型[8-9]4種,如圖2所示。不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定了種群中粒子們共享信息的方式,同時(shí)還會(huì)影響算法的收斂速度和避免早熟的能力。

        對(duì)于星型結(jié)構(gòu),每個(gè)粒子節(jié)點(diǎn)都處于連接狀態(tài),搜索信息在全局范圍內(nèi)共享,因此這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也被稱(chēng)作“全局拓?fù)?global topology)”或“全拓?fù)?all topology)”。對(duì)于環(huán)型結(jié)構(gòu),每個(gè)粒子個(gè)體與兩個(gè)相鄰的粒子相連接,僅僅與其左右兩個(gè)鄰居共享信息,因此粒子之間的平均距離非常大,形成了若干個(gè)局部搜索區(qū)。本文主要研究星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和環(huán)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的粒子群算法。

        (a) 環(huán)型結(jié)構(gòu) (b) 星型結(jié)構(gòu) (c) 四群集型 (d) 馮·諾依曼型 圖2 PSO算法的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

        2.1 星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)粒子群算法

        星型結(jié)構(gòu)PSO算法的速度以及位置更新公式為:

        vi(t+1)=wvi(t)+c1r1[pi-xi(t)]+c2r2[pg-xi(t)]

        (2)

        xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

        (3)

        式中:vi(t+1)表示第i個(gè)粒子的當(dāng)前速度;wvi(t)表示“速度部分”,代表歷史速度對(duì)當(dāng)前速度的影響;c1r1[pi-xi(t)]表示“認(rèn)知部分”,代表粒子自身歷史經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)前速度的影響;c2r2[pg-xi(t)]表示“社會(huì)部分”,代表種群中其他粒子對(duì)當(dāng)前粒子速度的影響;w表示慣性權(quán)重,取值小于1;c1和c2是兩個(gè)加速常量;r1和r2是0到1范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù);t表示當(dāng)前迭代次數(shù);pi表示第i個(gè)粒子所找到的歷史最優(yōu)解,即“個(gè)體最優(yōu)”,pg表示種群中所找到的全局最優(yōu)解,即“全局最優(yōu)”;xi(t)和xi(t+1)分別表示第i個(gè)粒子的當(dāng)前坐標(biāo)位置以及下一時(shí)刻的坐標(biāo)位置。

        星型結(jié)構(gòu)PSO算法的流程為:初始化種群,設(shè)定種群規(guī)模,隨機(jī)生成對(duì)應(yīng)數(shù)量的個(gè)體,根據(jù)式(1)中目標(biāo)函數(shù)f(X)計(jì)算個(gè)體們的適應(yīng)度值,更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu),隨后根據(jù)式(2)、(3)更新粒子速度以及位置,循環(huán)迭代,直到找到所有最優(yōu)解或達(dá)到評(píng)價(jià)次數(shù)為止(見(jiàn)圖3)。

        圖3 星型結(jié)構(gòu)PSO算法流程

        2.2 環(huán)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)粒子群算法

        環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法的速度更新公式為:

        vi(t+1)=wvi(t)+c1r1[pi-xi(t)]+c2r2[nbest,i-xi(t)]

        (4)

        環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法與星型結(jié)構(gòu)PSO算法的不同點(diǎn)在于“社會(huì)部分”,c2r2[nbest,i-xi(t)]表示第i個(gè)粒子的“鄰域最優(yōu)”。nbest,i取pi-1、pi、pi+1中適應(yīng)度值最高的一個(gè)。環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO的每個(gè)粒子通過(guò)左右相鄰粒子的鄰域最優(yōu)與種群中其他粒子共享最優(yōu)解的信息,如圖4所示。圖中,nbest,i=pi=nbest,i-1=nbest,i+1,依此類(lèi)推。每3個(gè)相連的粒子相互形成一個(gè)小生境[10-12],每個(gè)小生境中的粒子可能擁有同1個(gè)的鄰域最優(yōu),也可能擁有3個(gè)不同的鄰域最優(yōu),并朝著各自的領(lǐng)域最優(yōu)移動(dòng)。

        圖4 環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO的信息交流

        環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法流程為:初始化種群,設(shè)定種群規(guī)模,隨機(jī)生成對(duì)應(yīng)數(shù)量的個(gè)體,根據(jù)式(1)中的目標(biāo)函數(shù)f(X) 計(jì)算個(gè)體們的適應(yīng)度值,更新個(gè)體最優(yōu)和鄰域最優(yōu),隨后根據(jù)式(4)、(2)更新粒子速度以及位置,循環(huán)迭代,直到找到最優(yōu)解或達(dá)到評(píng)價(jià)次數(shù)為止(見(jiàn)圖5)。

        圖5 環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法流程

        2.3 線性遞減慣性權(quán)重的引入

        慣性權(quán)重w的大小從一定程度上決定了PSO算法的收斂速度以及搜索范圍。當(dāng)w的值比較大時(shí),整個(gè)種群的全局搜索性能更強(qiáng),而當(dāng)w較小時(shí),則更有利于粒子們進(jìn)行局部搜索。算法剛開(kāi)始搜索時(shí),全局搜索更能增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力,而隨著搜索過(guò)程的不斷進(jìn)行,適當(dāng)?shù)販p小w,加強(qiáng)局部搜索,可以提高解的精度。

