◆閆嵐子

等差數(shù)列是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，然而等差數(shù)列常以探索型問題提前出現(xiàn)在初中階段，表現(xiàn)為給出一列數(shù)、一列等式、一列圖形的前幾項，要求通過觀察、分析、歸納、總結(jié)、猜想等方式推出一般性的結(jié)論；或是給出一個圖形，要求學(xué)生探索圖形成立的條件及其變化規(guī)律。教師在講授這類問題時既不能像對待高中生那樣用嚴密的邏輯推理導(dǎo)出通項公式和求和公式，更不能直接給出公式讓學(xué)生死記硬背應(yīng)付考試，也不能放任肆意猜想，思維散而難收，學(xué)生即使偶爾做對題目，也有碰運氣的成分在里面。如何就此問題做到有效教學(xué)，乃至學(xué)生做到高效學(xué)習(xí)，是每個數(shù)學(xué)教師思考的問題。下面，筆者根據(jù)多年來的教學(xué)經(jīng)驗，就有效解決這類問題作一個初步的探究。

1 等差數(shù)列變化規(guī)律的分析與總結(jié)

雖然初中階段還沒有正式學(xué)習(xí)數(shù)列，但代數(shù)式意義、字母表示數(shù)、代數(shù)式表示簡單數(shù)量關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握并能熟練應(yīng)用。用含n的代數(shù)式表示數(shù)列第n項是探究數(shù)列變化規(guī)律的目的也是手段。

1.1 等差數(shù)列的第n項的表示

一列數(shù)中，前后相鄰兩項數(shù)的差都相等的數(shù)列叫等差數(shù)列

以下是常見的等差數(shù)列(n為正整數(shù)，也是序數(shù))

自然數(shù)：1,2,3,4,…n

偶數(shù)：2,4,6,8,…2n

奇數(shù)：1,3,5,7,…2n-1

3的倍數(shù):3,6，9， …3n

相差3的數(shù):4，7，10，...

=3×1+1，3×2+1,3×3+1，…3n+1

通過觀察發(fā)現(xiàn)：

自然數(shù)是相差1的等差數(shù)列，相差1的等差數(shù)列第n項是n

偶數(shù)和奇數(shù)都是相差2的等差數(shù)列,相差2的等差數(shù)列第n項含2n

相差3的等差數(shù)列的第n項是含3n

【歸納】等差數(shù)列相差的數(shù)與用n表示的第n項有一定的關(guān)系，相差多少就是多少n，即相差k就是kn；再令n=1讓含n的代數(shù)式值等于數(shù)列的第一個數(shù)即首數(shù)，從而確定出用含n的代數(shù)式表示的第n項。

例：4,6,8,10,… 相差2就是2n令n=1,2n+2=4，則2n+2是該數(shù)列的第n項。

5,11,17 ,… 相差 6就是 6n令n=1,6n-1=5,則6n-1是該數(shù)列的第n項,并驗證正確。

由此可以容易得：

（1）相差1的數(shù)列

（2）相差2的數(shù)列

（3）相差3的數(shù)列

相差k就是kn，即第n項是kn±b

1.2 等差數(shù)列的應(yīng)用

1.2.1 探索結(jié)論成立的條件

觀察上面一列算式，你發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示這個規(guī)律。

第n行n2+n=n×(n+1)

答案：n2+n=n(n+1)

1.2.2 探索圖形變化規(guī)律

探索圖形變化規(guī)律：從圖形的生成入手，需要靠想象，讓第一圖和第二個圖形重疊，多余出來部分就是增加的數(shù)，依次把第二個圖形和第三個圖形重疊；除了靠想象外，也可以用筆涂出前面的圖形，沒有涂過的為多余部分，再看每次多余出來的部分是否完全一樣，如果一樣，即為等差數(shù)列，快速寫出第n項；如果不一樣，可以觀察每次多余出數(shù)的特點，再根據(jù)特點找出規(guī)律，列出第n項。也可以從數(shù)字特點上出發(fā)，找出規(guī)律。

(1)(2008·湛江)為了慶?！傲ひ弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽如圖所示：

按照上面的規(guī)律，擺n個“金魚”需要火柴的根數(shù)為（）

A．4+4nB.8+6nC.2+6nD.8n

【解析】想象圖1和圖2重疊，圖2和圖3重疊，多余部分都是,即圖形依次多出6個火柴棒，為相差6的等差數(shù)列，第一個圖的根數(shù)是8，即首項是8。多6為6n當(dāng)n=1時6n+2=8第n個圖形的根數(shù)為6n+2

答案：C

（2）（海南省中考）用同樣黑色棋子按如圖所示的方式擺放，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要棋子________枚(用含n的代數(shù)式表示)

【解析】把前面圖和后面的圖重合，均多出,即多3，第1個圖有4枚棋子即首項是4，多3就是3n,當(dāng)n=1時，3n+1=4，所以第n個圖形有3n+1枚棋子

答案：3n+1

(3)下列是同型號黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。仔細觀察圖形完成圖④并寫出第n個圖形有多少塊黑色的瓷磚（用含n的代數(shù)式表示）

【分析】用重疊或涂抹得出的多余部分均不一樣，依次多余出的數(shù)為2,3,4…。從圖形的生成特點上觀察出：第1個圖1

第2個圖1+2

第3個圖1+2+3

……

第n個圖1+2+3+…+n

而1+2+3+…+n為等差數(shù)列的和，如何計算等差數(shù)列的和是我們下面要解決的問題

2 探究等差數(shù)列的求和公式

2.1 三角形數(shù)1+2+3+4+…+n=?

數(shù)學(xué)家高斯在讀小學(xué)二年級時，老師出了這樣一道計算題

1+2+3 +…+100=?

高斯很快得出了答案，他的計算方法是：

古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認為“萬物皆數(shù)”，意思是數(shù)是宇宙萬物的要素，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的點子或小石子，根據(jù)點子或小石子的排列的形狀把整數(shù)進行分類。 13610…這些數(shù)叫三角形數(shù)如圖示

應(yīng)用已知一列數(shù)：1，-2，3,-4,5,-6，7,…將這列數(shù)排成下列形式

按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)是________。

【解析】通過觀察發(fā)現(xiàn)：數(shù)列偶數(shù)為負，奇數(shù)為正，每行末尾數(shù)的絕對值為三角形數(shù)

計算第10行的上一行第9行末尾數(shù)絕對值為:

則第10行左數(shù)5個數(shù)為-50

2.2 三角形數(shù)1+2+3+4+…+n=

（1）2+4+6+8+…+2n=?

由：2+4+6+8+10+12+14 (n=7)

應(yīng)用1找規(guī)律

（1）如圖，第1個中有幾個正方體？第2個中有幾個正方體？第3個中呢？

（2）照圖示的方法擺下去，第5個中有幾個正方形？第10個中有幾個正方形？第n個呢？

2根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的點數(shù)的變化規(guī)律，試寫出第10個圖中有________個點，并猜測第n個圖形有_______________個點。

【解析】圖1：1+0

總之，在求解規(guī)律問題時，應(yīng)有效引導(dǎo)學(xué)生認真觀察，合理推理，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)、猜想、類比等數(shù)學(xué)思想，并由此獲得探索問題的一般方法和技巧，從而使學(xué)生達到高效學(xué)習(xí)。