        為了使算法搜索的多樣性以及精度得到提高,引入線性遞減慣性權(quán)重,讓w從wmax線性減小到wmin,具體計(jì)算公式為:

        (5)

        式中:wmax、wmin分別被設(shè)定為0.9、0.4;t為當(dāng)前迭代次數(shù);tmax為最大迭代次數(shù)。

        3 評(píng)價(jià)方法

        成功率(SR)和峰值比(PR)可用于評(píng)估算法求解MMO問(wèn)題的能力。

        SR是指成功找到所有最優(yōu)解的次數(shù)NSR與總運(yùn)行次數(shù)run的比例。計(jì)算成功率時(shí),需要根據(jù)參數(shù)精確度ε和小生境半徑radius來(lái)確定某一次運(yùn)行是否成功找到最優(yōu)解。當(dāng)候選解對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值與實(shí)際最優(yōu)值的誤差在ε之內(nèi)時(shí),計(jì)算候選解與實(shí)際最優(yōu)解的歐幾里德距離,若所求得的距離差在radius以?xún)?nèi),則視為成功找到了一次最優(yōu)解。

        PR按照公式(6)計(jì)算:

        (6)

        式中:run表示運(yùn)行次數(shù);NPFi表示每次運(yùn)行所找到的最優(yōu)解的個(gè)數(shù);NPR表示運(yùn)行run次后所找到的最優(yōu)解的個(gè)數(shù);NKP表示已知最優(yōu)解的個(gè)數(shù)。PR值越大表示算法性能越好。

        4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

        本文選取文獻(xiàn)[7]中提出的15個(gè)復(fù)雜的測(cè)試函數(shù)對(duì)兩種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的PSO算法進(jìn)行測(cè)試。表1中給出了這些多模態(tài)測(cè)試函數(shù)的相關(guān)屬性。表中每個(gè)多模態(tài)測(cè)試函數(shù)包括3個(gè)不同的維度,每個(gè)維度下,測(cè)試函數(shù)所包含的最優(yōu)解的數(shù)量也不同,因此,每種算法都需要對(duì)不同維度下的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立求解。

        表1 測(cè)試函數(shù)簡(jiǎn)介表

        表3給出了改進(jìn)后兩種PSO算法的成功率(對(duì)于二者求解成功率均為0的問(wèn)題,表中未列出)。星型結(jié)構(gòu)PSO算法求解5維f1時(shí)成功率為0.353,求解10維f1時(shí)成功率為0;環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法求解5維f1時(shí)成功率為0.627,求解10維f1時(shí)成功率為0.098;星型結(jié)構(gòu)PSO算法求解2維f2時(shí)成功率為0,環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法求解2維f2時(shí)成功率為1。星型結(jié)構(gòu)PSO算法求解5維f4時(shí)成功率為0.059,環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法求解5維f4時(shí)成功率為0.313。星型結(jié)構(gòu)PSO算法求解6維f7時(shí)成功率為0,環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法求解6維f7時(shí)成功率為0.039。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,改進(jìn)后的環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法成功率更高。

        表2 參數(shù)設(shè)定表

        表3 兩種PSO算法的成功率(SR)

        表4給出了改進(jìn)后兩種PSO算法峰值比(對(duì)于二者均未成功找到最優(yōu)解的問(wèn)題,表中未列出)。對(duì)于5維f1,星型結(jié)構(gòu)18次成功找到最優(yōu)解,環(huán)型結(jié)構(gòu)43次成功找到最優(yōu)解,峰值比分別為0.353和0.843;對(duì)于10維f1,星型結(jié)構(gòu)未能成功找到最優(yōu)解,環(huán)型結(jié)構(gòu)找到3次,峰值比分別為0和0.059。除去20維的f13,改進(jìn)后環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法求解剩余測(cè)試函數(shù)的效果均遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于改進(jìn)后的星型結(jié)構(gòu)PSO算法。

        表4 兩種PSO算法的峰值比(PR)

        從表3和表4可以看出,通過(guò)成功率和峰值比的結(jié)果對(duì)比,改進(jìn)后的環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法在求解MMO問(wèn)題時(shí),具有更高的精度和更好的搜索多樣性。

        5 結(jié) 語(yǔ)

        針對(duì)傳統(tǒng)算法在求解MMO問(wèn)題時(shí),存在求解過(guò)程復(fù)雜、多樣性差等不足,提出用環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法和星型結(jié)構(gòu)PSO算法求解MMO問(wèn)題,并引入了線性遞減慣性權(quán)重來(lái)提高算法的精度和多樣性。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn),改進(jìn)后的環(huán)型結(jié)構(gòu)PSO算法具有更強(qiáng)的全局搜索能力和局部搜索能力,能夠避免陷入MMO問(wèn)題的局部最優(yōu)解,有著更好的穩(wěn)定性,在求解MMO問(wèn)題是有效和可行的。星型結(jié)構(gòu)PSO算法則需要進(jìn)一步提高其局部搜索能力。

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